华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第四章 数字特征 §4.1 方差 §4.4 协方差和相关系数

$4.1方差例1（续）环数1098E(x)D(X)7人数连0.650.250.080.029.530.5291二连0.750.100.080.079.530.8291若E(X)存在，则称D(X)=E(X-EX)为X的方差定义计算D(X)= E[X2 - 2(EX)X -(EX)"]=E(X)-(EX)?对 D.R.V: D(X)=Z[X - E(X)}’ P(X =x,)=Zx’ p, -E(X)对 C.R.V: D(X)=(x-EX)* f(x)dx=[x f(x)dx-(EX)例1续D(X)=(10-9.53)2x0.65+(9-9.53)×0.25+.*=0.5291E(X3)=102×0.75+92×0.10+...=91.65D(X,)=91.65-9.53°=0.8291例 2 设X~B(1,p) 求 D(X)。解E(X2)=0°×(1-p)+1°·p=pD(X)=p-p2=p(1-p)

§4.1 方差 例 1（续） 环 数 人数 10 9 8 7 E(x) D(X) 一连 0.65 0.25 0.08 0.02 9.53 0.5291 二连 0.75 0.10 0.08 0.07 9.53 0.8291 定义 若 E(X 2 )存在，则称 2 D(X)  E(X  EX ) 为 X 的方差 计算 ( ) [ 2( ) ( ) ] 2 2 D X  E X  EX X  EX 2 2  E(X )  (EX ) 对 D.R.V：        i i D(X) [xi E(X)] P(X xi ) xi pi E (X) 2 2 2 对 C.R.V：           2 2 2 D(X) (x EX ) f (x)dx x f (x)dx (EX ) 例 1 续 ( ) (10 9.53) 0.65 (9 9.53) 0.25 0.5291 2 2 D X1        ( ) 10 0.75 9 0.10 91.65 2 2 2 E X2      ( ) 91.65 9.53 0.8291 2 D X2    例 2 设 X~B(1，p) 求 D(X)。 解 ( ) 0 (1 ) 1 ( ) (1 ) 2 2 2 2 E X    p   p  p D X  p  p  p  p

例 3 设X~P(Λ )，求D(X)。xE(X)=ZkSe-n-=(k-1+1)解k!(k-1)!k=0k=l2=+>(k-2)!(k-1)!k=2=+D(X)=+-=例4设X~E(Λ ） 求D(X)。E(X)=[x2Ne-xdx解：=-te+xNe-idx221=0+-元元2(1D(X)=-222（）例 5 设X ~ N(u,α2),求 D(X)。_(xμ)0(x-μ)?e20dx解：D(X) =2元g.214-HedtO-OV2元I8122dt]Pe2元J2元

例 3 设 X~P(λ )，求 D(X)。 解                 e k e k k E X k k k k k ( 1)! ( 1 1) ! ( ) 0 1 2 2               1 1 2 2 2 ( 2)! k ( 1)! k k k e k e k       =    2         2 2 D(X) 例 4 设 X~E(λ ) 求 D(X)。 解：     0 2 2 E(X ) x e dx x          0 0 2 2 x e x e dx x x     2 1  0   2 2 2 2 1 1 ( )           D X   例 5 设 ~ ( , ) 2 X N   ，求 D(X)。 解： D（X）= e dx x x 2 2 2 2 ( ) 2 ( )           e dt t x t t        2 2 2 2    = ] 2 1 2 [ 2 2 2 2 2            e e dt t t t   

= α2 (0 +1)方差的基本性质1、D(X)≥0 且D(X)=0≤P(X=c)=1（退化分布）2、D(cX)= E[cX -E(cX)}° = c’D(X)3、XI与X独立=D(X +X,)=E[X,+X,-E(X +X,)]=E[(X, -EX)+2(X -EX,(X, -EX,)+(X,-EX,)"](*)=D(X,)+D(X,)+2E[(X,-EX,(X,-EX,)= D(X)+ D(X2)例6 设X~B(n，p) 求 D(X)。解：设X~B(1，p)，i=1,2,.,n，相互独立，则X=X,～B(n,p)i=l故D(X)=D(X,)=np(1-p)t=lX-EXY=（P118例4.22）设X有期望和方差存在例7，求EY和DYVDXX-EX1解：E(Y)=E(E(X - EX)= 0VDXJDX1X-EXD(Y)= D(D(X)=1~标准化(DX)VDX

(0 1) 2    方差的基本性质 1、 D(X)  0 且 D(X)  0  P(X  c) 1 （退化分布） 2、 ( ) [ ( )] ( ) 2 2 D cX  E cX  E cX  c D X 3、X1 与 X2 独立 2 1 2 1 2 1 2  D(X  X )  E[X  X  E(X  X )] [( ) 2( )( ) ( ) ] 2 1 1 2 2 2 2 2  E X1  EX1  X  EX X  EX  X  EX ( ) ( ) 2 [( )( )]  D X1  D X2  E X1  EX1 X2  EX2 （*） ( ) ( )  D X1  D X2 例 6 设 X~B(n，p) 求 D(X)。 解：设 X~B(1，p)，i=1,2,.,n，相互独立，则 ~ ( , ) 1 X X B n p n i  i   故 ( ) ( ) (1 ) 1 D X D X np p n i   i    例 7 （P118 例 4.22）设 X 有期望和方差存在 DX X EX Y   ，求 EY 和 DY 解： ( ) 0 1 ( ) ( )      E X EX DX DX X EX E Y E ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )     D X DX DX X EX D Y D ~标准化

S4.4协方差和相关系数一、协方差Cov(X,Y)=E(X-EX(Y-EY)=E(XY)-(EX)(EY)(**)基本性质 1° Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2° Cov(aX,bY)= abCov(X,Y)3° Cov(X, + X2,Y) =Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)X与Y不相关：Cov(X,Y)-0定理1下面等式等价(1) Cov(X, Y)-0:(2) E(XY)-E(X)E(Y):(3) D(X+Y)=D(X)+D(Y)证：（*）（**）即得定理2X与Y相互独立，则X与Y不相关，但反之不然证：由期望、方差的性质及定理1即得例 1 设 X~N(O,1), Y=X, 求 Cov(X, Y)。解: Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)·E(Y)= E(X)- 0x E(Y)N-e2dx=00/2元

§4.4 协方差和相关系数 一、协方差 Cov(X,Y)  E(X  EX)(Y  EY)  E(XY)  (EX )(EY) （**） 基本性质 1°Cov(X,Y)  Cov(Y, X) 2°Cov(aX,bY)  abCov(X,Y) 3° ( , ) ( , ) ( , ) Cov X1  X2 Y  Cov X1 Y Cov X2 Y X 与 Y 不相关：Cov(X,Y)=0 定理 1 下面等式等价 （1）Cov(X, Y )=0； （2）E(XY )=E(X )E(Y )； （3）D(X+Y )=D(X )+D(Y ). 证：（*）（**）即得 定理 2 X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 不相关，但反之不然 证：由期望、方差的性质及定理 1 即得 例 1 设 X~N(0,1)，Y=X 2，求 Cov(X, Y )。 解： Cov(X,Y)  E(XY)  E(X) E(Y) ( ) ( ) 3  E X  o E Y 0 2 2 3 2      e dx x x 

二、相关系数Cov(X,Y)（与量纲无关）Px/D(X) /D(X)例2 设(X,Y)~N(μ,μ2,i,o2,p),求Pxru?-2puv+y2u=-+00o,uo,v2(1-p2)adudyCov(X,Y)=解：y-u22元/1-p02(u-pr)22u+o02(Ji-p'dul5.0ve/2元12 dv2/2元=0,02P0,02P=Pxr-C0,02[说明]对正态分布，X与Y独立-X与Y不相关[Px≤1且Px|=1存在a,bER,使P(Y=aX+b)-1定理3E?(XY)≤E(X2)E(Y2)证明:取 X=X,-EX,Y=Y, -EY,， 即有Cov(X,,Y)≤D(X)D(Y)Cauchy-Schwarz不等式等号成立←E(tX,-Y)2=D(tX-Y)=0P(Y = tX +b) = 1由方差性质即有

二、相关系数 ( ) ( ) ( , ) D X D X Cov X Y  XY  （与量纲无关） 例 2 设 ( , ) ~ ( , , , , ) 2 2 2 X Y N  2  1   ，求  XY 解： e dudv u v Cov X Y x u u v v u y v                2(1 ) 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 ( , )           1 2 2 2 2 v ve        ] 2 1 [ 2 2 2 2( 1 ) ( )  2       e du u u v     e dv v v v      2 1 2 2 2 [ ]       1  2           1 2 1 2 XY [说明] 对正态分布，X 与 Y 独立  X 与 Y 不相关 定理 3  XY 1 且  XY 1  存在 a,b∈R，使 P(Y=aX+b)=1 证明  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 E XY  E X E Y 取 1 1 1 1 X  X  EX , Y  Y  EY ， 即有 ( , ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 Cov X Y  D X D Y Cauchy-Schwarz 不等式等号成立  ( ) ( ) 0 2 E tX1 Y1  D tX Y  由方差性质即有 P(Y  tX  b) 1

p:-0.4x:-mom(n,μl,ol)t(62-"V.山A-.....2.11-3-2-10-N

n 500 i 0  n 1 1 0 2 0 1 1 2 1  0.4 x rnorm( n11) t(i) rnorm 1 2 2 1  x i   1 2 1  2   y i x i 3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3