华中科技大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（讲义）第六章 数理统计的基本概念 §6.1 总体与样本 §6.2 抽样分布（1/2）

第六章数理统计的基本概念引例（习题4.6P129截尾试验）概率问题：p已知，X为检查件数，则(1 -p)- pk =1,2,.",no -1P(X = k) :[ (1- p)k-I k=noE(X)= k(1I-p)- + n(1- p)%-_1-(I- p)%pk=l统计问题：p未知，确定适当的no，使若X=no，则认为p≤po（合格）若Xpo（不合格）；$6.1总体与样本一、总体研究对象的全体量化指标集规律R.V.X或F(x)二、样本总体的部分个体：Xi，X2，，Xn独立同分布于F(x）试验前：X，X，，X为RV试验后：X，x2，，为样本观察值（实数）n：样本容量（样本大小）基本思想：由样本对总体的分布（特征）进行合理地推断

第六章 数理统计的基本概念 引例（习题 4.6P129截尾试验） 概率问题：p 已知，X 为检查件数，则             0 1 0 1 (1 ) (1 ) 1,2, , 1 ( ) p k n p p k n P X k k k  p p E X k p p n p n n k k n 0 0 0 1 (1 ) ( ) (1 ) (1 ) 1 1 1 0 1             统计问题：p 未知，确定适当的 n0，使 若 X p0（不合格）； 若 X = n0，则认为 p≤p0（合格） §6.1 总体与样本 一、总体 研究对象的全体  量化 指标集 规律 R.V. X 或 F(x) 二、样本 总体的部分个体：X1，X2，.，Xn 独立同分布于 F(x) 试验前：X1，X2，.，Xn为 R.V. 试验后：x1，x2，. ，xn为样本观察值（实数） n：样本容量（样本大小） 基本思想：由样本对总体的分布（特征）进行合理地推断

三、理论分布与经验分布函数1.理论分布函数F(x）样本的联合分布F(x，x2，“，x)F(x,)对总体F(x)：i=离散型总体：P(X,=X,X,=x2,.X,=x,)=IIP(X,=x)-连续型总体：(x,x2,,x）=f(x)2.经验分布函数F(x)(1) X,x2,,X,→x,≤x,≤...≤x0x<xik(2) F,(x)=x,≤x≤xxt k=1,2,.,n-1nx≥x,例1（P147）随机地观测总体X得8个数据：2.5，3，2.5，3.5，3，2.7，2.5，2，试求X的一个经验分布函数。解2<2.5=2.5=2.5<2.7<3=3<3.510x<20.881/80.752≤x<2.50.634/82.5≤x<2.70.5F(x) =0.385/82.7≤x<30.257/83≤x<3.50.131.1x≥3.524.5-1.52.533.542.53322.52.52.73.522.533.5X+2.7118182-82181-81-8118118118118118-18-18PP

三、理论分布与经验分布函数 1．理论分布函数 F(x) 对总体 F(x)： 样本的联合分布 F(x1，x2，.，xn)= ( ) 1 i n i F x   离散型总体： ( , , ) ( ) 1 1 1 2 2 i i n i n n P X  x X  x X  x   P X  x   连续型总体： ( , , , ) ( ) 1 1 2 i n i n f x x x f x     2．经验分布函数 Fn(x) （1） * * 2 * 1 2 1 , , , n n x x  x  x  x  x （2）                * * 1 * * 1 1 1,2, , 1 0 ( ) n n k k x x x x x k n n k x x F x  例 1（P147）随机地观测总体 X 得 8 个数据：2.5，3，2.5，3.5，3，2.7，2.5，2，试 求 X 的一个经验分布函数。 解 2 < 2.5 = 2.5 = 2.5 < 2.7 < 3 = 3 < 3.5 3.5 3 3.5 2.7 3 2.5 2.7 2 2.5 2 1 7 / 8 5/ 8 4 / 8 1/ 8 0 ( ) 8                      x x x x x x F x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0.13 0.25 0.38 0.5 0.63 0.75 0.88 1 X 2 2.5 2.7 3 3.5 P 8 1 8 2 8 1 8 2 8 1 X 2 2.5 2.5 2.5 2.7 3 3 3.5 P 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1

-n--10b:-6t:-o..nμ :3c1a:0v(t) :mom(1,μ,o)1-0.502P(lim s upF,(x)-F(x)=O)=1格列汶科定理四、统计量定义设X，X2，，X为来自总体X的一个样本，若（1）T=g(x1,x2xn）连续（其实可以不必）；（2）T=g(x1,X2xn）中不含有关总体的未知参数。则称T=g(x1,X2,xn）为统计量。常用统计量12XXE(X)1、样本均值>n=lS*=之(X,-X)?→ D(X)2、样本方差n-1台S=/s2样本标准差12xIA = XE(X)→A =-3、样本k阶原点矩ni=l

n 1 0  3  1 a 0 b 6 t 0  n v(t) rnorm( 1) 0 1 2 3 4 5 6 0.5 1 格列汶科定理 (lim sup ( )  ( )  0) 1    P F x F x n x n 四、统计量 定义 设 X1，X2，.，Xn为来自总体 X 的一个样本，若 （1）T = g(x1, x2,.,xn) 连续（其实可以不必）; （2）T = g(x1, x2,.,xn) 中不含有关总体的未知参数。 则称 T = g(x1, x2,.,xn) 为统计量。 常用统计量 1、样本均值 ( ) 1 1 X E X n X n i   i   2、样本方差 ( ) ( ) 1 1 1 2 2 X X D X n S n i i       样本标准差 2 S  S 3、样本 k 阶原点矩 X E X A X n A k n i k k   i    1 1 ( ) 1

n-l1"B, =?52-52Z(X -Xx)*→ E(X-EX)^4、样本k阶中心矩B,=-nni=l5、顺序统计量X,X2,",X,→X'≤X, ≤..≤X[Xmn=2m+1中位数=个E(X)→1(2(x +Xm.)n=2mR=X,-X'极差D (X)→$6.2抽样分布x分布设X，X2，，X独立同分布于N（0，1)，则称x? =X? +X +...+X?服从自由度为n的分布，记×～(n）f (x)见（6.5）式n:-5010155

4、样本 k 阶中心矩 k n i k k Xi X E X EX n B ( ) ( ) 1 1       2 2 2 1 ~ S S n n B    5、顺序统计量 * * 2 * 1 2 1 , , , X X  Xn  X  X  Xn 中位数 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ~ * 1 * * 1 E X X X n m X n m X m m m             极差 * 1 * R  Xn  X  D（X） §6.2 抽样分布 一、 2  分布 设 X1，X2，.，Xn独立同分布于 N（0，1），则称 2 2 2 2 1 2   X  X  Xn 服从自由度为 n 的 2  分布，记 ~ ( ) 2 2   n f（x） 见（6.5）式 n 5 0 5 10 15 0.1

数字特征：E(x2)=≥E(X3)=ni=1D(x)=ZD(X)) = Z[E(X,)- E(X,)]= Z(3-1) = 2nis!i=l-可加性：x~x(n)与x~x(n)独立=x +x~x(n +n)二、t分布设X~N(0,1)与Y~×(n)独立，则称XT :JY/n服从自由度为n的t分布，记T~（n)f (x)(6.6)n~-20.2H10E(X)-0数字特征21lim f(x)= p(x) =渐近正态V2元三、F分布设X~)与～x)独立，则称4X /n,FY/nz服从自由度为（nj，n2）的F分布，记F~F(ni，n2)

数字特征：     n i E E Xi n 1 2 2 ( ) ( )    n i D D Xi 1 2 2 ( ) ( )          n i n i E Xi E Xi n 1 1 4 2 2 [ ( ) ( )] (3 1) 2 可加性： ~ ( ) 1 2 2 1  n 与 ~ ( ) 2 2 2  2  n 独立 ~ ( ) 1 2 2 2 2 2  1    n  n 二、t 分布 设 X~N(0,1)与 Y~ 2  (n)独立，则称 Y n X T /  服从自由度为 n 的 t 分布，记 T~t(n) f（x） （6.6） n 2 3 2 1 0 1 2 3 0.2 0.4 数字特征 E(X)=0 渐近正态 2 2 2 1 lim ( ) ( ) x n f x x e       三、F 分布 设 2 ( ) 1 X ~  n 与 2 ( ) 2 Y ~  n 独立，则称 2 1 / / Y n X n F  服从自由度为（n1，n2）的 F 分布，记 F~F(n1，n2)

f(x)(6.7)n1-10n2:=150.5U四、上侧分位点P(X >)=αna:ua=Φ-'(1-α)N(0, 1):xin:如xo.01(20)= 37.566x :(n)(P271~274)1x(n)~(ua + /2n-1)2n>452F(nj,n2):如 Fo.o(4,5)=3.52Fa(n,n2)1Fo.90(5,4) =3.52

f（x） （6.7） n 1 1 0 n 2 1 5 0 1 2 3 4 0.5 1 四、上侧分位点  ： P(X   )  N（0，1）： (1 ) 1      u 2  (n) ： ( ) 2   n 如 (20) 37.566 2  0.01  （P271~274） n  45 2 2 ( 2 1) 2 1   (n)  u  n  ( , ) F n1 n2 ： ( , ) F n1 n2 如 F0.10 (4,5)  3.52 3.52 1 (5,4) F0.90 