§5-3逆幂法 逆幂法分析 设n阶实方阵A有n个线性无关的特征向量u12l2…,ln2 相应的特征值分别为,2…,,并按其绝对值的大小排列 2|≥22≥…≥1 则由A=1,可得A-u=u,即A的逆矩阵A-的特征值为 1 (=12…,n),并有 而且A对应于λ的特征向量u就是A的对应于的特征向量 如果对矩阵A用幂法求A的按模最大的特征值及相应特 征向量an,就是对A求按模最小的特征值λ,及相应特征向量un 这种用A代替A应用幂法就称为对A应用逆幂法
§5-3 逆幂法 一、逆幂法分析 , , , , u1 u2 un , , , , 1 2 n 设n阶实方阵A有n个线性无关的特征向量 相应的特征值分别为 并按其绝对值的大小排列 即 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 ( 1,2, , ), 1 , 1 , = = = − − − n n i i i i i i i i n A u u A u u A A 并有 则由 可得 即 的逆矩阵 的特征值为 这种用 代替 应用幂法就称为对 应用 征向量 就是对 求按模最小的特征值 及相应特征向量 如果对矩阵 用幂法求 的按模最大的特征值 及相应特 而且 对应于 的特征向量 就是 的对应于 的特征向量 A A A u A u A A A u A n n n n i i i , . 1 . 1 1 1 1 − − − 逆幂法
即任给初始向量x。≠0由迭代公式 xk+1=Axk(k=0,1,2,…) 得到向量序列{xk},可改写成: k+1=x 具体计算时,可以将A进行三角分解 于是,逆幂法的迭代步骤如下: °对A进行三角分解A=LU 2”确定p使x= maxx, m=x,计算 Isi /m(k=0,1,…) 30解方程组Lk=y,Ux1=z(k=0,1,…
0 x0 ( 0,1,2, ) 1 xk+1 = A − xk k = 即任给初始向量 由迭代公式 { }k 得到向量序列 x ,可改写成： k 1 k Ax = x + 具体计算时，可以将A进行三角分解. 于是,逆幂法的迭代步骤如下： 3 , ( 0,1, ) (k 0,1, ) 2 , , , 1 A . 1 0 1 0 0 max = = = = = = = = + Lz y U x z k y x m p x x m x A LU k k k k k k i p i n p 解方程组 确定 使 计算 对 进行三角分解
二、幂法算法 目标求A=(an)∈R的按模最小特征值及相应的特征向量 输入A的阶数n;A的元素an1≤i,≤m,初始向量x 允许误差;最大迭代次数N 输出近似特征值λ和特征向量x或方法失败的信息 步骤s1置k=1,=0 s2作三角分解A=LU s3确定使x=maxx置m=x 置 s4直y s5当k≤N时,作S51~S56 s51计算Lz=y; S52 Ux=z s53确定p,使x=maxx置m=x 1≤i<n
二、幂法算法 n n A aij R = ( ) ; . ,1 , ; ; N A n A a i j n x i j 允许误差 最大迭代次数 的阶数 ； 的元素 初始向量 近似特征值和特征向量x或方法失败的信息. , 51 ~ 56. . , , . . 1, 0. max 1 k N S S y x m p x x m x A LU k i p i n p 当 时 作 置 确定 使 置 作三角分解 置 = = = = = = , , ; ; ; max 1 i p i n p p x x m x U x z Lz y = = = = 确定 使 置 计算 目标 求 的按模最小特征值及相应的特征向量 输入 输出 步骤 S1 S2 S3 S4 S51 S52 S53 S5
S44 置若 Ly=x/m s45 <E,则置λ=-,输出(λ,y)停机 S46置k=k+1;p=m s5输出“ Maximum num ber of iterations exceeded”;停机
1; . , ( , ); . 1 , 1 1 ; k k m y m m y x m = + = − = = 置 若 则置 输出 停机 S44 置 S45 S46 S5 输出“Maximum number of iterations exceeded”;停机