§6-2 Lagrange插值 、线性插值 假设给出了连续函数f(x)在两个互异节点x02x的函数值 yo=f(o),y,=f(,) 假设 P(x=A(x-x1)+B(x-xo) 由P(x0)=y得 A=y/(x0-x1) 由P(x1)=y得 B=y/(x1-x0) 由此得 X-x X-x x)= Vo t y x1 X-X
§6-2 Lagrange插值 一、线性插值 ( ), ( ) 0 0 1 1 y = f x y = f x 假设给出了连续函数f (x)在两个互异节点x0 , x1的函数值 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x x x x y x x x x P x B y x x P x y A y x x P x y P x A x x B x x − − + − − = = − = = − = = − + − 由此得 由 得 由 得 假设
二、抛物线插值 假设给出了连续函数f(x)在三个互异节点x,x,x2的函数值 y0=f(x),y=f(x1),y2=f(x2) 令 P(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0(x-x1) +C(x-xo(x-x1) 由P(x0)=y得 A=y/(x0-x1)(x-x2) 由P(x1)=y得 B=y/(x1-x0)(x1-x2) 由P(x2)=y2得 y2/(x2-x0)x2-x1) 由此得
二、抛物线插值 ( ), ( ), ( ) 0 0 1 1 2 2 y = f x y = f x y = f x 假设给出了连续函数f (x)在三个互异节点x0 , x1 , x2的函数值 由此得 由 得 由 得 由 得 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 0 2 1 1 2 2 1 1 0 1 2 1 1 1 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 1 1 2 0 1 C y x x x x P x y B y x x x x P x y A y x x x x P x y C x x x x P x A x x x x B x x x x = − − = = − − = = − − = + − − = − − + − − 令
X-x 00 X-x P(x)= (x-x0)(x-x2) yo t V1 no -x )(x1-x0)(x1-x2) (x-x0(x-x1) (x2-x0(x2-x1) 、n阶 Lagrange插值 假设给出了连续函数f(x)在互异的n+1个节点x(=0,1,…m) 上的函数值f(x)确定一次数不高于n的多项式P(x)使得P(x)=y 可令 P(x)=∑4I(x-x) i=0
2 2 0 2 1 0 1 1 1 0 1 2 0 2 0 0 1 0 2 1 2 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x P x − − − − + − − − − + − − − − = 三、n阶Lagrange插值 i n n i i i f x n P x P x y f x n x i n = + = ( ), ( ), ( ) ( ) 1 ( 0,1,, ) 上的函数值 确定一次数不高于 的多项式 使得 假设给出了连续函数 在互异的 个节点 可令 = = = − n i n j i j n i j P x A x x 0 0 ( ) ( )
由P(x0)=y得 A=y/(x0-x1)(x-x2)…(x0-xn) 由P(x1)=y得 A1=y1/(x1-x0)(x1-x2)…(x1-xn) 由P(x)=y得 A=y/(x1-x0(x1-x1)…(x1-x1)( 于是 P(x)=∑4∏(x-x)=∑41(x)(3) j=0 式(3)称为n次 Lagrange代数插值多项式 1(x)称为基本插值多项式 1(x)=(x-x)
于是 由 得 由 得 由 得 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) i 0 1 1 1 1 1 1 0 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 i i i i i i i i n n i i n n n n A y x x x x x x x x x x P x y A y x x x x x x P x y A y x x x x x x P x y = − − − − − = = − − − = = − − − = − + ( ) ( ) ( ) 0 0 0 P x A x x Al x i n i i n i n j i j n i j = = = = − = （3） 式(3)称为n次Lagrange代数插值多项式 l i (x)称为基本插值多项式 = = − n j i j i i l x x x 0 ( ) ( )
四、 Lagrange插值算法 输入插值多项式阶节点坐标及函数值x,y(0≤i≤m 待插值点坐标=1(1≤1≤m) 输出Pn(=1)(l=12,…,m) 步骤 Sl对i=0,1…,n 计第4=(-x S2对1=1,2…,m 计算P(=)=∑4I(=-x)
四、Lagrange插值算法 ( ) ( 1,2, , ) (1 ) ; , (0 ); P z l m z l m n x y i n n l l i i = 待插值点坐标 插值多项式阶 节点坐标及函数值 = = = = − = − = = n i n j i j n l i l j n j i j i j i i P z A z x S m x x A y S i n 0 0 0 ( ) ( ) 2 l 1,2, , ( ) 1 1 0,1, , 计算 对 计算 对 输入 输出 步骤
五、 Lagrange插值多项式的截断误差 定理1假设f(x)在区间a,b上有n+阶连续导数, P(x)是过互异的n+1个节点x(=01,m)的n次 Lagrange 插值多项式,R,(x)=f(x)-P(x)是其余项,则 n+1 R,(x) (2) n+ o(x)=I(x-x)=(x-x)(x-x)…(x-x,)
五、Lagrange插值多项式的截断误差 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 ( 0,1,, ) 1 ( ) [ , ] 1 , 0 1 0 ( 1) n n i i n n n n n i x x x x x x x x x x n f R x R x f x P x P x n x i n n Lagrange f x a b n = − = − − − + = = − + = + = + 插值多项式 是其余项 则 是过互异的 个节点 的 次 定理 假设 在区间 上有 阶连续导数
作业: 教材P135习题1、2
作业： 教材P135 习题 1 、 2