《计算方法》习题 1.下列各数郭是对真值进行四舍五入后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差 限,相对误差限有效数字的位数: (1)x1=0.0连 (2)x2=0.413 (3)x2=57.0 (4)x=60000 (5)x;=8×05 2.如要求:的近似值的相对误差≤01%问π至少应取几位有效数字 为了使√1的近似值的相对误差≤0.1%问至少应取几位有效数字? 4.如用级数=∑x"/m!来求e的值为使相对误差0,>0,p》q (b) 1l用四位尾数的浮点数计算∑要求分别(1按递增顺序和(2)按递减顺序相加 所得结果不同,为什:?哪个更接近真值?
《计算方法》习题
习题二 1.用高斯消让法解下列方程组,并求其系数行列式的值 x1十3:2+3x3=5 (1)2x+32+5x3=5 (2)x1+4x2-2x2+3x4=6 2x1+2x2 1+42+7x3=6 2.已知线性方程组 10-2x1+x2=1 x1+x2=2 的准确解为:a=}-试分别用二位浮点数按无交换的消去法和列主元索法求解 3.已知线性:程组 10-5x1+10-x2+x 2·10 的准确解为:x1= 2·10-5z2 10.=试分别用三位浮点数按无交换消去 法和全主元素法求 4.用紧凑格于解下列方程组 x1-2x2+3x3-4x4=4 7x2+3x3+ 5用A的LC计解解方程组Ax=b,其中 23 0 253-2 7 35 6.证明§2-3理的推论 7.设n阶方阵非奇异并且有LU分解则L和U是唯一的, 8.试证明n阶非奇异方阵A存在唯一的LD分解的充分必要条件是A的各阶顺序 主子矩阵均非奇异 9.设方阵 通过解三个线性方程组Ax=e(=1,2,3)的方法求A
10.设A、B都:n阶方阵,和O分别是n阶单位矩阵和零矩阵求下列3n阶方阵的 逆矩阵: I A O G=O I B 11.用追赶法解下列方程组 12.设方阵 87 75 6 试求A的LD泔解并判断A是否为对称正定矩阵 13.证明:n方阵A是对称正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异的n阶下三角方 L,使得A=LL 14.若A为阶实对称正定矩阵,D是由A的主对角线元素所组成的对角矩阵则D 是对称正定矩阵 15.分别画出满足下列条件的点集,其中x是二维向量: ‖x:≤1,‖x‖≤1,‖x‖∞≤1 16.设方阵 573 0 A=7112 在范数·‖:,|·‖∞的意义下分别计算cond(A),cond(B)/ 1 17 (1)单位矩阵范数等于1; (2)§2-6中的矩阵范数的性质; (3)§2-6中的定理5; (4)§26中条件数的性质 18.设A为非奇异方阵,B是任一奇异方阵则 TA士B≤A 19.若「A<:1,则 ‖I-(-A)-1‖≤ 20.证明 ≤eond(A).4 l.设A为η价非奇异方阵,是A的特征值,证明 cond(A)≥max|4|min入
习题三 1.举出一方私,有偶次重根但不能用对分法求出它的这一偶次重根 2.证明方程x)=x2-2x-5=0在区间(2,3)内有唯一根a.用对分法计算a的近似 值xn时,若要求 ≤方×10 试确定迭代次数 3.方程f(x)x2-3x-1=0在区间(-2,-1),(-1,0)和(1,2)内各有一个根,试用 对分法求此方程的有实根要求绝对误差不超过10- 4.方程x3--1=0在区间[1.4,6内有一根若把方程写成不同的等价形式: (1)x=1+;寸应的迭代公式 +x2;时应的选代公式 1+x2 3)x2 付应的迭代公式 判断是否满足迭代的收敛条件,并选择一种最好的选代公式,以x0=1.5为初始近似,求出 方程的近似根,并要求具有五位有效数字 5.用 Newton法求下列问题的解 )x3-x2-x…1=0的正根 (2)方程2x=9的所有根 (3)方程 的最小正根 6.用 Newton:求正数c的平方根√的迭代公式x1=1(x,+c/x,),设x为不等 于√c的正数,试讯羽其迭代序列{xn}具有下列性质 (2)序列{x}严单调递减 (3)误差 c满足条件 证明§3-4定理2和定理 8.用双点割线法和单点割线法求第5题中各问题的解 9.证明§3-5中定理 0.证明§3中定理1
习题四 1.证明§4-1定理2 2.分别用雅可1选代法和赛德尔迭代法解下列方程组 8x;-3x2+2x3=20 2x1+10x2-x3=15 x1-2x2+5x3=10 2x1+x2+4x3=12 取初向量xO=(0,00),计算结果精确到三位小数 3.分别用雅可迭代法赛德尔迭代法和松弛法(=1.46)解方程组 2-100 00-12 取初始向量x=(11,1,1),精确到10-3 4.分别用赛德选代法与松弛法(a=1.25)求解方程组 取x()=(1,1,1,迭代7次,并比较它们的计算结果 5.已知线性方程组 x1+2x2+4x=56 2x1+8x2+x3=-4 20x:-x2+2x3=74 写出能保证收敘赛德尔迭代公式的分量形式,并说明收敛的依据 6.设线性六程组Ax=b的系数方阵分别为 11 2-11 (2)A=111 试分别讨论雅可选代法和赛德尔选代法的敛散性 7.问a取什值时,用赛德尔迭代法解 b e 是收敛的? 8.已知线性;程组 x1+0.5x2=0.5 试证明用简单迭f法解此方程组时是收敛的;若将此方程组中两个方程对换,再证明对换后 的方程组用简单迷代法解时是发散的 9.设Ax=b系数矩阵
A 32a 问a在什么范围时准可比迭代法收敛?若a=3,问赛德尔选代法是否收敛? 10.取x=(',0,0),用共轭斜量法解方组 101 11.设A为n价非奇异方阵,X。为任一n阶方阵定义方阵序列如下; X4+1=X+X(I-AX)(k=0,1,2,…) (1)证明:当P-AX)|3|≥…≥|入 试讨论幂法的收敛作况 4.设n阶方阵』的特征值都是实数,且满足条件 λ>入2≥k3 为求λ而平移原点,取p=2(λ2+),试证幂法收敛最快 5用对分法求§5-4例屮的对称三对角方阵的最小特征值
6.设对称三对方阵 A=2-11 试用对分法求出A全部特征值要求准确到一位小数 7.已知对称三角方阵 1-21 (1)A是否为负? (2)在区间〔-0内有多少个特征值? (3)证明p(A):1 将方阵 A=312 化为对称三对角方阵 习题六 1.已知函数.=f(x)的观测数据为f(1)=1,f(4)=2,f(2)=1试求以1,4,2为基点的 Lagrange插值多夏式,并求∫(1.5)的近似值 2.已知函数.(x)的函数值f(1.0)=0.24255,f(1.15)=1.59751,f(1.3)=37615 试用 Lagrange插直求∫(1.25)的近似值 3.已知函数.(x)在若于点的函数值: 0.3 0.6 1.000006 0.9850674 0.9410708 0.870363207766992 试用线性插值求。(0.15),f(0.45),∫(0.75)和f(1)的近似值 4.试利用100121和14的平方根求√15 5.观测得一个二次多项式P2(x)的值: 2 户2(x) 表中p2(x)的某个数值有错误,试找出并校正它 6.设∫(x)=:ce-2e.以x=1,x1=1.05,x2=1.07作抛物线插值计算f(1.03)的近 似值将实际误差j由公式所得的误差界进行比较
7.设x,x1,…,x为n+1个相异的插值基点(x)(=0,1,…,n)为 Lagrange基本多 项式,证明 (1)∑l1(x):1; (4)4(0)x={0,=1,2 (-1)"xox1…xn,j=n+1 8.已知设F(x=af(x)+g(x),其中a,B为实常数证明 Fxo,x,…,x]=a[xa,x,…,x,]+Bg[x,x1,…,x] 9.设f(x)为的n次多项式证明当k>n时x0,x1,…,x,=0 10.已知f(x)勺函数值f(0)=-5,f(1)=-3,f(-1)=-15,f(2)=-9,求New 均差插值多项:N3(x)以及∫(1.5)的近似值 11.已知f(x)以下点的函数值和导数值.f(0)=1,f(0)-1,f(1)=2,f(1)=2,f (3)=3求一不高于1次的多项式使N4(x),使N4(0)=N4(0)=1,N4(1)=2,N4(1)=2 12求一不高于三次的多项式,使得N2(1)=2,N3(1)=3,N(1)=2,N2(2)=5 13.利用 Hagar余项计算公式估计带导数的 Newton插值多项式的余项 14.用新代数插直多项式计算1.,2.,3,4题 15设f(x)在重值区间有任意阶连续导数,若忽略 n+1)! (i)1,则公式(64-11) 和公式(64-10)具有司样的性质 习题七 1.对任意非负数k证明: x++(-1)(-x)=x 2.设x1<…<:如下三次样条函数 r)=40+a1r+2s, (r-x )1 当在(-∞,x1)闻(x,十∞)上变为一次多项式时,称为三次自然样条·证明:当且仅当系数 c满足下列关∑c=0,∑x=0时(x)才是三次自然样条 3.给定分x:x<x1<…<x试证明满足边界条件5(x)=5(x)=0,k=0,1,2 的样条函数()在n<4时值等于零 4证明月(x)=a+4x+ax2+ax2+B(x元作插值(1)-sG= 0,1,…,N),s()=y,s(xN)=yx·其解存在而且唯一
习题八 1.说明中矩形公式 ∫(x)dx≈(一a)∫( 的几何意义,并证明 f(x)x≈(b-a)f( b、,(b-a) f(7)a≤7≤b 2若∫(x)>0,i明用梯形公式计算积分」f(x)dx所得结果比准确值大,并说明这个 结论的几何意义 3.运用Smps0n式计算积分e-dx并估计误差 4.给定求积公式 f(r)dx s A-f(-h)+ Af(o)+A,f(h) 试决定A-1A,A1使的代数精确度尽量高 5.寻找x1,x2使下列求积公式的代数精确度尽量高 ∫(x)dx=10(-1)+2f(x2)+3f(x2) 6假定(x)在b可积证明对于∫(a)的复化梯形公式及复化辛浦生公式当n ∞时趋于积分值.x)dx 7.用龙贝格数值积分法求I=edx. 8.决定下列高斯求积公式的系数及节点 SInaf(r)dr A A, f(x, )+A,f(,) 9.建立高斯型求私公式 f(a)dx A, f(r,)+ A,f(x2)
习题九 1.试用欧拉法与预估一校正法求初值问题 =x2x∈[0,2] 的数值解(取h=(.5),并将计算结果与精确解y=3x进行比较 2.初值问题=ax+b,y(0)=0有解y(x)=1ax2+bz,若取x=n,y是用欧拉法 得到的解在x=x。处的近似值,试证明 3用标准四阶龙格一库塔法求下列初值问题在x=0.2,0.4,…,1时的数值解 y(0)=1 4试确定常abc,d使推算公式 yi+1=ayi-1+ h(by:+ cy,+dy,) 的局部截断误差的阶为O(h) 5.设g(j,m)是自然数j,m的函数,证明 ∑∑g(,m) 6.证明欧拉法的绝对稳定区域包含在四阶龙格一库塔法的绝对稳定区域内
