§8-3 Simpson公式 、三点 Simpson公式 a+b 当插值节点x0=a,x=2 b时 b Ao (x-x1)(x-x2) a(x-x1)(x0-x2) b(x-xo(x-x A= )x_2(b-a) Cdx x1-x2) b(x-xo(x-xI b b(x2-x0)(x2-x1) 从而得到数值积分公式 b∫a f(r)are 6 a+b [f(a)+4f(-)+f(b)](1) 2 称(1)式为梯形积分公式,简称梯形公式
§8-3 Simpson公式 一、三点Simpson公式 ) ( )] (1) 2 [ ( ) 4 ( 6 ( ) ( )( ) 6 ( )( ) 3 2( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 6 ( )( ) , 2 , 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 2 1 0 1 0 2 1 2 0 0 1 2 f b a b f a f b a f x dx b a dx x x x x x x x x A b a dx x x x x x x x x A b a dx x x x x x x x x A x b a b x a x b a b a b a b a + + + − − = − − − − = − = − − − − = − = − − − − = = + = = 从而得到数值积分公式 当插值节点 时 称(1)式为梯形积分公式，简称梯形公式
二、 Simpson公式几何意义 用抛物线=L2(x)围成的曲边梯形面积近似代替y=f(x)所 围成的曲边梯形面积 y=f(x) y=L(x o a X 三、 Simpson公式的截断误差 定理1若f(x)在[a,b上四阶导数存在且连续,则 Simpson公式 的余项为 R[]= (b-a) f4(7)n∈[a,b 2880
二、Simpson公式几何意义 围成的曲边梯形面积 用抛物线y = L2 (x)围成的曲边梯形面积近似代替y = f (x)所 三、Simpson公式的截断误差 ( ) [ , ] 2880 ( ) [ ] 1 ( ) [ , ] (4) 5 f a b b a R f f x a b Simpson − = − 的余项为 定理 若 在 上四阶导数存在且连续，则 公式 0 x y a b A B y = f (x) ( ) 1 y = L x
四、复合 Simpson公式 将定积分f(x)d的积分区间ab分割为m等份 步长 h 2m 在子区间x2x2/+2j=0,…,m-1)上使用三点 Simpson公式得复合 Simpson公式: (x=∑∫(x)k ≈∑[/(x,)+4(x2)+f(x2 {f(a)+f(b)+22f(x2)+∑4(x2)
四、复合Simpson公式 将定积分 f x dx的积分区间 a b 分割为 m等份 b a ( ) [ , ] 2 m b a h 2 − 步长 = 公式得复合 公式： 在子区间 上使用三点 Simpson Simpson [x j , x j ]( j 0,1, ,m 1) 2 2 +2 = − { ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( )} 3 1 [ ( ) 4 ( ) ( )] 3 1 ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 1 0 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 = − − = − = + + − = = + + + + + = + m j j m j j m j j j j m j x x b a f a f b f x f x f x f x f x f x dx f x dx j j
为复合 Simpson公式的截断误差 6-a E h 4c(4) (7)∈[a,b 2880 五、复合 Simpson公式算法 目标已知区间a,b]上的函数f(x)用复合 Simpson公式 b 求数值积分f(x)减k 输入端点a,b;区间等分个数n 输出积分近似值S 步骤 s1计算步长h b-a n=2m 为累加和赋初值S=f(a)+f(b) s2计算累加和Sn=2(S+∑2f(x21)+∑4f(x21) s3输出T,停机
( ) [ , ] 2880 ( ) ( ) 4 (4) h f a b b a E s n − = − 为复合Simpson公式的截断误差 五、复合Simpson公式算法 . ( 2 ( ) 4 ( )) 3 ( ) ( ). ; 2 . , ; . ( ) . [ , ] ( ), 1 2 1 1 1 2 输出 ，停机 计算累加和 为累加和赋初值 计算步长 积分近似值 端点 区间等分个数 求数值积分 已知区间 上的函数 用复合 公式 n m j j m j n j n b a T S f x f x h S S f a f b n m n b a h S a b n f x dx a b f x Simpson = − − = = + + = + = − = 目标 输入 输出 步骤 S1 S2 S3
作业: 教材P174习题3
作业： 教材P174 习题 3