西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第二章 解线性代数方程组的直接方法（2.6）误差分析

§26误差分析 、向量范数 定义1.对于n维向量空间R中任意一个向量x 若存在唯一一个实数川∈R与x对应,且满足 (1)(正定性)x≥0,且∨x∈R",x=0分x=0; (2)(齐次性)kx=ac,Wx∈R,a∈R (3)(三角不等式)x+y≤|x+|y,x,y∈R" 则称|x为向量x的范数

一、向量范数 定义1. n R x, 对于 维向量空间 n 中任意一个向量 若存在唯一一个实数 x R与x对应，且满足 (1) ( ) x  0, x R , x = 0  x = 0; 正定性 且 n (2) ( ) x x x R , R; n 齐次性  =   ，    (3) ( ) , . n 三角不等式 x + y  x + y ，x y  R 则称 x 为向量x的范数. §2-6 误差分析

在向量空间R(C")中设x=( 常用的向量x的范数有 1-范数|x1=x1|+x2|+…+|x 2-范数|xl2=(x1+x2+…+x ∞0-范数|x max IX 1<i P-范数p≥1|n=(x+x2+…+1x") 显然|x和2是|在=1和=2时的特例

T n n n R (C ) , x (x , x , , x ) 在向量空间 中 设 = 1 2  常用的向量x的范数有 2 x 2 2 2 1 2 2 1 ( ) n 2 −范数 = x + x ++ x 1 x n = x + x ++ x 1−范数 1 2  x i i n x   = 1  −范数 max p x p p n p p x x x 1 1 2 p −范数, p 1 = ( + ++ ) 2 和 x 1 显然 x 是 x p 在p = 1和p = 2时的特例

并且由于 max x,maxx|(p→>∞) ≤n x一>|x。(P→>∞O时)所以|xl也是x的特例

并且由于 p p n p p x x x 1 1 2  ( + ++ )   i i n x 1 max p p i i n n x 1 1 ( max )    i i n p n x   = 1 1 max max ( ) 1 → →   xi p i n  x p → x  ( p →时), 所以 x 也是 x p 的特例

例1求下列向量的各种常用范数 x=(1-2,3) 解:x1=x1|+x2+x3=6 x +x +lx 4 xil=max x =3 1<i<3

例1.求下列向量的各种常用范数 T x = (1,−2,3) 解: 1 x = x1 + x2 + x3 = 6 2 x 14 ( ) 2 1 2 3 2 2 2 1 = = x + x + x  x max 3 1 3 = =   i i x

、矩阵范数 定义2.对于空间R中任意一个矩阵A 若存在唯一一个实数川∈R与A对应,且满足 (1)(正定性)‖4‖≥0,且∨A∈R”"4=0÷A=0; (2)(齐次性)州=a川,vA∈R",a∈R (3)(三角不等式)‖4+酬≤A+1|B,VA,B∈R nxn (4)AB≤|A·|B,VA,B∈R nxn 则称‖A为矩阵A的范数

定义2. R A, 对于空间 nn 中任意一个矩阵 若存在唯一一个实数 A R与A对应，且满足 (1) ( )  0,   , = 0  = 0;  A A R A A 正定性 且 n n (2) ( ) A A A R , R; n n =      齐次性   ，  (3) ( ) , . n n A B A B A B R  三角不等式 +  + ，  则称 A 为矩阵A的范数. (4) , . n n AB A B A B R    ，  二、矩阵范数

根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵范数 列-范数 A (1)‖A1 maX max 1≤j≤ 行-范数 =max max x≠ 1<i<n 2-范数 (3)‖42=max LAx =√n、(AA ≠0 n2(4A)为4A的特征值的绝对值的最大值

根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵范数       =  1 1 0 (1) 1 max x Ax A x =   = n i ij j n a 1 1 max 列−范数       =     x Ax A x 0 (2) max =   = n j ij i n a 1 1 max 行−范数       =  2 2 0 (3) 2 max x Ax A x max(A A) T =  max (A T A)为A T A的特征值的绝对值的最大值 2−范数

例2.求矩阵A的各种常用范数 120 A 12-1 011 解:‖A maX ∑ an=max{2,52}=5 1≤i≤n 1≤j≤n i=1 max ∑ an=max{342}=4 1≤in 1<i≤ 由于412=√an(44) 因此先求4A的特征值

例2. 求矩阵A的各种常用范数           = − − 0 1 1 1 2 1 1 2 0 A 解: 1 A =   = n i ij j n a 1 1 max max{2,5,2} 5 1 = =  jn  A =   = n j ij i n a 1 1 max max{3,4,2} 4 1 = = in 2 A max(A A) T 由于 =  因此先求A T A的特征值

10(120 120201 AA=2 21 12-1 11 011 01 9-1 特征方程为 -20 det(ll-AA)=0 a 11 0 可得種A的特征值为 1=91428,22=29211,3=0.9361

A A T            − − 0 1 1 1 2 1 1 2 0           − − = 0 1 1 2 2 1 1 1 0           − = − 1 1 2 0 9 1 2 0 1 特征方程为 det( I A A) T  −           − − − − − = 1 1 2 0 9 1 2 0 1    = 0 可得A T A的特征值为 1 = 9.1428,2 = 2.9211,3 = 0.9361

42=√=、(44)=3.0237 定义3.设A∈R"的特征值为λ,A2…,λ,称 p(4)=max{42…A2n} 为矩阵A的谱半径 显然‖A42=√2mn(AA) (4A) 定理1.设N是R"上的一种算子范数,A∈R”", 若4满足‖A<1则+A非奇异,且

2 A max(A A) T =  = 3.0237 定义3. 设A R nn 的特征值为1 ,2 ,  ,n ,称 ( ) max{ , , , }  A = 1 2  n 为矩阵A的谱半径 显然 2 A max(A A) T =  (A A) T =  定理1. , , n n n n R A R   设  是 上的一种算子范数  若A满足 A  1,则I + A非奇异,且 A I A − +  − 1 1 ( ) 1

、误差分析 对于线性方程组Ax=b,如果系数矩阵A或 常数项b的元素的微小变化,就会引起方程组解的 巨大变化,则称该方程组是"病态"的,A为病态"矩 阵否则称对"良态"的. 1常数项b的扰动对方程组解的影响 设Ax=b为一线性方程组,A为非奇异矩阵,x为其精确解 若常数项b存在误差妫,则解也应存在误差δ 即有 A(x+&x)=6+8b AS=sb 8x=4b

. " " . , " " , " " , , 阵否则称为良态 的 巨大变化 则称该方程组是 病态 的 为 病态 矩 常数项 的元素的微小变化 就会引起方程组解的 对于线性方程组 如果系数矩阵 或 A b Ax = b A 三、误差分析 1.常数项b的扰动对方程组解的影响 设Ax = b为一线性方程组, A为非奇异矩阵, x为其精确解 若常数项b存在误差b,则解也应存在误差x 即有 A(x +x) = b +b Ax =b x A b −1 =