第三章平稳时间序列分析
第三章 平稳时间序列分析
本章结构方法性工具ARMA模型平稳序列建模■序列预测
本章结构 ◼ 方法性工具 ◼ ARMA模型 ◼ 平稳序列建模 ◼ 序列预测
3.1方法性工具差分运算延迟算子线性差分方程
3.1 方法性工具 ◼ 差分运算 ◼ 延迟算子 ◼ 线性差分方程
差分运算一阶差分Vx, = X, - X(-1■P阶差分VPx, = Vp-Ix, -Vp-Ix,■k步差分Vk = X, - X,-k
差分运算 ◼ 一阶差分 ◼ 阶差分 ◼ 步差分 p k t = t − t−1 x x x 1 1 1 − − − = − t p t p t p x x x k t t k x x = − −
延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻记B为延迟算子，有X-p = BPx, Vp ≥1
延迟算子 ◼ 延迟算子类似于一个时间指针，当前序 列值乘以一个延迟算子，就相当于把当 前序列值的时间向过去拨了一个时刻 ◼ 记B为延迟算子，有 x − = B xt ,p 1 p t p
延迟算子的性质B° =1B(c·x,)=C·B(x)=C·x,-1,c为任意常数B(x, ± y)= xt-I ±yt-IB"x, = x,-nn!(1-B)"=Z(-1)"C,B，其中 Cnil(n-i)!i=0
延迟算子的性质 ◼ ◼ ◼ ◼ ◼ ，其中 1 0 B = B(c xt ) = c B(xt ) = c xt−1 ,c为任意常数 1 1 ( ) t t = t− t− B x y x y t t n n B x x = − i n i i n n n B C B = − = − 0 (1 ) ( 1) !( )! ! i n i n C i n − =
用延迟算子表示差分运算p阶差分VPx, =(1-B)Px, =(-1)PCx-i-0■k步差分Vk = x, -xt-k =(1- B)x
用延迟算子表示差分运算 ◼ 阶差分 ◼ 步差分 p k t i p i i p p t p t p x B x C x − = = − = − 0 (1 ) ( 1) t k k t t k = x − x = (1− B )x −
线性差分方程2线性差分方程Z, +ajzt-1 +a22t-2 +...+apzt-p = h(t)■齐次线性差分方程三CZ, +aiZt-1 +a2Zt-2 +...+a,Ztt-
线性差分方程 ◼ 线性差分方程 ◼ 齐次线性差分方程 ( ) 1 1 2 2 z a z a z a z h t t + t− + t− ++ p t− p = zt + a1 zt−1 + a2 zt−2 ++ ap zt− p = 0
齐次线性差分方程的解特征方程 +a,p-1 +a,p-2 +...+a, =0特征方程的根称为特征根，记作,2，…,齐次线性差分方程的通解■不相等实数根场合z, = C,2 +C22 +...+C,2有相等实根场合z, =(c +ct+..+catd-l)2 +Cd+2a+ +...+c,?复根场合z, =r'(ceiia +C2e-ita)+c,2 ++c
齐次线性差分方程的解 ◼ 特征方程 ◼ 特征方程的根称为特征根，记作 ◼ 齐次线性差分方程的通解 ◼ 不相等实数根场合 ◼ 有相等实根场合 ◼ 复根场合 0 2 2 1 + 1 + + + = − − p p p p a a a p , , , 1 2 t p p t t t z = c1 1 + c2 2 ++ c t p p t d d d t t d z = c + c t + + c t + c + + + + c ( 1 2 −1 ) 1 1 1 t p p t i t i t t t z r c e c e c c = + + + + ( 1 2 − ) 3 3
非齐次线性差分方程的解■非齐次线性差分方程的特解使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解z'= h(t)z"+a,z'1 +α2z"-2 ++at-p■非齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和Ztz, = z, + z
非齐次线性差分方程的解 ◼ 非齐次线性差分方程的特解 ◼ 使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解 ◼ 非齐次线性差分方程的通解 ◼ 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的 特解之和 t t t z = z + z t z ( ) 1 1 2 2 z a z a z a z h t t + t − + t − ++ p t − p = t z