§2-2 Gauss列主元消去法 、Gaus5列主元消去法的引入 例1.用3位浮点数运算,求解线性方程组 0.0001x1+x2=1 x1+x2=2 解:本方程组的精度较高的解为 x*=(1.000100.99989999 用Gaus消去法求解
§2-2 Gauss列主元消去法 例1. 用3位浮点数运算，求解线性方程组 + = + = 2 0.0001 1 1 2 1 2 x x x x 解: 本方程组的精度较高的解为 T x* = (1.00010001,0.99989999) 用Gauss消去法求解 一、Gauss列主元消去法的引入
0.00010011 A=(A, b) 0.000100 m21=10000 0 100×104-100×104 回代后得到 x1=0.00 =1.00 与精确解相比,该结果显然是错误的 究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数 如果在求解时将1,2行交换,目
x1 = 0.00 , x2 = 1.00 回代后得到 A = (A,b) ⎯m ⎯2 1= ⎯10000 ⎯→ − − 4 4 1.00 10 1 0 1.00 10 0.000100 1 = 2 1 1 1 0.000100 1 与精确解相比,该结果显然是错误的 究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数 如果在求解时将1,2行交换,即
12 A=(A,b)→> 0.00010011 112 m21=0.0001 0100100 回代后得到 x1=1.00,x2=1.00
A = (A,b) → 1 2 0.000100 1 1 1 ⎯m ⎯2 1= ⎯0.0001 ⎯→ 1.00 2 0 1.00 1 1 x1 = 1.00 , x2 = 1.00 回代后得到
二、列主元素法 用增广矩阵 12 1.n+1 [A,b]= +1 表示方程组,并直接在增广矩阵上进行运算 具体步骤为: 第一步:选1=maxa交换第行和第行, l≤i 然后进行消元,得
二、列主元素法 . [ , ] 1 2 , 1 2 1 2 2 2 2, 1 1 1 1 2 1 1, 1 表示方程组，并直接在增广矩阵上进行运算 用增广矩阵 = + + + n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a A b 具体步骤为： 然后进行消元，得 第一步：选 1 交换第 行和第 1行， 1 ,1 max , 1 1 a a i i i n i =
[A2),b(2) nn+I 第二步:选2=max2交换第2行和第行, 2≤i<n 然后进行消元,得[4∞,b3] 第步:选(=max(交换第行和第行, k≤i 然后进行第k次消元 如此至多经过n-1步,就得到与之同解的上三角形方 程组的增广矩阵,再用回代过程即可得方程组的解
= + + + (2) , 1 (2) (2) 2 (2) , 1 (2) 2 (2) 2 2 (1) 1, 1 (1) 1 (1) 1 2 (1) 1 1 (2) [ , (2)] n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a A b [ , ]. , 2 (3) (3) 2 (2) 2 2 (2) 2 ,2 max A b a a i i i n i 然后进行消元，得 第二步：选 交换第 行和第 行， = . , ( ) ( ) , max 然后进行第 次消元 第 步：选 交换第 行和第 行， k k a a k i k k kn k i n k i k k = 如此至多经过n-1步,就得到与之同解的上三角形方 程组的增广矩阵,再用回代过程即可得方程组的解
、列主元素算法 目标求解n阶线性方程组Ax=b 输入方程组的阶数m增广矩阳Ab的元素an1≤i≤n,1≤j≤n+1 输出方程组的解x,x2…,x,或系数矩阵奇异的信息 步骤S1对k=1,2,,n-1做S11~s14 S11求i,使 maX k≤ 2…,n+ S14对i=k+1 ik 对j=k+1,,n+1
S1 对 k=1,2,…,n-1 做 S11~S14 S11 , max ; , i k k i n i k ai k a k 求 使 = S12 0, . 若ai k ,k = 则输出“A是奇异矩阵”；停机 S13 ( ,..., 1); , , = + a a j k n i k kj i j k k 若 则 S14 . 1,..., 1 / ; 1,..., ij ij ik kj ik ik kk a a a a j k n a a a i k n = − = + + = = + 置 对 置 对 三、列主元素算法 , , , . ; [ , ] ,1 ,1 1. . 方程组的解 1 2 或系数矩阵奇异的信息 方程组的阶数 增广矩阵 的元素 求解 阶线性方程组 n i j x x x n A b a i n j n n Ax b + 目标 = 输入 输出 步骤
S2若an=0,则输出“A是奇异矩阵”;停机 s3置xn=an1lanm 对i=n-1,n-2, n+ 置x s4输出(x,x2,xn停机
若a 0,则输出“A是奇异矩阵”；停机. nn = S3 i i n j i i n i j j i n n n n n a a a x x i n n x a a − = = − − = = + + + 1 , 1 , 1 1, 2,...,1 / ; 置 对 置 S4 ( , ,..., ); . 输出 x1 x2 xn 停机 S2
作业: P50习题3
作业： P50 习题 3