第三章统计描述（一）教学目的通过本章的学习，使同学们正确理解各种指标的概念及计算方法，学会运用相应的统计指标对数据的分布特征进行分析说明。（二）基本要求使学生熟练掌握数据分布特征的描述方法。（三）教学要点1、集中趋势的测度指标及其计算方法：2、离散趋势的测度指标及其计算方法：3、总体分布的偏度与峰度的测度。（四）本章难点1、集中趋势指标的计算方法与应用场合；2、离散趋势指标的计算方法与应用场合；3、如何正确运用离散趋势指标评价总体平均水平的代表性；4、对标准差、方差等指标含义的准确理解。5、偏度与峰度指标的计算方法与应用场合。（五）教学时数9——10课时（六）学习内容本章共分三节：第一节分布的集中趋势一、定类数据集中趋势的测度一一众数(Mode)（一）概念要点众数是指一组数据中出现次数最多的变量值，用M。表示。从变量分布的角度看，众数是具有明显集中趋势点的数值，一组数据分布的最高峰点所对应的数值即为众数。当然，如果数据的分布没有明显的集中趋势或最高峰点，众数也可以不存在；如果有多个高峰点，也就有多个众数。1.集中趋势的测度值之一
第三章 统计描述 （一）教学目的 通过本章的学习，使同学们正确理解各种指标的概念及计算方法，学会运用 相应的统计指标对数据的分布特征进行分析说明。 （二）基本要求 使学生熟练掌握数据分布特征的描述方法。 （三）教学要点 1、集中趋势的测度指标及其计算方法； 2、离散趋势的测度指标及其计算方法； 3、总体分布的偏度与峰度的测度。 （四）本章难点 1、集中趋势指标的计算方法与应用场合； 2、离散趋势指标的计算方法与应用场合； 3、如何正确运用离散趋势指标评价总体平均水平的代表性； 4、对标准差、方差等指标含义的准确理解。 5、偏度与峰度指标的计算方法与应用场合。 （五）教学时数 9——10 课时 （六）学习内容 本章共分三节： 第一节 分布的集中趋势 一、定类数据集中趋势的测度——众数(Mode) (一) 概念要点 众数是指一组数据中出现次数最多的变量值，用 M o 表示。从变量分布的角 度看，众数是具有明显集中趋势点的数值，一组数据分布的最高峰点所对应的数 值即为众数。当然，如果数据的分布没有明显的集中趋势或最高峰点，众数也可 以不存在；如果有多个高峰点，也就有多个众数。 1.集中趋势的测度值之一
2.出现次数最多的变量值3.不受极端值的影响4.可能没有众数或有几个众数5.主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据众数的不唯一性：10591268无众数原始数据：6 59855一个众数原始数据：252828364242多于一个众数原始数据：（二）众数的计算根据未分组数据或单变量值分组数据计算众数时，我们只需找出出现次数最多的变量值即为众数。对于组距分组数据，众数的数值与其相邻两组的频数分布有一定的关系，这种关系可作如下的理解：设众数组的频数为fm，众数前一组的频数为f-，众数后一组的频数为f。当众数相邻两组的频数相等时，即f-=，众数组的组中值即为众数；当众数组的前一组的频数多于众数组后一组的频数时，即f.,>f.，则众数会向其前一组靠，众数小于其组中值；当众数组后一组的频数多于众数组前一组的频数时，即f-<于，则众数会向其后一组靠，众数大于其组中值。基于这种思路，借助于几何图形而导出的分组数据众数的计算公式如下：下限公式：Jm-fxd=L+_AxdM。= L+(fm-f.)+(fm - J.)4; +42(3. 1)上限公式：Jm- f.i-×d=U--xdM。=U-(fm - f-)+(fm - ff)4; +42(3. 2)式中：L表示众数所在组的下限；U表示众数所在组的上限；d表示众数所在组的组距。【例3.1]现利用表3.1一1资料计算3000户农民家庭年人均收入的众数
2.出现次数最多的变量值 3.不受极端值的影响 4.可能没有众数或有几个众数 5.主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据 众数的不唯一性： 无众数原始数据: 10 5 9 12 6 8 一个众数原始数据: 6 5 9 8 5 5 多于一个众数原始数据: 25 28 28 36 42 42 （二）众数的计算 根据未分组数据或单变量值分组数据计算众数时，我们只需找出出现次数最 多的变量值即为众数。对于组距分组数据，众数的数值与其相邻两组的频数分布 有一定的关系，这种关系可作如下的理解： 设众数组的频数为 m f ，众数前一组的频数为 −1 f ，众数后一组的频数为 +1 f 。 当众数相邻两组的频数相等时，即 −1 f = +1 f ，众数组的组中值即为众数；当众数 组的前一组的频数多于众数组后一组的频数时，即 −1 f ＞ +1 f ，则众数会向其前一 组靠，众数小于其组中值；当众数组后一组的频数多于众数组前一组的频数时， 即 −1 f ＜ +1 f ，则众数会向其后一组靠，众数大于其组中值。基于这种思路，借助 于几何图形而导出的分组数据众数的计算公式如下： 下限公式： 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) m o m m f f M L d L d f f f f − − + − = + = + − + − + (3.1) 上限公式： 1 2 1 1 1 2 ( ) ( ) m o m m f f M U d U d f f f f + − + − = − = − − + − + (3.2) 式中： L 表示众数所在组的下限； U 表示众数所在组的上限； d 表示众数所在组的组距。 [例 3.1] 现利用表 3.1—1 资料计算 3000 户农民家庭年人均收入的众数
表3.1某地区农民家庭收入资料BDCA按人均收入分组（元）农民家庭数（户）向上累计频数向下累计频数！1FSs2X24024031000~120030001200~1400480720276041050177022801400~1600560023701600~180012306270264063071800~200021028.5036082000~220012015092200~240029702400~2600303000301011合计3000从表3.1中的数据可以看出，出现频数最多的是1050，即众数组为1400-1600这一组fm=1050，f-,=480，f.=600，根据（3.1）式可得众数为：1050-480×200M。=1400+(1050-480)+(1050-600)=1511.8（元）利用上述公式计算众数时是假定数据分布具有明显的集中趋势，且众数组的频数在该组内是均匀分布的，若这些假定不成立，则众数的代表性就会很差。从众数的计算公式可以看出，众数是根据众数组及相邻组的频率分布信息来确定数据中心点位置的，因此，众数是一个位置代表值，它不受数据中极端值的影响。二、定序数据集中趋势的测度一一中位数和分位数（一）概念要点中位数是将总体各单位标志值按大小顺序排列后，处于中间位置的那个数值。1.集中趋势的测度值之一2.排序后处于中间位置上的值3.不受极端值的影响4.主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据5.各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即Z|X,- M]= min(3. 3)=l
表 3. 1 某地区农民家庭收入资料 从表 3.1 中的数据可以看出，出现频数最多的是 1050，即众数组为 1400— 1600 这一组 m f =1050， −1 f =480， +1 f =600，根据（3.1）式可得众数为： 1050 480 1400 200 (1050 480) (1050 600) M o − = + − + − =1511.8（元） 利用上述公式计算众数时是假定数据分布具有明显的集中趋势，且众数组的 频数在该组内是均匀分布的，若这些假定不成立，则众数的代表性就会很差。从 众数的计算公式可以看出，众数是根据众数组及相邻组的频率分布信息来确定数 据中心点位置的，因此，众数是一个位置代表值，它不受数据中极端值的影响。 二、定序数据集中趋势的测度——中位数和分位数 （一）概念要点 中位数是将总体各单位标志值按大小顺序排列后，处于中间位置的那个数 值。 1.集中趋势的测度值之一 2.排序后处于中间位置上的值 3.不受极端值的影响 4.主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据 5.各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即 1 min n i e i X M = − = (3.3)
（二）中位数的计算根据未分组资料和分组资料都可确定中位数。有三种情况：1.对于未分组的原始资料，首先必须将标志值按大小排序。设排序的结果为：X≤x≤X≤.≤则中位数就可以按下面的方式确定：(3. 4)Me=Xa，当n为奇数2x.+x.+2当n为偶数(3. 5)Me=22.对于单项式变量数列资料，由于变量值以及序列化，故中位数可以直接按下面的方式确定：XEl，当Zf为奇数(3. 6)2Me=X+XE当Zf为偶数(3.7)23.对于组距式变量数列，确定中位数也需要分两步进行：（1）从变量数列的累计频数栏中找出第Zf个单位所在的组，即“中位数2组”，该组的上、下限就规定了中位数的可能取值范围：（2）假定在中位数组内的各单位是均匀分布的，就可利用下面的公式计算中位数的近似值：ZfSMe-12Me = L.dMeX(3. 8)fMe
（二）中位数的计算 根据未分组资料和分组资料都可确定中位数。有三种情况： 1.对于未分组的原始资料，首先必须将标志值按大小排序。设排序的结果为： 1 2 3 n x x x x 则 中位数就可以按下面的方式确定： Me= 1 2 x n+ ，当 n 为奇数 (3.4) Me= 1 2 2 2 x x n n + + ，当 n 为偶数 (3.5) 2.对于单项式变量数列资料，由于变量值以及序列化，故中位数可以直接按 下面的方式确定： 1 2 x f + ，当 f 为奇数 (3.6) Me= 1 2 2 2 x x f f + + ，当 f 为偶数 (3.7) 3．对于组距式变量数列，确定中位数也需要分两步进行： （1）从变量数列的累计频数栏中找出第 2 f 个单位所在的组，即“中位数 组”，该组的上、下限就规定了中位数的可能取值范围； （2）假定在中位数组内的各单位是均匀分布的，就可利用下面的公式计算 中位数的近似值: 1 2 Me Me Me Me f s Me L d f − − = + (3.8)
Zf.S Me+12=U.dMe(3. 9)Mf Me上面两式分别称作中位数的“下限公式”。式中，SMe-}是到中位数组前面一组为止的向上累计频数，SMe+1则是到中位数组后面一组为止的向下累计频数；dMe=UMe-LMe为中位数组的组距。（三）分位数中位数是从中间点将全部数据等分为两部分。与中位数类似的还有四分位数（quartile）、十分位数（decile）和百分位数（percentile）等。它们分别是用3个点、9个点和99个点将数据四等分、10等分和100等分后各分位点上的值。这里只介绍四分位数的计算，其他分位数与之类似。一组数据排序后处于25%和75%位置上的值，称为四分位数，也称四分位点。四分位数是通过三个点将全部数据等分为四部分，其中每部分包含25%的数据。很显然，中间的四分位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指处在25%位置上的数值（下四分位数）和处在75%位置上的数值（上四分位数）。与中位数的计算方法类似，根据未分组数据计算四分位数时，首先对数据进行排序，然后确定四分位数所在的位置。1.四分位数位置的确定设下四分位数为QL，上四分位数为QU，对于未分组的原始数据，各四分位数的位置分别为：（1）未分组数据：Q,位置=3(n+I)Q,位置=n+1X4当四分位数的位置不在某一个位置上时，可根据四分位数的位置，按比例分摊四分位数两侧的差值。[例3.2]在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数
1 2 Me Me Me Me f s U d f + − = − (3.9) 上面两式分别称作中位数的“下限公式”。式中， Me 1 s − 是到中位数组前 面一组为止的向上累计频数， Me 1 s + 则是到中位数组后面一组为止的向下累计频 数； Me d =UMe − LMe 为中位数组的组距。 （三）分位数 中位数是从中间点将全部数据等分为两部分。与中位数类似的还有四分位数 （quartile）、十分位数（decile）和百分位数（percentile）等。它们分别是 用 3 个点、9 个点和 99 个点将数据四等分、10 等分和 100 等分后各分位点上的 值。这里只介绍四分位数的计算，其他分位数与之类似。 一组数据排序后处于 25％和 75％位置上的值，称为四分位数，也称四分位 点。 四分位数是通过三个点将全部数据等分为四部分，其中每部分包含 25％的 数据。很显然，中间的四分位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指处在 25％位置上的数值（下四分位数）和处在 75％位置上的数值（上四分位数）。与 中位数的计算方法类似，根据未分组数据计算四分位数时，首先对数据进行排序， 然后确定四分位数所在的位置。 1.四分位数位置的确定 设下四分位数为 QL ，上四分位数为ＱＵ，对于未分组的原始数据，各四分 位数的位置分别为： （1）未分组数据： u n+1 3(n+1) Q 4 4 QL位置 位置＝ = 当四分位数的位置不在某一个位置上时，可根据四分位数的位置，按比例分摊四 分位数两侧的差值。 [例 3.2]在某城市中随机抽取 9 个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数
据如下（单位：元），1500、750、780、1080、850、960、2000、1250、1630，计算人均月收入的四分位数。Q,的位置=叫1_91-2.5解：44，即QL在第2个数值（780）和第3个数值（850）之间0.5的位置上，因此QL=（780+850）2=815（元）3(n+1)_ 3×(9+1)Qu的位置=37.544，即QU在第7个数值（1500）和第8个数值（1630）之间0.5的位置上，因此QU=（1500+1630）-2=1565（元）QL和QU之间包含了50%的数据，因此，我们可以说有一半的家庭人均月收入在815～1565元之间。（2）组距分组数据：Q,位置=ZQ,位置_3Z44数值型分组数据的四分位数（计算公式）2f-S.4下四分位数：xilQL+J(0(3.10)3ZFSu4上四分位数Qu=Lu +xiufu(3.10)三、数值型数据集中趋势的测度(一)算术平均数算术平均数（Arithmeticmean）也称为均值（Mean），是全部数据算术平均的结果。算术平均法是计算平均指标最基本、最常用的方法。计算公式为：总体标志总量算术平均数=总体单位总量很多社会经济现象，总体标志总量常常是总体单位变量值的算术总和。例如
据如下（单位:元），1500、750、780、1080、850、960、2000、1250、1630，计 算人均月收入的四分位数。 解： L n+1 9+1 Q = =2.5 4 4 的位置＝ ，即 QL 在第 2 个数值（780）和第 3 个数值（850） 之间 0.5 的位置上，因此 QL＝（780＋850）÷2＝815（元） U 3(n+1) 3 (9+1) Q = =7.5 4 4 的位置＝ ，即 QU 在第 7 个数值（1500）和第 8 个数值 （1630）之间 0.5 的位置上，因此 QU＝（1500＋1630）÷2＝1565（元） QL 和 QU 之间包含了 50%的数据，因此，我们可以说有一半的家庭人均月收 入在 815～1565 元之间。 （2）组距分组数据： 4 = f QL位置 4 3 = f QU位置 数值型分组数据的四分位数(计算公式) （） （3.10） （3.10） 三、数值型数据集中趋势的测度 (一)算术平均数 算术平均数(Arithmetic mean)也称为均值(Mean)，是全部数据算术平均的 结果。算术平均法是计算平均指标最基本、最常用的方法。计算公式为： 总体单位总量 总体标志总量 算术平均数 = 很多社会经济现象，总体标志总量常常是总体单位变量值的算术总和。例如， 4 L L L L L f S Q L i f − = + 4 L L L L L f S Q L i f − 下四分位数: = + 上四分位数 3 4 U U U U U f S Q L i f − = + 3 4 U U U U U f S Q L i f − = +
工人工资总额是总体中每个工人工资的总和，某地区小麦总产量是所有耕地小麦产量的总和。在总体标志总量和总体单位总量的基础上，就可以计算平均指标。算术平均数与强度相对数都是两个总量指标的比值，也都是有名数，都反映了相互联系的两个现象之间的数量对比关系，计算方法也非常相似。但它们却是两个性质不同的统计指标，主要区别有两点：其一，子项指标与母项指标的关系不同。平均数的子项指标与母项指标属于同一个统计总体，是同一统计总体的总体标志总量与总体单位总量的比值，而强度相对数则是来自两个不同总体但有联系的总量指标之比：其二，算术平均数的子项指标（标志总量）随着母项指标（总体单位数）的变动而变动，二者互相适应，而强度相对数的子项指标同母项指标之间不存在这样的关系。算术平均数在统计学中具有重要的地位，是集中趋势的最主要度量值，通常用x（读作x-bar）表示。根据所掌握数据形式的不同，算术平均数有简单算术平均数和加权算术平均数。1.简单算术平均数(Simplearithmeticmean)未经分组整理的原始数据，其算术平均数的计算就是直接将一组数据的各个数值相加除以数值个数。设统计数据为*，2x，则算术平均数的计算公式为：Zx-$+*++x血nn(3.11)【例3.3]某班级40名同学统计学的考试成绩原始资料如表3.1一2所示。表 3. 240名同学统计学原始成绩ABCDEFGHIJ645695981647089798888278896078687979956860378899936758478T647885485797084687589757875该班40名同学统计学的平均成绩为：X= 64+70+.+78+75_330892=77.234040(分）
工人工资总额是总体中每个工人工资的总和，某地区小麦总产量是所有耕地小麦 产量的总和。在总体标志总量和总体单位总量的基础上，就可以计算平均指标。 算术平均数与强度相对数都是两个总量指标的比值，也都是有名数，都反映 了相互联系的两个现象之间的数量对比关系，计算方法也非常相似。但它们却是 两个性质不同的统计指标，主要区别有两点： 其一，子项指标与母项指标的关系不同。平均数的子项指标与母项指标属于 同一个统计总体，是同一统计总体的总体标志总量与总体单位总量的比值，而强 度相对数则是来自两个不同总体但有联系的总量指标之比； 其二，算术平均数的子项指标（标志总量）随着母项指标（总体单位数）的 变动而变动，二者互相适应，而强度相对数的子项指标同母项指标之间不存在这 样的关系。 算术平均数在统计学中具有重要的地位，是集中趋势的最主要度量值，通常 用 x （读作 x bar − ）表示。根据所掌握数据形式的不同，算术平均数有简单算术 平均数和加权算术平均数。 1.简单算术平均数(Simple arithmetic mean) 未经分组整理的原始数据，其算术平均数的计算就是直接将一组数据的各个 数值相加除以数值个数。设统计数据为 1 2 x x, , . , n x ，则算术平均数 x 的计算公式 为： 1 2 1 n i n i x x x x x n n + + + = = = （3.11） [例 3.3] 某班级 40 名同学统计学的考试成绩原始资料如表 3.1—2 所示。 表 3.2 40 名同学统计学原始成绩 该班 40 名同学统计学的平均成绩为： 64 70 78 75 3089 77.23 40 40 X + + + + = = = （分）
2.加权算术平均数（Weightedarithmeticmean）根据分组整理的数据计算算术平均数，就要以各组变量值出现的次数或频数为权数计算加权的算术平均数。设原始数据被分成k组，各组的变量值为，2x，各组变量值的次数或频数分别为,J2.Je，则加权的算术平均数为：2xJ.+++fi+f++frZ.iel(3.12)[例3.4]根据例3.3提供的40名同学的统计学成绩原始资料分组整理如表3.1一3，根据此表资料计算平均成绩。表3.340名同学统计学成绩汇总表BCDAx手1频数组中值()成绩（分）225511060以下360~70865520470~8016751200580~901085850649590~100380740合计3060根据（3.12）式得Zu3060 =76.5X==l40ZJ.i=l(分)根据（3.12）式计算的平均成绩是76.5分，而与根据（3.11）式计算的平均成绩77.23分相比，相差0.73分，显然77.23分是准确的平均成绩，因为（3.11)式所用的是原始数据的全部信息。而（3.12）式是用各组的组中值代表各组的实际数据，使用代表值时是假定各组数据在各组中是均匀分布的，但实际情况与这一假定会有一定的偏差，使得利用分组资料计算的平均数与实际的平均值会产生误差，它是实际平均值的近似值。加权算术平均数其数值的大小，不仅受各组变量值（x，）大小的影响，而且受各组变量值出现的频数即权数（f）大小的影响。如果某一组的权数大，说明
2.加权算术平均数(Weighted arithmetic mean) 根据分组整理的数据计算算术平均数，就要以各组变量值出现的次数或频数 为权数计算加权的算术平均数。设原始数据被分成 k 组，各组的变量值为 1 2 x x, , . , k x ，各组变量值的次数或频数分别为 1 2 f f , ,., k f ，则加权的算术平均数为： 1 1 2 2 1 1 2 1 k i i k k i k k i i x f x f x f x f x f f f f = = + + + = = + + + （3.12） [例 3.4] 根据例 3.3 提供的 40 名同学的统计学成绩原始资料分组整理如表 3.1 —3，根据此表资料计算平均成绩。 表 3. 3 40 名同学统计学成绩汇总表 根据（3.12）式得 1 1 3060 76.5 40 K i i i K i i x f x f = = = = = （分） 根据（3.12）式计算的平均成绩是 76.5 分，而与根据（3.11）式计算的平 均成绩 77.23 分相比，相差 0.73 分，显然 77.23 分是准确的平均成绩，因为（3.11） 式所用的是原始数据的全部信息。而（3. 12）式是用各组的组中值代表各组的 实际数据，使用代表值时是假定各组数据在各组中是均匀分布的，但实际情况与 这一假定会有一定的偏差，使得利用分组资料计算的平均数与实际的平均值会产 生误差，它是实际平均值的近似值。 加权算术平均数其数值的大小，不仅受各组变量值（ i x ）大小的影响，而且 受各组变量值出现的频数即权数（ i f ）大小的影响。如果某一组的权数大，说明
该组的数据较多，那么该组数据的大小对算术平均数的影响就越大，反之，则越小。实际上，我们将（3.12）式变形为下面的形式，就更能清楚地看出这一点。2x.JiX=XZJ.i=lZf.i=li=l(3.13)由（3.13）式可以清楚地看出，加权算术平均数受各组变量值（x）和各组权数即顿率一大小的影响。频率越大，相应的变量值计入平均数的份额也越ZJ.大，对平均数的影响就越大；反之，频率越小，相应的变量值计入平均数的份额也越小，对平均数的影响就越小。这就是权数权衡轻重作用的实质。当我们掌握的权数不是各组变量值出现的频数，而是频率时，可直接根据（4.3.3）式计算算术平均数。如例3.2，根据各组的频数计算的频率分别为：0.05、0.2、0.4、0.25、0.1，各组频率之和为1，则用频率计算的加权算术平均数为：X=i=lEfi=l=55×0.05+65×0.2+75×0.4+85×0.25+95×0.1=76.5（分）从计算结果看，用频率加权计算的结果与用频数加权计算的结果是一致的。需要指出的是，当各组变量值出现的频数（1）或频率一，相等时，权数Zf.的作用就消失了，这就意味着各组变量值对总平均的结果所起的作用是一样的，此时，加权算术平均数就等于简单算术平均数。在实际生活中，我们也会经常遇到由相对数计算平均数的情况。一般地说，求相对数的平均数应采用加权平均的方法，此时，用于加权平均的权数不再是频数或频率，而应根据相对数的含义，选择适当的权数。下面举一个实例说明。[例3.5]某公司所属10个企业资金利润率分组资料如表3.4，要求计算该公司10个企业的平均利润率
该组的数据较多，那么该组数据的大小对算术平均数的影响就越大，反之，则越 小。实际上，我们将（3.12）式变形为下面的形式，就更能清楚地看出这一点。 1 1 1 1 K i i K i i K K i i i i i i x f f x x f f = = = = = = （3.13） 由（3.13）式可以清楚地看出，加权算术平均数受各组变量值（ i x ）和各组 权数即频率 i i f f 大小的影响。频率越大，相应的变量值计入平均数的份额也越 大，对平均数的影响就越大；反之，频率越小，相应的变量值计入平均数的份额 也越小，对平均数的影响就越小。这就是权数权衡轻重作用的实质。 当我们掌握的权数不是各组变量值出现的频数，而是频率时，可直接根据 （4.3.3）式计算算术平均数。如例 3. 2，根据各组的频数计算的频率分别为： 0.05、0.2、0.4、0.25、0.1，各组频率之和为 1，则用频率计算的加权算术平 均数为： 1 1 55 0.05 65 0.2 75 0.4 85 0.25 95 0.1 K i i K i i i f x x f = = = = + + + + = 76.5 （分） 从计算结果看，用频率加权计算的结果与用频数加权计算的结果是一致的。 需要指出的是，当各组变量值出现的频数（ i f ）或频率 i i f f 相等时，权数 的作用就消失了，这就意味着各组变量值对总平均的结果所起的作用是一样的， 此时，加权算术平均数就等于简单算术平均数。 在实际生活中，我们也会经常遇到由相对数计算平均数的情况。一般地说， 求相对数的平均数应采用加权平均的方法，此时，用于加权平均的权数不再是频 数或频率，而应根据相对数的含义，选择适当的权数。下面举一个实例说明。 [例 3.5] 某公司所属 10 个企业资金利润率分组资料如表 3.4，要求计算该 公司 10 个企业的平均利润率
表3.4某公司所属10个企业资金利润率分组资料ABCD1利润总额（万元)企业数n;资金总额（万元）万资金利润率（%）2354402410380853211514061031合计260该例子的平均对象是各企业的资金利润率，表中的企业数虽然是次数或频数，但却不是合适的权数。要正确计算公司10个企业的平均资金利润率，因为资金利润率=利润总额/资金总额，所以计算平均资金利润率需要以资金总额为权数，才能符合该指标的性质。因此，该公司10个企业的平均利润率为：Zx.5%×40 +10%×80+15%×140= 31=11.9%X=El26040+80+1402算术平均数在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统计推断的基础。从统计思想上看，算术平均数是一组数据的重心所在，它是消除了一些随机因素影响后或者数据误差相互抵消后的必然性的结果。例如每年分季度的观测数据，各年同季的数据由于受一些偶然性随机因素的影响，其数值表现出一定的差异性，但将各年同季的数据加以平均，计算的算术平均数，就消除了一些随机因素的影响，反映出季节变动必然性的数量特征。再如，对同一事物进行多次测量，由于测量误差所致，或者其它因素的偶然影响，使得测量结果不一致，但利用算术平均数作为其代表值，则可以使误差相互抵消，反映出事物固有的数量特征。另外，算术平均数具有下面一些重要的数学性质，这些数学性质在实际中有着广泛的应用，同时也体现了算术平均数的统计思想。(1)各变量值与其算术平均数的离差之和等于零，即2(g,-),=0Z(x -x)= 0=或(2)各变量值与其算术平均数的离差平方和最小，即Z(x,-x) f =min(x, -x)=min--（最小）或（最小）（二）调和平均数（Harmonicmean）
表 3.4 某公司所属 10 个企业资金利润率分组资料 该例子的平均对象是各企业的资金利润率，表中的企业数虽然是次数或频 数，但却不是合适的权数。要正确计算公司 10 个企业的平均资金利润率，因为 资金利润率=利润总额/资金总额，所以计算平均资金利润率需要以资金总额为权 数，才能符合该指标的性质。因此，该公司 10 个企业的平均利润率为： 1 1 5% 40 10% 80 15% 140 31 =11.9% 40 80 140 260 K i i i K i i x f x f = = + + = = = + + 算术平均数在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统计推断的基 础。从统计思想上看，算术平均数是一组数据的重心所在，它是消除了一些随机 因素影响后或者数据误差相互抵消后的必然性的结果。例如每年分季度的观测数 据，各年同季的数据由于受一些偶然性随机因素的影响，其数值表现出一定的差 异性，但将各年同季的数据加以平均，计算的算术平均数，就消除了一些随机因 素的影响，反映出季节变动必然性的数量特征。再如，对同一事物进行多次测量， 由于测量误差所致，或者其它因素的偶然影响，使得测量结果不一致，但利用算 术平均数作为其代表值，则可以使误差相互抵消，反映出事物固有的数量特征。 另外，算术平均数具有下面一些重要的数学性质，这些数学性质在实际中有着广 泛的应用，同时也体现了算术平均数的统计思想。 ⑴各变量值与其算术平均数的离差之和等于零，即 1 ( ) 0 n i i x x = − = 或 1 ( ) 0 k i i i x x f = − = ⑵各变量值与其算术平均数的离差平方和最小，即 2 1 ( ) min n i i x x = − = （最小） 或 2 1 ( ) min k i i i x x f = − = （最小） （二）调和平均数（Harmonic mean）