第二章第二节 二体运动方程与经典积分
第二章第二节 二体运动方程与经典积分
内容提要: 二体运动绝对、相对运动方程 二体运动的12个经典积分 二体运动的圆锥曲线轨道
内容提要： • 二体运动绝对、相对运动方程 • 二体运动的12个经典积分 • 二体运动的圆锥曲线轨道
两质点在相互牛 顿引力作用下的 运动问题 某一惯性坐标系下 二体绝对运动方程: 图24:m1,m之间的位置向量 m111 m1m21 12 m12r2 Gm1 m2 阶 r
二体问题： 两质点在相互牛 顿引力作用下的 运动问题 某一惯性坐标系下 二体绝对运动方程： 12 阶
m11r1 Gm1m2 3 m122 Gm1m2r T 1。两式相加,并积分,得6个质心运动积分 mir+m2r2=Cl mirl+m2r2=Cit+C? C1,C2为6个积分常数 表明质心作匀速直线运动(动量守恒)
1。两式相加，并积分，得6个质心运动积分 表明质心作匀速直线运动（动量守恒）
m11r1 Grim m12r2 Gmim2r 两式相减(利用质心运动积 分),得相对运动方程(6阶)r 3 其中1=G(m1+m2) 2。相对运动方程两边取向量积 3 得 r×立=H
两式相减（利用质心运 动积 分），得相对运动方程（ 6阶） 2 。相对运动方程两边取向量积 得：
rxr=h dr/dt m 称为角动量积分(3个) 图25:二体运动的不变平面 由于运动在不变平面上,采用原点位于m1,不变平面为z=0的极坐标系。将该坐 标下的三个方向的单位向量分别记成,0,Z,则在该坐标系下的位置,速度,加速度分别 为: r=m,立=+r0,=(-702)+[元(r2b]0 2.68) dt 在上述坐标系下角动量积分称为: H=n261=r26
称为角动量积分（3个） 在上述坐标系下角动量积分称为： 或
b=y20由此来看看 Kepler第二定律: 考察行星在一段时间内扫过的面积: 6A≈r(r+6r)sin00≈120 2 6t→0 (t=ot) 得到面积变化速率 r+or d41 (t=0) 0〓 所以 Kepler运动近点 m 快,远点慢 图26:面积速度
由此来看看Kepler第二定律： 考察行星在一段时间内扫过的面积： 得到面积变化速率 所以Kepler运动近点 快，远点慢
3。对i 六r两边取数量积 r·r三 积分: =K能量积分(1个) 4、为求最后两个积分,由极坐标下的加速度: F=(F-7)+[(2 方程成为:7-7的2=
3。对 两边取数量积： 积分： 能量积分（1个） 4、为求最后两个积分，由极坐标下的加速度： 则相对运动 方程成为：
利用角动量常数b=26得: 作变换=1/r,且利用=b/2消去时间t 1 do U 且 b=-122 d d62 故相对运动方程(274)成为 de 2 令=-偿,得简谐振动方程: 故通解为: [1 +ecos(8-w)] 其中e,w是两个新的积分常数
得： 且
代回=1/r变换,得: 1+ecos(8-w 这是轨道积分,含两个积分常数,表明二体运动轨 道为圆锥曲线,p为半通径,e为偏心率,为轨道 近点角距,且 a 01双曲线p=a(c2-1)
这是轨道积分，含两个积分常数，表明二体运动轨 道为圆锥曲线， p为半通径, e为偏心率， w为轨道 近点角距 ，且 e=0 圆 p=a 01 双曲线 p=a(e 2-1)
