§8-4等距节点的牛顿一柯特斯公式 、公式推导 Newton- Cotes公式是指等距节点下使用 Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式 设函数f(x)∈C[a,b 将积分区间[a,b分割为n等份 各节点为x1=a+i,=0,1,…,n 其中h b-a为步长 如果作变量替换x=a+th,那么由
§8-4 等距节点的牛顿—柯特斯公式 一、公式推导 Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式 设函数f (x)C[a,b] 将积分区间[a,b]分割为n等份 xi = a +ih , i = 0,1, ,n 其中 为步长 n b a h − = 各节点为 如果作变量替换x = a +th,那么由
(x-x0)…(x-x11)(x-x1)…(x-xn) x (x1-x0)…( )( X-X 导出求积公式的系数 A=h (-1)…(t-i+1)(t-i-1)…(t l!(-1)”(n-) b-a(-1) (t-1)…(t-i+1)(t-i-1)…(t-n)ut (t-1)…(t-i+1)(t-i-1)…(t-n)k 0 0.1
( 0,1, , ) ( 1) ( 1)( 1) ( ) !( )! ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( ) !( )! ( 1) !( 1) ( )! ( 1) ( 1)( 1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 ( ) 0 0 0 1 1 0 1 1 i n t t t i t i t n dt i n i C t t t i t i t n dt n i n i b a dt i n i t t t i t i t n A h dx x x x x x x x x x x x x x x x x A n n i n i n n i n n i i b a i i i i i i n i i n i − − − + − − − − − = − − + − − − − − − = − − − − + − − − = − − − − − − − − = − − − − + − + 记 导出求积公式的系数
A=(b-a)C 于是相应的插值型求积公式为 r(x)k(b-a∑Cf(x)(2) 这种等距节点的插值型求积公式(2)称为牛顿一柯特斯公式 C(叫柯特斯系数. 在 Newton- Cotes公式中,n=1,2时的公式是梯形公式和 Simpson公式 1梯形公式 取n=1,则 X1 bh=b
( ) ( ) ( ) (2) ( ) 0 ( ) ( ) i b a n i n i n i i f x dx b a C f x A b a C = − = − 于是相应的插值型求积公式为 则 这种等距节点的插值型求积公式(2)称为牛顿—柯特斯公式 . Ci (n) 叫柯特斯系数 在Newton-Cotes公式中,n=1,2时的公式是梯形公式和 Simpson公式 1.梯形公式 取n = 1,则x0 = a , x1 = b ,h = b − a
Cotes系数为 2 于是 b f(dx ff(a)+f(b 2 Simpson公式 6+ b 取n=2,则x0=a,x1 x=bh 2 2 Cotes系数为Ca) 1 45(-1)(-2)t=
t dt = − − 1 0 ( 1) (1) C0 Cotes系数为 2 1 = tdt = 1 0 (1) C1 2 1 = 于是 [ ( ) ( )] 2 ( ) f a f b b a f x dx b a + − 2.Simpson公式 2 , , 2 2, , 0 1 2 b a x b h b a n x a x − = = + 取 = 则 = = Cotes系数为 C t t dt = − − 2 0 (2) 0 ( 1)( 2) 4 1 6 1 =
4 t(t-2)dt 2J0 4J0 于是 f(x)x≈(b-a∑C)f(x) bar(a)+4/(a+b)+/(b
C t t dt − − = 2 0 (2) 1 ( 2) 2 1 6 4 = C t tdt = − 2 0 (2) 2 ( 1) 4 1 6 1 = = − 2 0 (2) ( ) ( ) ( ) k k k b a f x dx b a C f x ) ( )] 2 [ ( ) 4 ( 6 f b a b f a f b a + + + − = 于是
二、 Newton- Cotes公式的稳定性分析 考察 Cotes系数 (-1) k kl (n-k) ∏I(- 0≤j≤n k 与积分区间a,b的节点x的划分有关,与函数f(x)无关 其值可以精确给定 因此用 Newton- Cotes公式计算积分的舍入误差主要由 函数值f(x)的计算引起
二、Newton-Cotes公式的稳定性分析 因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由 函数值f (xk )的计算引起 t j dt n k n k C n j k j n n k n k − − − − = 0 0 ( ) ( ) !( )! ( 1) 考察Cotes系数 只与积分区间[a,b]的节点xj 的划分有关,与函数f (x)无关 其值可以精确给定
只需讨论f(x)的舍入误差对公式的影响 假设f(x)为精确值,而以f(x)作为f(x2)的近似 值(计算值) k=f(xk)-f(x)为误差 记 =(b-a)∑Cmf(x) k=0 为J的近似值(计算值) 而理论值为=(b-a)∑Cmf(xk) k=0 与的误差为 n=(b-a)∑CLf(x)-f(x) k=0
只需讨论f (xk )的舍入误差对公式的影响 ( ) ( ) , ( ) ( ) 值 计算值 假设f xk 为精确值 而以f xk 作为f xk 的近似 k = f (xk ) − f (xk )为误差 n I = = − n k k n k b a C f x 0 ( ) ( ) ( ) 记 为 的近似值(计算值) n I 而理论值为 n I = = − n k k n k b a C f x 0 ( ) ( ) ( ) I n 与I n 的误差为 n n I − I = = − − n k k k n k b a C f x f x 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )]
=(b-a)∑C (-a)∑(m k=0 (b-a)∑c (n E=maleK 若k≤n,C(>0,有 列s(b-a)s∑C=(b-a)∑c1 k=0 =(b-a)∑cg(x)(g(x)=1) b =8g(x)dx=8dx=(b-aa
n n I − I = = − n k k n b a Ck 0 ( ) ( ) = − n k k n b a Ck 0 ( ) In − In ( ) = − n k n b a Ck 0 ( ) ( ) max{| |} k = 若 k n , Ck (n) 0,有 n n I − I = − n k n b a Ck 0 ( ) ( ) = = − n k n b a Ck 0 ( ) ( ) 1 = = − n k k n k b a C g x 0 ( ) ( ) ( ) (g(x) 1) = b a g(x)dx = b a dx = (b − a)
ln-n|≤(b-a)s Newton- Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的 (b-a)倍 即k≤n,C()>0时,Neon- Cotes公式是稳定的 事实上,当n<8时,公式都是稳定的 若C有正有负有 b-a)2l≥(b-a)∑co=(b-a) k=0 此时,公式的稳定性将无法保证 因此,在实际应用中一般不使用高阶 Newton- Cotes公式
即 n n I − I (b − a) Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的 (b − a)倍 事实上,当n 8时，公式都是稳定的 即k n , Ck (n) 0时,Newton −Cotes公式是稳定的 若 Ck (n) 有正有负,有 = − n k n b a Ck 0 ( ) ( ) = − n k n b a Ck 0 ( ) ( ) = (b − a) 此时,公式的稳定性将无法保证 因此,在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式