§2.5一元线性回归分析的应用：预 测问题 一、预测值是条件均值或个别值的一个 无偏估计 二、总体条件均值与个别值预测值的置 信区间
§2.5 一元线性回归分析的应用：预 测问题 一、预测值是条件均值或个别值的一个 无偏估计 二、总体条件均值与个别值预测值的置 信区间
说明 ·对于一元线性回归模型 ”,=B。+BX 给定样本以外的解释变量的观测值X,可以得 到被解释变量的预测值Y。，可以此作为其条件 均值EYX=X)或个别值Y的一个近似估计。 ·严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值， 而不是预测值。原因： ·参数估计量不确定； ·随机项的影响
• 对于一元线性回归模型 Yi 0 1 Xi ˆ = ˆ + ˆ 给定样本以外的解释变量的观测值X0，可以得 到被解释变量的预测值Ŷ0 ，可以此作为其条件 均值E(Y|X=X0 )或个别值Y0的一个近似估计。 • 严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值， 而不是预测值。原因: • 参数估计量不确定； • 随机项的影响。 说 明
一、预测值是条件均值或个值的一个 无偏估计
一、预测值是条件均值或个值的一个 无偏估计
1、Y是条件均值E(YX=X)的无偏估计 对总体回归函数E(YX=Xo)-Bo+BX,X=X时 E(YX=Xo)=Bo+BXo 通过样本回归函数亚=。+BX,求得的拟合值为 。=B。+BX。 E(Y)=E(Bo+BXo)=E(Bo)+XoE(B)=Bo+BXo 可见，Y是条件均值E(YX=X)的无偏估计
1、Ŷ0是条件均值E(Y|X=X0 )的无偏估计 对总体回归函数E(Y|X=X0 )=0+1X，X=X0时 E(Y|X=X0 )=0+1X0 0 0 1 0 Y ˆ = ˆ + ˆ X 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 ) ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ E(Y = E + X = E + X E = + X 可见，Ŷ0是条件均值E(Y|X=X0 )的无偏估计
2、Y是个值Y的无偏估计 对总体回归模型Y=Bo+BX+u,当X=Xo时 Yo=Bo+BXo+u E(Yo)=E(Bo+BXo+)=Bo+BXo+E(H)=Bo+BXo 通过样本回归函数广=。+户，X,求得的拟合值为 或。=B。+B,X。 E(Y)=E(Bo+BXo)=E(Bo)+XoE(B)=Bo+BXo 可见，Y是个值Y的无偏估计
2、Ŷ0是个值Y0的无偏估计 对总体回归模型Y=0+1X+，当X=X0时 Y0 = 0 + 1 X 0 + 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 E(Y ) = E( + X + ) = + X + E() = + X 0 0 1 0 Y ˆ = ˆ + ˆ X 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 ) ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ E(Y = E + X = E + X E = + X 可见，Ŷ0是个值Y0的无偏估计
二、总体条件均值与个值预测值的置 信区间
二、总体条件均值与个值预测值的置 信区间
1、总体均值预测值的置信区间 。=B。+BXo B。~N(B, A-NA2x E(Y)=E(Bo)+XoE(B)=Bo+BXo Var(Y)=Var(Bo)+2XCov(Bo,B)+XoVar(B) Cov(B。,B)=-o2X1∑号
1、总体均值预测值的置信区间 0 0 1 0 Y ˆ = ˆ + ˆ X ~ ( , ) ˆ 2 2 1 1 i x N ˆ ~ ( , 2 ) 2 2 0 0 i i n x X N 0 0 0 1 0 1 0 ) ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ E(Y = E + X E = + X ) ˆ ) ( ˆ , ˆ ) 2 ( ˆ ) ( ˆ ( 1 2 Var Y0 =Var 0 + X0 Cov 0 1 + X0 Var = − 2 2 0 1 ) / ˆ , ˆ ( i Cov X x
var() 2XoXo2 Xoo2 n∑x ∑x好 ∑好 02 ∑X- +X2-2XX+X8 n 。+x-x n =o2(1+X。-X)2 n ∑好 9-N(R,+gX,o2+X8》 ∑x好
= − + 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 ) ˆ ( i i i i x X x X X n x X Var Y + − + − = 2 0 0 2 2 2 2 2 X 2X X X n X nX x i i ( ( ) ) 2 0 2 2 2 X X n x x i i = + − ) 1 ( ) ( 2 2 2 0 − = + i x X X n )) 1 ( ) ~ ( , ( ˆ 2 2 2 0 0 0 1 0 − + + i x X X n Y N X
将未知的σ2代以它的无偏估计量G2，可构造t统计量 。-(B+BXo）t0m-2) 于是，在1-α的置信度下，总体均值E(YX)的置信区间为 -t×S<EY|X,)<”,+t×S2
~ ( 2) ( ) ˆ 0 ˆ 0 0 1 0 − − + = t n S Y X t Y 于是，在1-的置信度下，总体均值E(Y|X0 )的置信区间为 0 2 0 2 0 ˆ 0 0 ˆ ˆ ( | ) ˆ Y Y Y − t S E Y X Y + t S
2、总体个值预测值的预测区间 Y。~N(B。+B,Xo,o2) 。-X,N0.o++-0》 n ∑x t= 。-Y~tn-2) Sio- 从而在1-o的置信度下，Y的置信区间为 -1×S-<Y<+g×S-
2、总体个值预测值的预测区间 ~ ( , ) 2 Y0 N 0 + 1 X0 )) 1 ( ) ~ (0, (1 ˆ 2 2 2 0 0 0 − − + + i x X X n Y Y N ~ ( 2) ˆ 0 0 ˆ 0 0 − − = − t n S Y Y t Y Y 从而在1-的置信度下，Y0的置信区间为 0 0 2 0 2 0 0 ˆ 0 0 ˆ ˆ ˆ Y Y Y Y Y t S Y Y t S − − − +