§9-1欧拉法 、欧拉公式的推导 对一阶方程的初值问题 f(t,y)a≤t≤b 假设式(1)的唯一解y(t)在[a,b上有二次连续导数, 则对i=0,1,…,n-1,作泰勒展开得 (t1)=y(4)+(1-t)y()+12+1-=1) y"(5)(2) 其中,t1<5;<t1,=0,1,…n
§9-1 欧拉法 一、欧拉公式的推导 (1) ( ) ( , ) 0 = = y a y f t y a t b dt dy 对一阶方程的初值问题 , , 0,1, , 1 ( ) (2) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1, , 1, (1) ( ) [ , ] , 1 2 1 1 1 = − − = + − + = − + + + + t t i n y t t y t y t t t y t i n y t a b i i i i i i i i i i i 其中 则对 作泰勒展开得 假设式 的唯一解 在 上有二次连续导数
因y()为(1)的解所以将y(1)=f(2y(1)代入(2)式得 h y(t+1)=y(t1)+hf(t12y(t1)+y(5) 2! 当充分小时 y(t+1)≈y(t1)+hf(t1,y(t+1) 所谓欧拉法是指分别用y,y作为y(t1)与y(1)的近似值 (=1,2,…,m,并满足 C y21=y+b/(y) 称(4)式为欧拉法的差分格式
( ) ( ) ( , ( )) i+1 i + i i+1 y t y t hf t y t 当h充分小时 ( ) (3) 2! ( ) ( ) ( , ( )) 2 i 1 i i i 1 i y h y t + = y t + hf t y t + + 因y(t)为(1)的解,所以将y (t i ) = f (t i , y(t i ))代入(2)式得 (4) ( , ) 1 0 = + = i+ i i i y y hf t y y 并满足 所谓欧拉法是指分别用 作为 与 的近似值 ( 1,2, , ), , ( ) ( ) 1 1 i n y y y t y t i i i i = + + 称(4)式为欧拉法的差分格式
二、欧拉法算法 目标用欧拉法计算初值问题 f(t,y)a≤t≤b y(a)=a 的近似解 输入区间端点ab区间等分个数m初值a 输出n+1个节点处的近似值y 步骤S1令h 6-a 输出 ,々、L=,y=c ly S2对i=1,2,…,n做S21~S23 S21 y=y+hf(t,y) S22 t=a+ih S23输出t和y S3停机
. 23 . 22 ; 21 ( , ); 1,2, , 21 ~ 23. . ; ; ; 1 . , ; ; . . ( ) ( , ) 停机 输出 和 对 做 输出 和 令 个节点 处 的近似值 区间端点 区间等分个数 初值 的近似解 用欧拉法计算初值问题 S t y S t a ih S y y hf t y i n S S t y t a y n b a h n t y y a b n y a f t y a t b dt dy i i = + = + = = = − = + = = 二、欧拉法算法 目标 输入 输出 步骤 S1 S2 S3
欧拉法的局部截断误差 假定第步的准确值ν(t)和由差分格式求出的近似值γ相等的前提下,第 i+1步的准确值y(t-)与近似值y的误差即当yt)=y时,局部截断误差 +1)=y+1 因为y(1)-y(1)=["f(2y()at 所以E1=y(t1)-y y(t)-y,+f(t,y(t )dt-hf(t,y) 由局部截断误差假设y(t1)=y1得 E+1=y(t1)-y i+1 f(t,y()d-bf(t12y)(2)
( , ( )) ( , ) (2) ( ) ( ) , 1 1 1 1 i i t t i i i i i f t y t dt hf t y y t y y t y i i = − = − = + + + + 由局部截断误差假设 得 + + − = 1 ( ) ( ) ( , ( )) 1 i i t t 因为 y t i y t i f t y t dt ( ) ( , ( )) ( , ) ( ) 1 1 1 1 i i t t i i i i i y t y f t y t dt hf t y y t y i i = − + − = − + + + + 所以 三、欧拉法的局部截断误差 1 1 1 ( ) i+ = i+ − i+ y t y 步的准确值 与近似值 的误差即当 时 局部截断误差 假定第 步的准确值 和由差分格式求出的近似值 相等的前提下 第 1 ( ) . ( ) , ( ) , i 1 i 1 i i i i i y t y y t y i y t y + + + =
定理1若函数f(t,y)在凸区域D={(t,y)a≤t≤b ∞0<y<+0}上关于变量t,y都满足李普希兹条件即 (t2y)-f(2,y)≤K1 f(t,y)-f(t,y2)5Ly-y2l 则欧拉法的局部截断误差满足 h EH|≤(K+LMi=12,…n-1) 2 其中M=max/(y(1) acts
, ( , ( )). ( )( 1,2, , 1) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) } , , 1 ( , ) {( , ) | , max 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 M f t y t K LM i n h f t y f t y L y y f t y f t y K t t y t y f t y D t y a t b a t b i + = + = − − − − − − + = 其中 则欧拉法的局部截断误差满足 上关于变量 都满足李普希兹条件 即 定理 若函数 在凸区域
引理1对任意x>0及任意正数n,有 (1+x)0,t为非负实数,序列{a1}满足递推不等式 |(1+s)a+t (i+1)s +la
n n x x e x n + (1 ) 引理1 对任意 0及任意正数 ,有 s t a s t a e a s a t s t a i s i i i i + − + + + + + ( ) (1 ) 2 0 , { } 0 ( 1) 1 1 则 引理 设 ， 为非负实数 序列 满足递推不等式
定理2若函数f(t,y)在凸区域D={(t,y)a≤t≤b, ∞<y<+ω}上关于变量t,y都满足李普希兹条件,即 f(t,y)-f(t,y2sLy-y2l 则欧拉法的整体截断误差为 hM L(b-a) i+1 2L 其中M=max/"(t) asts
, ( ). ( 1) 2 ( , ) ( , ) } , , 2 ( , ) {( , )| , max ( ) 1 1 2 1 2 M f t e L hM E f t y f t y L y y y t y f t y D t y a t b a t b L b a i = − − − − + = − + 其中 则欧拉法的整体截断误差为 上关于变量 都满足李普希兹条件 即 定理 若函数 在凸区域
作业 教材P198习题1、2
作业 教材P198 习题 1 、 2