《线性代数》课程教学资源（疑难解答）第三章矩阵的初等变换与线性方程组、第四章向量组的线性相关性.doc_大学文库

第三章疑难问题山谷非零柜阵的行最简形与行阶棉形有什么区别和联系3 首先，行最简形和行阶梯形都是矩阵作初等变换时的某种意义下的“标准形”。任何一个矩阵总可经过有限次初等行变换化为行阶梯形和行最简形。这是矩阵的一个非常重要的运算。其次，行最简形是一个行阶梯形。但行阶梯形未必是行最简形。其区别在于前者的非零行的非零自前者该元所在列中其他元均为零，因而该元所在列是个单位坐标列量：而后者则无上述要求。另一方面，矩阵的行阶梯形不是唯一的，但它的行最简形则是唯一的。所谓行最简形就是矩阵经初等变换能得到的“最简单”形状。在m×n矩阵的行最简形中，非零首元所在列中，零的个数值和达到最多。一般说来，一个矩阵中零越多，其形状看上去就越简单。 2在求解有关矩阵的问题时，什么时候只须化为行阶梯形，什么时候宜化为行最简形？或者它们在功能上有什么不同？答矩阵的初等行变换直接源于求解线性方程组的消元法，它是矩阵的最重要的运算之一，其原因就在于矩阵在初等行变化下的行阶梯形和行最简形有强大的功能，是一个很理想的“操作平台”，在此平台上，可以解决线性代数中的许多间题，择其主要的如表31所示。表31行阶梯形与行最简形归纳行阶梯形行最简形 1.求矩阵A的秩R(A): 1.求矩阵A的秩R(A): 2.求A的列向量组的最大无关组。 2.求A的列向量组的最大无关组： 3.求A的列向量组的线性关系： 4. 求解线性方程组，求基础解系 5.当A可逆时，用(A,E)的行最简形求： 6.当A可逆时，用(A,B)的行最简形求方程AX=B的解厂B。 3.矩阵A与B等价的充要条件是R(A)=R(B),这样说是否正确？为什么？答(1)当矩阵A与B不是同型矩阵时，结论不成立。反例：设成B。于是，A与B不等价。 (2)当A与B是同型矩阵时，结论成立。证明见习题10. 4.矩阵的等价标准形有什么意义？它与矩阵的秩有什么联系？答(1)矩阵的秩是矩阵的一个重要的、本质的属性。对于阶方阵A,我们已经依据其行列式等于零和异于零，将阶方阵全体M,划分为奇异阵和非奇异阵两大类。那么现在能否再进一步把奇异阵划分为若干类？划分的依据是什么？一般地，m×n矩阵全体M是

第三章疑难问题 1．一个非零矩阵的行最简形与行阶梯形有什么区别和联系？答首先，行最简形和行阶梯形都是矩阵作初等变换时的某种意义下的“标准形”。任何一个矩阵总可经过有限次初等行变换化为行阶梯形和行最简形。这是矩阵的一个非常重要的运算。其次，行最简形是一个行阶梯形，但行阶梯形未必是行最简形。其区别在于前者的非零行的非零首元（pivot）：前者必须是 1，且该元所在列中其他元均为零，因而该元所在列是一个单位坐标列向量；而后者则无上述要求。另一方面，矩阵的行阶梯形不是唯一的，但它的行最简形则是唯一的。所谓行最简形，就是矩阵经初等变换能得到的“最简单”形状。在 m n 矩阵的行最简形中，非零首元所在列中，零的个数值和达到最多。一般说来，一个矩阵中零越多，其形状看上去就越简单。 2.在求解有关矩阵的问题时，什么时候只须化为行阶梯形，什么时候宜化为行最简形？或者，它们在功能上有什么不同？答矩阵的初等行变换直接源于求解线性方程组的消元法，它是矩阵的最重要的运算之一，其原因就在于矩阵在初等行变化下的行阶梯形和行最简形有强大的功能，是一个很理想的“操作平台”，在此平台上，可以解决线性代数中的许多问题，择其主要的如表 3-1 所示。表 3-1 行阶梯形与行最简形归纳行阶梯形行最简形 1. 求矩阵 A 的秩 R（A）； 2. 求 A 的列向量组的最大无关组。 1. 求矩阵 A 的秩 R（A）； 2. 求 A 的列向量组的最大无关组； 3. 求 A 的列向量组的线性关系； 4. 求解线性方程组，求基础解系； 5. 当 A 可逆时，用（A,E）的行最简形求 1 A − ； 6. 当 A 可逆时，用（A,B）的行最简形求方程 AX=B 的解 1 A B− 。 3．矩阵 A 与 B 等价的充要条件是 R（A）=R（B），这样说是否正确？为什么？答（ 1 ）当矩阵 A 与 B 不是同型矩阵时，结论不成立。反例：设 1 0 1 0 0 , , 0 1 0 1 0 A B     = =         则 R（A）=R（B），但显然任何的矩阵初等变换无法把 A 变成 B。于是，A 与 B 不等价。（2）当 A 与 B 是同型矩阵时，结论成立。证明见习题 10. 4．矩阵的等价标准形有什么意义？它与矩阵的秩有什么联系? 答（1）矩阵的秩是矩阵的一个重要的、本质的属性。对于 n 阶方阵 A，我们已经依据其行列式等于零和异于零，将 n 阶方阵全体 M n 划分为奇异阵和非奇异阵两大类。那么现在能否再进一步把奇异阵划分为若干类？划分的依据是什么？一般地， m n 矩阵全体 M mn 是

否也能依据同一原则划分？回答是肯定的。划分的依据就是A的秩R(A),即依据“矩阵的最高非零子式的阶数”将M划分为min{m+1个类，这同时显示出行列式对矩阵特性的影响。秩，由英语rak一词译来，原义就是排序、秩序。引入矩阵秩的概念，就在M 中建立了一个大小秩序，按此次序给出M的划分，用R(A)来刻画A比用行列式刻画更丰富、更深刻。对矩阵秩的理解和把握穿于本课程学习的全过程中，是线性代数最重要、最基本也是最为深刻的概念之一。 (2)给定A∈Mm,设R(A)=r。自然地产生并需解决两个问题：(i)VBE M.B与A属于同一类，即B~A的充要条件是什么？()在所有与A等价的矩阵中，哪个是“最好” 的代表？对于(i),B一A →R(B)=R(A)(此即习题10的结论) 一存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,使B=PAQ(定理2的推论2)：对于(i),令矩阵F= 「E,0] 00 ,则F~A并且F是在所有与A等价的矩阵中“最好” 的代表，因为它具有最简单的形式，因而称为等价标准形。 5.矩阵的初等变换与初等矩阵有什么关系？引入初等矩阵有什么意义？答从表面看，矩阵的初等变换是矩阵的一个运算，而初等矩阵是一些矩阵，因而它们是不同定义的但它们是密切联系着的表现在：矩阵B是由矩阵A作一次初等行变换得到的充要条件是存在相应的初等矩阵P,使BA:矩阵C是由A作一次初等列变换得到的充要条件是存在相应的初等矩阵Q,使C=AQ(遵循“左行右列”的规则)。如果把上述B 与A(或C与A)看作矩阵集合上的一个关系（即行等价（或列等价）)（见3.4），那么，引入初竿矩阵后，就可以用初等矩阵与A的乘积来描术此关系：反讨来，A与初笔矩阵的左（右）乘积所得矩阵，与A存在此关系。由此看来，两者是用不同的语言描述矩阵A与 B的同一个关系。这样，初等矩阵理论把初等变换与矩阵乘法联系了起来，它既解决了有初等变换的理论问题，从而开拓出初等变换的广泛应用，也丰富了矩阵的理论。初等矩阵主要用于某些理论上的推导和证明，例如，用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法就是用初等矩阵理论推导得到的：初等变换则偏重于对给出具体数值的矩阵进行运算，例如，给定矩阵A,用初等行变换判断其是否可逆，并在可逆时求它的逆矩阵。 6.在求解带参数的线性方程组时，对系数矩阵或增广矩阵作初等行变换应注意些什么？答在对带参数（例如入）的矩阵作初等变换时，务必注意不宜作一下变换： (1)诸如r×(入-2)的初等行变换，这是因为当入=2时，相当于在原方程组的第ⅰ个方程等号两边的都乘以零，也即去掉该方程，于是，变换后的方程组与原方程组未必同解 (2)诸如÷（-2）的初等行变换，这是因为当入-2时，第1行是零行，但经此变换后，该行有可能出现非零元素：

否也能依据同一原则划分？回答是肯定的。划分的依据就是 A 的秩 R（A），即依据“矩阵的最高非零子式的阶数”将 M mn 划分为 min{m,n}+1 个类，这同时显示出行列式对矩阵特性的影响。秩，由英语 rank 一词译来，原义就是排序、秩序。引入矩阵秩的概念，就在 M mn 中建立了一个大小秩序，按此次序给出 M mn 的划分，用 R（A）来刻画 A 比用行列式刻画更丰富、更深刻。对矩阵秩的理解和把握贯穿于本课程学习的全过程中，是线性代数最重要、最基本也是最为深刻的概念之一。（2）给定 A M mn ，设 R(A)=r。自然地产生并需解决两个问题：（i）  B M mn ,B 与 A 属于同一类，即 B～A 的充要条件是什么？（ii）在所有与 A 等价的矩阵中，哪个是“最好” 的代表？对于（i），B～A  R（B）=R（A）（此即习题 10 的结论）  存在 m 阶可逆阵 P 和 n 阶可逆阵 Q，使 B=PAQ（定理 2 的推论 2）；对于（ii），令矩阵 0 0 0 E r F   =     ，则 F~A,并且 F 是在所有与 A 等价的矩阵中“最好” 的代表，因为它具有最简单的形式，因而称为等价标准形。 5．矩阵的初等变换与初等矩阵有什么关系？引入初等矩阵有什么意义？答从表面看，矩阵的初等变换是矩阵的一个运算，而初等矩阵是一些矩阵，因而它们是不同定义的。但它们是密切联系着的，表现在：矩阵 B 是由矩阵 A 作一次初等行变换得到的充要条件是存在相应的初等矩阵 P，使 B=PA；矩阵 C 是由 A 作一次初等列变换得到的充要条件是存在相应的初等矩阵 Q，使 C=AQ（遵循“左行右列”的规则）。如果把上述 B 与 A（或 C 与 A）看作矩阵集合上的一个关系（即行等价（或列等价））（见 3.4），那么，引入初等矩阵后，就可以用初等矩阵与 A 的乘积来描述此关系；反过来，A 与初等矩阵的左（右）乘积所得矩阵，与 A 存在此关系。由此看来，两者是用不同的语言描述矩阵 A 与 B 的同一个关系。这样，初等矩阵理论把初等变换与矩阵乘法联系了起来，它既解决了有关初等变换的理论问题，从而开拓出初等变换的广泛应用，也丰富了矩阵的理论。初等矩阵主要用于某些理论上的推导和证明，例如，用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法就是用初等矩阵理论推导得到的；初等变换则偏重于对给出具体数值的矩阵进行运算，例如，给定矩阵 A，用初等行变换判断其是否可逆，并在可逆时求它的逆矩阵。 6．在求解带参数的线性方程组时，对系数矩阵或增广矩阵作初等行变换应注意些什么？答在对带参数（例如  ）的矩阵作初等变换时，务必注意不宜作一下变换：（1）诸如 ( 2) i r  −  的初等行变换，这是因为当  =2 时，相当于在原方程组的第 i 个方程等号两边的都乘以零，也即去掉该方程，于是，变换后的方程组与原方程组未必同解；（2）诸如 ( 2) i r  −  的初等行变换，这是因为当  =2 时，第 i 行是零行，但经此变换后，该行有可能出现非零元素；

（3）诸如 1 2 1 ( 2) r r  + − 的初等行变换。反例：设 A B r r  − − =      − −  ⎯⎯ ⎯→      − − − = 2 2 1 2 2 ( 2) 0 0 2 ( 2) 1 2 1 2       。当  =2 时， 1 0 0 0 , , 0 0 0 0 A B     = =         A 的秩与 B 的秩不相等，故无法通过初等行变化把 A 变成 B。如果作了上述三种变换，那么，须补充对  =2 的情形的讨论。另外，对带参数（例如  ）的矩阵，仍可作诸如 1 2 r r + − ( 2)  的初等行变换，因为充其量，当  =2 时，无非对第一行作不变的变换而已。 7．在求线性方程组的通解时，常与教材中给出的答案不一致，这是否可以？答以 n 元齐次方程 Ax = 0 为例，设 R(A)=r。只要能真确地找到 n-r 个自由未知数，进而写出含有 n-r 任意常数的通解，都是可以的。但是强调指出的是：这种情况的发生往往是因为没有将增广矩阵（或系数矩阵）化为行最简形。根据行最简形直接写出方程组的通解，这种方法不妨称为解线性方程组的“标准程序”。我们首先要理解这个标准程序的原理，并熟练掌握它。在此基础上再考虑标准程序可改动之处，例如把（A,b）(或 A)化成与行最简行有相同功能的矩阵，（如 3.1 中矩阵 A2 ，此矩阵含 R（A）个非零行，且有 R（A）个不同的坐标列向量。）从而写出通解。下一章学了线性方程组通解的构造以后，求通解的方法就可更灵活了，详见第四章例 12 之析。 8．n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的特征刻画有哪些？答在 n 阶矩阵集合 Mn 中，可逆矩阵全体所组成的子集是非常重要的。刻画 n 阶方阵 A 是否可逆，或 A 是否属于该子集的充要条件，大致有以下几个： n 阶矩阵 A 可逆  存在 n B M , 使 BA=AB=E(定义)  det A 0  (  A 为非奇异矩阵)  存在 n B M , 使 AB=E（或 BA=E）  A 的伴随矩阵 A  是可逆矩阵（习题二 18）  A 的行阶梯形有 n 个非零行  A 的行最简形是 E（  r A ~ E ）  A 的标准形是 E(  A~E )  A 的秩 R（A）=n（  A 是满秩矩阵）  A 是若干个初等矩阵之积

一齐次线性方程组Ax三0只有零解一非齐次线性方程组=b有唯一解一A的列向量组线性无关（一矩阵A的列秩=）（第四章台A的行向量组线性无关（台矩阵A的行铁=）（第四章）一A的n个特征值均非零（第五章）第四章疑难问题 1.线性相关与线性表示这两个概念有什么区别和联系？答向量组Aa1,42,.,am线性相关是指齐次线性方程组(a,4,.,a)x=0有非零解，向量b能由向量A线性表示是指非齐次线性方程(a,a,.,a)x=b有解。齐次方程 =0是否有非零解与非齐次方程A=b是否有解，显然是两个不同的问题，由此可知线性相关与线性表示这两个概念的区别。教材在提出向量组线性相关性的定义后，接着便指出：向量组Aa1,a2,a(m≥2)线性相关的充要条件是向量组A中至少有一个向量能由其余m-】个向量线性表示。这个充要条件就把线性相关与线性表示这两个概念联系了起来，我们常把这个要条件作为向量组线性相关性的等价定义。向量组A中至少有一个向量能由其余向量线性表示，也就是A的m 个向量至少有一个线性关系式，这就是这m个向量线性相关的涵义。按此等价定义，向量组A线性无关的充要条件是A中任意一个向量均不能由其余向量线性表示。形象地说，即“谁也表示不了谁”，这种“独立”性正是向量组A线性无关(lincarly ndependent,也有人称之为线性独立)所包含的内在的意义 2对于向量组线性相关、线性无关的概念，能否给出一些几何上的解释？答能，而且完全应该从几何上理解、把握这些概念。有许多初学线性代数的读者往往感到这些概念过于抽象，难以理解、难以把握。为此，我们尽可能用通俗形象的语言揭示出向量组线性相关性的几何意义】般说来，线性代数主要由两部分组成。一是线性代数的“解析理论”，即矩阵理论，二是线性代数的“几何理论”，即线性空间理论（参见居伯埙：线性代数一方法导引。上海：复旦大学出版社，1986)。本书第六章“线性空间与线性变换”就是线性代数的“几何理论”的初步入门。面向工科学生的线性代数课程一般不学“几何理论”，但它的一些最基本的概念及术语如向量、向量组的线性相关性，乃至向量空间等却渗入到教材内容中来。因此 ,首先就应明白：上述的概念、术语都源几何，它们都各自表述着几何上的一些内容了解它们的几何上的直观意义，对于深刻理解这些概念无疑是大有益处的。 (2)为直观起见，这里以三维向量空间R为例，但须指出的是向量空间R与解析几何中三维欧氏空间R不同，前者只有向量的加法和数乘，而没有内积（数量积），也即暂时让欧氏三维空间R中的向量丧失诸如向量的长度、两向量之间的夹角等度量性质。读者不难发现，在这样的向量空间中，两个向量α和B的位置关系无非是两种情形（当把向量的

 齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解  非齐次线性方程组 Ax b = 有唯一解  A 的列向量组线性无关（  矩阵 A 的列秩=n）(第四章)  A 的行向量组线性无关（  矩阵 A 的行秩=n）(第四章)  A 的 n 个特征值均非零（第五章）第四章疑难问题 1．线性相关与线性表示这两个概念有什么区别和联系？答向量组 A:a , , , 1 2 m a a 线性相关是指齐次线性方程组 1 2 ( , , , ) 0 m a a a x = 有非零解，向量 b 能由向量 A 线性表示是指非齐次线性方程 1 2 ( , , , ) m a a a x b = 有解。齐次方程 Ax = 0 是否有非零解与非齐次方程 Ax b = 是否有解，显然是两个不同的问题，由此可知线性相关与线性表示这两个概念的区别。教材在提出向量组线性相关性的定义后，接着便指出：向量组 A:a , , , ( 2) 1 2 m a a m  线性相关的充要条件是向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m-1 个向量线性表示。这个充要条件就把线性相关与线性表示这两个概念联系了起来，我们常把这个充要条件作为向量组线性相关性的等价定义。向量组 A 中至少有一个向量能由其余向量线性表示，也就是 A 的 m 个向量至少有一个线性关系式，这就是这 m 个向量线性相关的涵义。按此等价定义，向量组 A 线性无关的充要条件是 A 中任意一个向量均不能由其余向量线性表示。形象地说，即“谁也表示不了谁”，这种“独立”性正是向量组 A 线性无关（linearly independent,也有人称之为线性独立）所包含的内在的意义。 2 对于向量组线性相关、线性无关的概念，能否给出一些几何上的解释？答能，而且完全应该从几何上理解、把握这些概念。有许多初学线性代数的读者往往感到这些概念过于抽象，难以理解、难以把握。为此，我们尽可能用通俗形象的语言揭示出向量组线性相关性的几何意义。（1）一般说来，线性代数主要由两部分组成。一是线性代数的“解析理论”，即矩阵理论，二是线性代数的“几何理论”，即线性空间理论（参见屠伯埙：线性代数-方法导引。上海：复旦大学出版社，1986）。本书第六章“线性空间与线性变换”就是线性代数的“几何理论”的初步入门。面向工科学生的线性代数课程一般不学“几何理论”，但它的一些最基本的概念及术语如向量、向量组的线性相关性，乃至向量空间等却渗入到教材内容中来。因此，首先就应明白：上述的概念、术语都源自几何，它们都各自表述着几何上的一些内容；了解它们的几何上的直观意义，对于深刻理解这些概念无疑是大有益处的。（2）为直观起见，这里以三维向量空间 3 R 为例，但须指出的是向量空间 3 R 与解析几何中三维欧氏空间 3 R 不同，前者只有向量的加法和数乘，而没有内积（数量积），也即暂时让欧氏三维空间 3 R 中的向量丧失诸如向量的长度、两向量之间的夹角等度量性质。读者不难发现，在这样的向量空间中，两个向量  和  的位置关系无非是两种情形（当把向量的

起点取在原点时）：或者，  ，  在同一直线上（包括方向相反）；或者，  ，  不在一条直线上，二者必居其一。不妨设   0。情形 1：向量  ，  在同一条直线上  （定义）  ，  共线（depend upon a line）  (几何事实)存在实数 k，使   = k ，即两向量分量对应成比例  存在不全为零的数 1 2  , ，使 1 2    + = 0  （向量组线性相关的定义）向量组  ，  线性相关（linearly dependent）。因此，形象地看，  ，  线性相关   ，  共线。情形 2：向量  ，  不在同一条直线上（此时，     0, 0 ）  （几何事实）向量  与  确定了唯一的一张通过原点的平面   （向量和的三角形法则）对任意不全为零的实数 1 2 k k, ，总有 1 2 k k   +  0  若有 1 2 k k   + = 0 成立，则必有 1 2 k k = = 0  （向量组线性无关的定义）向量组  ，  线性无关。因此，形象地看，  ，  线性无关   ，  不共线。作为练习，读者可以对 3 R 中 3 个向量  ， ， 的向量组 A 的线性相关性作相仿的讨论，并给出相应的几何描述，即向量组 A 线性相关的几何直观是  ，  ， （当起点都取在坐标原点）在同一平面上（即  ，  ， 共面）。一般而言，在 n 维向量空间 3 R 中，若向量组 1 2 , ,   s 线性相关，则它的几何事实是这 s 个向量同在某一个 s-1 维的“超平面” 上；若向量组 1 2 , ,   s 线性无关，则这 s 个向量不同在任一个 s-1 维的“超平面”上。 3．矩阵的初等行变换对矩阵的列向量组和行向量各有什么作用？答设矩阵 A 经初等行变换成为 B，那么：（1）矩阵 A 与 B 的行向量组等价，也即它们能相互线性表示。于是，根据教材例 14，齐次方程 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，这是用初等行变换求解线性方程组的理论基础。（2）矩阵 A 和 B 的列向量组有相同的线性关系（见 4.5）.这是用初等行变换求出 A 的列向量组的最大无关组，并将其余向量用该最大无关组（唯一地）线性表示问题的理论基础

《线性代数》课程教学资源（疑难解答）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组、第四章 向量组的线性相关性

《线性代数》课程教学资源（疑难解答）第三章矩阵的初等变换与线性方程组、第四章向量组的线性相关性