§8-2梯形公式 、梯形公式 当插值节点x,x分别选为区间端点a,b时 6. 6 Xo-x a X-x X-a b C 从而得到数值积分公式 b f(x)dx ff(a)+f(b) (1) 称(1)式为梯形积分公式,简称梯形公式
§8-2 梯形公式 一、梯形公式 [ ( ) ( )] (1) 2 ( ) 2 2 , , 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 f a f b b a f x dx b a dx b a x a dx x x x x A b a dx a b x b dx x x x x A x x a b b a b a b a b a b a + − − = − − = − − = − = − − = − − = 从而得到数值积分公式 当插值节点 分别选为区间端点 时 称(1)式为梯形积分公式，简称梯形公式
二、梯形公式几何意义 用直线y=L1(x)成的梯形面积近似代替y=f(x)所 围成的曲边梯形面积 y干f(x) B A a X 、梯形公式的截断误差 定理1若f(x)在a,bl上二阶导数存在且连续,则梯形公式 的余项为 RIfT b-a f"(n)n∈[a,b 12
0 x y a b A B y = f (x) ( ) 1 y = L x 二、梯形公式几何意义 围成的曲边梯形面积 用直线y = L1 (x)围成的梯形面积近似代替y = f (x)所 三、梯形公式的截断误差 ( ) [ , ] 12 ( ) [ ] 1 ( ) [ , ] 3 f a b b a R f f x a b − = − 的余项为 定理 若 在 上二阶导数存在且连续，则梯形公式
四、复合梯形公式 所谓复合方法,即将积分区间a,b分成若干个子区间 然后在每个小区间上使用低阶求积公式,最后将每 个小区间上的积分的近似值相加 将定积分f(x)的积分区间ab分割为n等份 k=a+kh k=01 b-a h 在子区邮xk2x1]k=01,…,n-1)上使用两点梯形公式
四、复合梯形公式 所谓复合方法， 即将积分区间[a,b]分成若干个子区间 然后在每个小区间上使用低阶求积公式，最后将每 个小区间上的积分的近似值相加 将定积分 f x dx的积分区间 a b 分割为n等份 b a ( ) [ , ] xk = a + kh , k = 0,1, ,n n b a h − = 在子区间[xk , xk+1 ](k = 0,1, ,n −1)上使用两点梯形公式
得 ∫f(x)dx=∑J(x)t ∑ (f(x1)+f(x) f"(5 2 ∑(f(x1)+f(x)-,f"( 由于f(x)在a,b连续,由介值定理知:在[a,b内必存在一点n,使得 ∑f"(5)=fO) 于是/(xk=∑2((x)+f(x) b-a f"(m) (f(a)+2∑f(x)+f(b) (b-a) f"(7) +E
( ) ( ) 1 ( ) [ , ] , : [ , ] , ( )] 12 ( ( ) ( )) 2 [ ( )] 12 ( ) ( ( ) ( )) 2 [ ( ) ( ) 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 f f n f x a b a b f h f x f x h f x x f x f x x x f x dx f x dx n i i n i i i i n i i i i i i i i b a n i x x i i = = + − − + − − = = = = − = − − − = − 由于 在 连续 由介值定理知 在 内必存在一点 使得 得 ( ) 2 1 1 1 3 1 ( ) 12 ( ) ( ( ) 2 ( ) ( )) 2 ( )] 12 1 ( ( ) ( )) 2 ( ) [ T n n n i i n i i i b a T E h f b a f a f x f b h f n b a f x f x h f x dx = + − = + + − − = + − − = = − 于是
其中 T,=((a)+22f(x,)+f(b) 为复合梯形公式的近似值 E (6 h2f"(7) 12 为复合梯形公式的截断误差
( ) 12 ( ) ( ( ) 2 ( ) ( )) 2 ( ) 2 1 1 h f b a E f a f x f b h T T n i n i n − = = + + − = 其中 为复合梯形公式的近似值 为复合梯形公式的截断误差
五、复合梯形公式算法 目标已知区间a6上的函数/(x)用复合梯形公式求数值积分(x) 输入端点ab区间等分个数n 输出积分近似值Tn 步骤 s1计算步长h b 为累加和赋初值T=(fn+f6) s2计算累加和7=∑f(x) S3算出积分值Tn=7h s4输出T,停机
五、复合梯形公式算法 . . ( ). ( ). 2 1 ; . , ; . [ , ] ( ), ( ) . 1 1 输出 ，停机 算出积分值 计算累加和 为累加和赋初值 计算步长 积分近似值 端点 区间等分个数 已知区间 上的函数 用复合梯形公式求数值积分 n n n i i a b n b a T T Th T f x T f f n b a h T a b n a b f x f x dx = = = + − = − = 目标 输入 输出 步骤 S1 S2 S3 S4
作业: 教材P174习题1
作业： 教材P174 习题 1