吉林大学精品课>>专门水文地质学>>教材>>专门水文地质学 §84系统理论法 这种方法,也称黑箱法,是通讯技术和自动控制论中建立起来的计算方法。目前,已被 广泛应用到其它科技领域,如:地球物理探矿、气象预报、水文学,甚至在医学、经济学等。 在国内,参考文献用这种方法评价了泉水资源。 所谓系统,是指一个物理实体(通讯设备、自控装置、滤波器或放大器等)及其输入 输出信号,它们之间的数量关系在数学上可用卷积表示 对一个水文地质单元来说,补给量(输入)经过今水层的储存滞后和调节作用转化为排 泄量(输出)。这种储存和调节作用,取决于含水层的埋藏条件、水理性质和水动力条件。 具体分析这些因素将十分复杂无法计算,如把含水层当做一个“转换装置”连同补给量和排 泄量看做一个水文地质系统,则可直接用卷积表示补给量和排泄量之间的数量关系,而不必 研究含水层调节作用的复杂过程。当然,水文地质系统大都是属于非线性时变时滞的随机系 统,非常复杂,但在一定条件下可简化为简单的线性不变集中参数系统 用来解决地下水资源评价时,主要适用于下列水文地质条件 1水文地质单元是稳定的,即含水层分布范围大,分布面积可看做稳定不变:含水层厚 度大,水位变幅相对较小,厚度可看做不随时间变化;含水层的补排区和迳流区相对稳定, 参数不变,所以含水层的物理特征也不随时间变化。 2单元区的主要补给源是大气降水,或降水形成河流的渗漏补给,但不接受外单元的降 水补给,故可以认为是单项输入。 3.地下水的排泄方式单一而集中,例如,只有泉群、暗河或较集中的迳流排泄,或者只 有供水井群或矿井排泄等。地下水位埋藏较深,垂向排泄可以铁略,故可视做单项输出。 对这类地区,只要有长期观测的补给量和排泄量资料,就可用系统理论法评价或预报地 下水流量或开采量。现分两段介绍:数学模型和评价方法 数学模型 所谓系统,是指一个物理实体及其输入输出信号的整体而言。例如具有输入输出信号的 放大器、滤波器,具有输入输出信号的通讯设备的自控装置,具有输入输出信息的通讯设备 和自控装置,具有补给量和排泄量的水文地质单元或单元含水层等,都可视为一个系统 输入信号,可以是间断的脉冲波、锯齿波或任意波形输入,经过放大器的放大作用,输 出信号变为连续波的形成输出 降雨强度,相当脉冲波输入,经过含水层的调节作用,排泄量变为连续的流量波排出含 水层 归此可见,上述两个系统的作用过程是完全相似的,二者应遵循共同的规律性,自动控 制论已经证明,上述系统中输出和输入之间的数量关系,在数学上可用卷积表示,这种卷积 公式赋以水文地质含义后得 9(=P(I-r)W(r)dr 式中:Q()一排泄流量(L3/):-计算时刻;P(t-r)一计算时刻以前的有效降雨量
吉林大学精品课>>专门水文地质学>>教材>>专门水文地质学 §8.4 系统理论法 这种方法，也称黑箱法，是通讯技术和自动控制论中建立起来的计算方法。目前，已被 广泛应用到其它科技领域，如：地球物理探矿、气象预报、水文学，甚至在医学、经济学等。 在国内，参考文献用这种方法评价了泉水资源。 所谓系统，是指一个物理实体（通讯设备、自控装置、滤波器或放大器等）及其输入、 输出信号，它们之间的数量关系在数学上可用卷积表示。 对一个水文地质单元来说，补给量（输入）经过今水层的储存滞后和调节作用转化为排 泄量（输出）。这种储存和调节作用，取决于含水层的埋藏条件、水理性质和水动力条件。 具体分析这些因素将十分复杂无法计算，如把含水层当做一个“转换装置”连同补给量和排 泄量看做一个水文地质系统，则可直接用卷积表示补给量和排泄量之间的数量关系，而不必 研究含水层调节作用的复杂过程。当然，水文地质系统大都是属于非线性时变时滞的随机系 统，非常复杂，但在一定条件下可简化为简单的线性不变集中参数系统。 用来解决地下水资源评价时，主要适用于下列水文地质条件： 1.水文地质单元是稳定的，即含水层分布范围大，分布面积可看做稳定不变；含水层厚 度大，水位变幅相对较小，厚度可看做不随时间变化；含水层的补排区和迳流区相对稳定， 参数不变，所以含水层的物理特征也不随时间变化。 2.单元区的主要补给源是大气降水，或降水形成河流的渗漏补给，但不接受外单元的降 水补给，故可以认为是单项输入。 3.地下水的排泄方式单一而集中，例如，只有泉群、暗河或较集中的迳流排泄，或者只 有供水井群或矿井排泄等。地下水位埋藏较深，垂向排泄可以铁略，故可视做单项输出。 对这类地区，只要有长期观测的补给量和排泄量资料，就可用系统理论法评价或预报地 下水流量或开采量。现分两段介绍：数学模型和评价方法。 一、数学模型 所谓系统，是指一个物理实体及其输入输出信号的整体而言。例如具有输入输出信号的 放大器、滤波器，具有输入输出信号的通讯设备的自控装置，具有输入输出信息的通讯设备 和自控装置，具有补给量和排泄量的水文地质单元或单元含水层等，都可视为一个系统。 输入信号，可以是间断的脉冲波、锯齿波或任意波形输入，经过放大器的放大作用，输 出信号变为连续波的形成输出。 降雨强度，相当脉冲波输入，经过含水层的调节作用，排泄量变为连续的流量波排出含 水层。 由此可见，上述两个系统的作用过程是完全相似的，二者应遵循共同的规律性，自动控 制论已经证明，上述系统中输出和输入之间的数量关系，在数学上可用卷积表示，这种卷积 公式赋以水文地质含义后得： − Q(t) = P（t − )W ( )d ① 式中： Q(t) －排泄流量(L3 /T)；t－计算时刻； P（t − ) －计算时刻以前的有效降雨量
W(r)-权函数 权函数W(r),表示单元含水层的物理特征,如面积、厚度、水力特性和参数等,这些 物理特征是稳定的,故W()不随t变。如令P(t-r)=(1-),则按迪它函数的性质得: g(=8(t-r)W(r)dr=w(r) 这证明,权函数在数量上和单位降雨量时的Q()相等,或叫单位脉冲响应。所以,乘 积P(t-r)W(r)的物理含义,是表示在(1-r)时刻降雨形成的地下迳流量 因此式(1)的水文地质含义是,t刻(常以日、月或年为单位)的流量Qt),是由t刻以 前和以后的,无限个时刻雨形成的各部分迳流量P(t-r)W(r)组成的。显然这仅有理论 意义。 实际资料证明,Q(m)的大小,常和t刻以前某段时间的降雨量有明显关系。该时段以前 降雨形成的迳流。已大部分排出含水层,对Q()影响很小;而该时段以后形成的迳流,正 向排泄区运动但对Q()尚未发生影响。所以(1)式可以改写成各时段之和 90=+m++r 把决定QO大小时段的积分离散化,同时令 Q="P(-W(x)r--表示m以前降雨形成的迳流,绝大部分已经排出含水层, 尚有很少迳流量参加Q()中。所以Q很小可视为常量,结果得: Q()=∑(P H)+Q) 这就是反映降水补给、流量排泄时单元含水层系统的数学模型。因为W不随时间t变, 且集中反映了单元含水层参数,所以上式也称线性时不变集中参数模型。 二、评价方法 应用数学模型(8-15)评价地下水资源时,通常分两步工作:一是确定权函数,二是利用 确定的权函数预报流量或开采量 1确定权函数 确定权函数的方法是,根据一组实测的流量Q测和对应的降雨量Pt,如在不同的试算 方案中,使珩≥0和1=mn,则相应的一系列权函数就是要求的结果 设有一组对应的长观资料Q)和P,=1、2、3、…N(观测序列),而且要满足条 件N≥0>k 设(8-15)式为计算值,即 Q1=∑P-W+Q=P-k"K+Pt-(k+1”K+1+P-mW+Q(8-15) 利用最小二乘法,令(Q计)-Q测)2总和为最小,即
（L）； W（ ) －权函数。 权函数 W（ ) ，表示单元含水层的物理特征，如面积、厚度、水力特性和参数等，这些 物理特征是稳定的，故 W（ ) 不随 t 变。如令 P（t − ) = （t − ) ，则按迪它函数的性质得： Q(t) = t − )W ( )d = W ( ) − （ ② 这证明，权函数在数量上和单位降雨量时的 Q(t) 相等，或叫单位脉冲响应。所以，乘 积 P（t − ) W（ ) 的物理含义，是表示在 （t − ) 时刻降雨形成的地下迳流量。 因此式(1)的水文地质含义是，t 刻（常以日、月或年为单位）的流量 Q(t)，是由 t 刻以 前和以后的，无限个时刻雨形成的各部分迳流量 P（t − ) W（ ) 组成的。显然这仅有理论 意义。 实际资料证明， Q(t) 的大小，常和 t 刻以前某段时间的降雨量有明显关系。该时段以前 降雨形成的迳流。已大部分排出含水层，对 Q(t) 影响很小；而该时段以后形成的迳流，正 向排泄区运动但对 Q(t) 尚未发生影响。所以(1)式可以改写成各时段之和： − = + + + n t tn t tk tn Q(t) 把决定 Q(t) 大小时段的积分离散化，同时令 − = − tn Q P（t )W ( )d ――表示 tn 以前降雨形成的迳流，绝大部分已经排出含水层， 尚有很少迳流量参加 Q(t) 中。所以 Q 很小可视为常量，结果得： ( ) ( ) ) Q t P 1 Wi Q n i k t = + = − (8-15) 这就是反映降水补给、流量排泄时单元含水层系统的数学模型。因为 Wi 不随时间 t 变， 且集中反映了单元含水层参数，所以上式也称线性时不变集中参数模型。 二、评价方法 应用数学模型(8-15)评价地下水资源时，通常分两步工作：一是确定权函数，二是利用 确定的权函数预报流量或开采量。 1.确定权函数 确定权函数的方法是，根据一组实测的流量 (测) Qt 和对应的降雨量 Pt，如在不同的试算 方案中，使 Wi 0 和 Q = min ，则相应的一系列权函数就是要求的结果。 设有一组对应的长观资料 (测) Qt 和 Pt−i ，t=1、2、3、……N（观测序列），而且要满足条 件 N 0 k 。 设(8-15)式为计算值，即 = − + = − + − + + + − + n i k w w Qt Pt iWi Q Pt k K Pt (k 1) K 1 Pt nWn Q (设)＝ (8-15)’ 利用最小二乘法，令 （ (计)－ (测)）2 Qt Qt 总和为最小，即
(P1-k"k+P1-(k+1)"K+1+……+P1-n"n+Q'-Q测)2 取上式对Q′和W的导数,并令导数等于零,即 0, 0,i=k,k+1 水源时间 权函数系列 滞后期 类型单位 (Q为m3/s,P为mm计) (调节周期) Wr=0.035W1=0.021W2=0.026W3=0.018W=0019Ws= 0015W6=0016W=0.013W8=0.011W9=0006Wo=0.004 月W1=0.05W12=0.008W13=0.002W14=0.001W1s= -0.001 2年 0.004W17=0.005W18=0.006Wpg=0.003W20=0.007W2= 0006W220.004W2=0.002W24以后出现负值 W=0.0036W1=0.0078W2=0.0065W3=0.0048W4 =0.0052Ws=0.0052W6=0.0042W=0.0024W8 0.002 8年 以后⑧O增大 W=0.004W2=0008W3=0.007W4 0006W=0005W=0007Ws=00055W=0004W1e= 5年 0005W1=0.003Wn2=0.002W1=0.0005W14 以后出现负0001 结果得下列代数方程组 1=k,∑[+P可+…P可+Q-Q卿}=0 =k+1.∑[P+P n,∑[P+P+…Pm+Q-gp 1=0.∑[P联+P+…P+Q--]1=0 共有n-k+2个方程,含有相同的未知量,解是完全确定的。这组方程,可用高斯消元法 解(解法在数值法中再讲)出权函Wk,Wk+,Wk+2……Wn,Q
= N t Qt Qt 1 ＝ （ 计－ 测）2 = − + − + + + + − + N t t W W W Pt k k Pt k K Pt n n Q Q 1 2 ＝ （ ( 1) 1 － 测） ＝min ② 取上式对 Q 和 Wi 的导数，并令导数等于零，即 0, 0 ,i k, k 1 n, Q Wi = = + = 表(8-9) 水源 类型 时间 单位 权函数系列 （Qt 为 m3 /s，Pt 为 mm 计） Q 滞后期 （调节周期） 暗 河 流 域 月 Wt=0.035W1=0.021W2=0.026W3=0.018W4=0.019W5= 0.015W6=0.016W7=0.013W8=0.011W9=0.006W10=0.004 W11=0.05W12=0.008W13=0.002W14=0.001W15=0.004W16= 0.004W17=0.005W18=0.006W19=0.003W20=0.007W21= 0.006W22=0.004W23=0.002W24 以后出现负值 -0.001 2 年 泉 群 流 域 年 W=0.0036W1=0.0078W2=0.0065W3=0.0048W4 =0.0052W5=0.0052W6=0.0042W7=0.0024W8 以后 Q 增大 -0.002 8 年 矿 井 流 域 半 年 W1=0.004W2=0.008W3=0.007W4=0.006W5= 0.006W6=0.005W7=0.007W8=0.0055W9=0.004W10= 0.005W11=0.003W12=0.002W13=0.0005W14 以后出现负 值 +0.001 5 年 结果得下列代数方程组： i = k, 0 1 + ( 1) 1 + + − − = = − − + + − t k N t Pt kWk Pt k Wk Pt nWn Q Qt P （测） i = k +1, ( 1) 0 1 + ( 1) 1 + + − − + = = − − + + − t k N t Pt kWk Pt k Wk Pt nWn Q Qt P （测） i = n, 0 1 + ( 1) 1 + + − − = = − − + + − t n N t Pt kWk Pt k Wk Pt nWn Q Qt P （测） i = 0, 1 0 1 + ( 1) 1 + + − = = − − + + − N t Pt kWk Pt k Wk Pt nWn Q Qt （测） 共有 n-k+2 个方程，含有相同的未知量，解是完全确定的。这组方程，可用高斯消元法 解（解法在数值法中再讲）出权函 Wk，Wk+1，Wk+2……Wn，Q
在实际计算中,时间t的单位可以选择用日、月、年的不同计算方案,对每一方案都以不同 的试算范围求出系列权函数,再按条件Q1=m和W>0,选定权系列长度m=nk+1,并 确定相应的权函数W 2流量预报 在(8-15)式中,如果忽略很小量O′,则得: I-II (8-16) 这时的W已在第一步确定,所以上式就是一般的预报方程 如以暗河流域为例,以月为计时单位,切假设当月降雨就对Q有影响(k=0),按表中已 知的W值,可得具体的预报方程 Q=0.035P1+0.027P1-1-0.26P12+0.018P14+…+0.004P12+0.002P123 式中:Q--t月的暗河流量(m3/s P、P1…P123--t月、前一个月……前23个月的有效降水量(mm) 预报计算时,首先设t为预报月,t月以前各月的有效降雨强度是已知值,而t月的降雨 强度可用气象预报值,代入上式可得到Q值。 然后对下一个t月预报时,利用以前各月的观测值和预报值,可求得新的Q值,如此继 续计算,可逐月预报
在实际计算中，时间 t 的单位可以选择用日、月、年的不同计算方案，对每一方案都以不同 的试算范围求出系列权函数，再按条件 Q = min 和 Wi>0，选定权系列长度 m=n-k+1，并 确定相应的权函数 Wi。 2.流量预报 在（8-15）式中，如果忽略很小量 Q ，则得： i n i k Qt Pt iW = = − (8-16) 这时的 Wi 已在第一步确定，所以上式就是一般的预报方程。 如以暗河流域为例，以月为计时单位，切假设当月降雨就对 Qt 有影响(k=0)，按表中已 知的 Wi 值，可得具体的预报方程： Qt=0.035Pt+0.027Pt-1 –0.26Pt-2 +0.018Pt-4 +……+0.004Pt-22+0.002 Pt-23 式中： Qt－－t 月的暗河流量（m3 /s）; Pt、Pt-1……Pt-23－－t 月、前一个月……前 23 个月的有效降水量（mm） 预报计算时，首先设 t 为预报月，t 月以前各月的有效降雨强度是已知值，而 t 月的降雨 强度可用气象预报值，代入上式可得到 Qt 值。 然后对下一个 t 月预报时，利用以前各月的观测值和预报值，可求得新的 Qt 值，如此继 续计算，可逐月预报
