第三节向量组的秩 荡性代 内蒙古科技大学数理生学院
第三节 向量组的秩 内蒙古科技大学数理生学院
一、 最大线性无关向量组 定义1设有向量组4，如果在A中能选出个向量 C%1,02,.,C,满足 (1) 向量组4：a,a2,a,线性无关： (2)向量组A中任意r+1个向量（如果A中有 r+1个向量的话)都线性相关， 那么称向量组A,是向量组A的一个最大无关组 (简称最大无关组)： 最大无关组所含向量个数称为向量组A的秩，记作R
一、最大线性无关向量组 ，满足 设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 r A A r , , , 1 2 （1）向量组A0 :1 ,2 , ,r 线性无关； 个向量的话）都线性相关， （ ）向量组 中任意 个向量（如果 中有 1 2 1 + + r A r A ; 0 （简称最大无关组） 那么称向量组A 是向量组A的一个最大无关组 定义１ A RA 最大无关组所含向量个数r称为向量组 的秩,记作
“极大”与“最大” 最大无关组这个概念，在很多书上也称为极大 无关组.这两个概念的区别，同学们在中学时已 经接触到了，也就是类似于极大值与最大值的 区别： 简单地说，“最”是强调其唯一性，只有 个才能称“最”，“极”就不唯一了我们以后 会学到，一个向量组，它的极大无关组不是唯 的.从这个意义上说，称为极大无关组更为恰当
“极大”与“最大” ❖ 最大无关组这个概念,在很多书上也称为极大 无关组.这两个概念的区别,同学们在中学时已 经接触到了,也就是类似于极大值与最大值的 区别: 简单地说,“最”是强调其唯一性,只有一 个才能称“最”, “极”就不唯一了.我们以后 会学到,一个向量组,它的极大无关组不是唯一 的.从这个意义上说,称为极大无关组更为恰当
二、矩阵与向量组秩的关系 定理1矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩 证设A=(1,2,m),R(A)=r,并设r阶子式 D,≠0.根据'短无关则长无关，知Dr所在的r列线性 无关又由A中所有r+1阶子式均为零，知A中任意 r+1个列向量都线性相关.因此D,所在的r列是A 的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩 等于r.类似可证A的行向量组的秩也等R(A)
. 它的行向量组的秩 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 证 0. ( , , , ) ( ) , 1 2 = = r m D 设A a a a ，R A r 并设r阶子式 定理１ 无关； 根 据"短无关则长无关"， 知D r所在的r列线性 1 . 1 个列向量都线性相关 又由 中所有 阶子式均为零，知 中任意 + + r A r A 的列向量的一个最大无关组， 因此Dr所在的r列是A . 等于r 所以列向量组的秩 类似可证A的行向量组的秩也等于R(A). 二、矩阵与向量组秩的关系
向量组a,a2,.am的秩也记作R(a1,42,.am), 结论 ☒无法显示该图片 若D是矩阵A的一个最高阶非零子式，则D 所在的列是列向量组的一个最大无关组， 所在的行是行向量组的一个最大无关组 注 (1)向量组的最大无关组不一定唯 (2)向量组和它的最大无关组等价
, , ( , , ), 向量组a1 a2 am 的秩也记作R a1 a2 am 所在的 行是行向量组的一个最大无关组 所在的 列是列向量组的一个最大无关组， 若 是矩阵 的一个最高阶非零子式，则 r r Dr A Dr 结论 注： (1)向量组的最大无关组不一定唯一 (2)向量组和它的最大无关组等价
例1全体维向量构成的向量组记作R,求R"的 一个极大无关组邸"的秩 解因为维单位坐标向量构成的向量组 E:e1,e2,.,en 是线性无关的，又根据书上P89定理5的结论(2)知R” 中的任意n+1个向量都线性相关，因此向量组E 是R的一个最大无关组，且R"的秩等于n
是线性无关的， 因为 维单位坐标向量构成的向量组 n E e e e n : , , , 1 2 解 . 一个极大无关组及 的 秩 全 体 维向量构成的向量组记作 ， 求 的 n n n R 例 1 n R R (2) 1 n R n + 又根据书上P89定理5的结论 知 中 的任意 个向量都线性 相关， . n n E R R n 因此向量组 是 的一个最大无关组，且 的秩等于
★ 例2 设矩阵 2 -1 -1 1 2 1 1 -2 4 A= 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 求矩阵的列向量组的一个极大无关组，并把不 属极大无关组的列向量用极大无关组线性表示
− − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 A 例 2 设矩阵 . 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不 属极大无关组的列向量用极大无关组线性表示
解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵 -2 初等行变 0 ① -1 0 0 0 -3 0 知R(A)=3, 故列向量组的最大无关组含3个向量 而三个非零行的非零元在1、2、4三列， 故a,42,a是向量组的一个最大无关组
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵 知R(A) = 3， A ， − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 而三个非零行的非零首元在1、2、4三列， 初等行变换 故列向量组的最大无关组含3个向量 故a1 ,a2 ,a4 是向量组的一个最大无关组
事实上 2 -1 1 11 (a1,2,a4)= 1 11 初等行变哲 011 4 -6 -2 0 0 1 3 6 7 000 知R(a1,42,44)=3,故a1,2,a,线性无关 要把a3,用1,2，a,线性表示，必须将A再变 成行最简形矩阵
知R(a1 ,a2 ,a4 ) = 3，故a1 ,a2 ,a4线性无关 . , , , 3 5 1 2 4 成行最简形矩阵 要把a a 用a a a 线性表示，必须将A再变 （a1 ,a2 ,a4 ) = 事实上 − − − 3 6 7 4 6 2 1 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 初等行变换
1 0 -1 0 4 初等行变哲 01 -1 0 3 A 0 0 0 -3 0 0 0 0 0 即得 43=-41-023 as=4a1+3u2-3a4
− − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 A = + − = − − 5 1 2 4 3 1 2 4 3 3 , a a a a a a a 即得 初等行变换