线性代载教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2345 第四节 线性方程组的解 一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法 三、小结 第1项
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第1页 第四节 线性方程组的解 一、线性方程组有解的判定条件 三、小结 二、线性方程组的解法
线性代数故程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 一、线性方程组有解的判定条件 问题：如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩， 讨论线性方程组Ax=b的解， 定理1n元齐次线性方程组Amx,x=0有非零解 的充分必要条件是系矩阵的秩R(A)<n. 证必要性.设方程组Ax=0有非零解， 设R(4)=n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而 Dm所对应的n个方程只有零解（根据克拉默定理） 第2项
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第2页 ( ) . 1 0 R A n n Am n x = 的充分必要条件是系数矩阵的秩 定 理 元齐次线性方程组 有非零解 一、线性方程组有解的判定条件 讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： 证 必要性. ( ) , , 设R A n 则在A中应有一个n阶非零子式Dn = D 所对应的 n个方程只有零解 (根据克拉默定理 ), n 从而 设方程组 Ax = 0 有非零解
线性代数赦程第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2345 这与原方程组有非零解相矛盾， .R(A)=n不能成立.即R(A)<n, 充分性.设R(4)=r<n, 则A的行阶梯形矩阵只含r个非零行， 从而知其有n-r个自由未知量. 任取一个自由未知量为1，其余自由未知量为0， 即可得方程组的一个非零解 第3页
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第3页 这与原方程组有非零解相矛盾， R(A) = n 不能成立． 即 R(A) n. 充分性. 设 R(A)= r n, 从而知其有n - r个自由未知量. 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解. 则 A的行阶梯形矩阵只含r 个非零行
线性代数敖程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 定理2n元非齐次线性方程组Amxn x=b有解 的充分必要条件是系矩阵A的秩等于增广矩 阵B=（A,b)的秩 证 必要性.设方程组Ax=b有解， 设R(A)<R(B), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程0=1， 这与方程组有解相矛盾因此R(A)=R(B)】 第4项
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第4页 证 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设R(A) R(B), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１， ( , ) . 2 阵 的 秩 的充分必要条件是系数矩 阵 的秩等于增广矩 定 理 元非齐次线性方程组 有 解 B A b A n Am n x b = = 这与方程组有解相矛盾.因此 R(A)= R(B)
线性代教教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2345 充分性.设R(A)=R(B), 设R(A)=R(B)=r(≤n), 则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行， 把这？行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量， 其余n-r个作为自由未知量， 并令n-r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解 证毕 第5页
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第5页 并令n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 充分性. 设 R(A)= R(B), 设 R(A)= R(B)= r(r n), 证毕 则 B的行阶梯形矩阵中含r 个非零行， 其余 n - r 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, r
线性代数敖程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 小结R(A)=R(B)=n台Ax=b有唯一解 R(A)=R(B)<n台Ar=b有无穷多解 定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 方程组的通解。 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解， 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解.若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解， 第6顾
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第6页 小结 R(A)= R(B)= n Ax = b有唯一解 R(A)= R(B) n Ax = b有无穷多解. 方程组的通解． 定义：含有个参数的方程组的任一解，称为线性 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
线性代数赦程第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2345 二、线性方程组的解法 例1求解齐次线性方程组 x1+2x2+x3+x4=0 2x1+x2-2x3-2x4=0 x1-x2-4x3-3x4=0 解对系数矩阵A施行初等行变换： 5-2 0221 A= 0-3-6-4 1-1-4-3 0-3-6-4 第7页
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第7页 例1 求解齐次线性方程组 . 4 3 0 2 2 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 - - - = + - - = + + + = x x x x x x x x x x x x 解 - - - = - - 1 1 4 3 2 1 2 2 1 2 2 1 A - - - - - - 0 3 6 4 0 3 6 4 1 2 2 1 二、线性方程组的解法 对系数矩阵 A施行初等行变换： 3 1 2 2 1 r r r r - -
线性代数敖程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 10-2 5-3 5-h 2÷3) E 012 5-2 012 0 即得与原方程组同解的方程组 5-4% 4 +2x+3=0 第8项
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第8页 0 0 0 0 3 4 0 1 2 1 2 2 1 ( 3) 2 3 2 - - r r r 1 2 2 r - r - - 0 0 0 0 3 4 0 1 2 3 5 1 0 2 即得与原方程组同解的方程组 + + = - - = 0, 3 4 2 0, 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x
线性代教教程■ 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2345 由此即得 4 =-2x,-34,(xx可任意取值. 令x=C1,x4=c2: 把它写成通常的参数形式 x1=2C2+ 5 3 2 4 39, -2 二C1 +C2 X3 x3=C1 X 0 x4=C2, 1 第9页
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第9页 = = = - - = + , , , 3 4 2 , 3 5 2 4 2 3 1 2 2 2 1 2 2 x c x c x c c x c c ( , ). x3 x4 可任意取值 由此即得 = - - = + , 3 4 2 , 3 5 2 2 3 4 1 3 4 x x x x x x 令 x3 = c1 , x4 = c2，把它写成通常的参数形式 . 1 0 3 4 3 5 0 1 2 2 1 2 4 3 2 1 + - - = c c x x x x
线性代教赦程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 例2求解非齐次线性方程组 x1-2x2+3x3-x4=1, 3x1-x2+5x3-3x4=2, 2x1+x2+2x3-2x4=3. 解 对增广矩阵B进行初等变换， 1-23-11）6-21-23-11 B=3-15-32 212-23 显然，R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解 第10页
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第10页 例２ 求解非齐次线性方程组 + + - = - + - = - + - = 2 2 2 3. 3 5 3 2, 2 3 1, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵B进行初等变换， - - - - - = 2 1 2 2 3 3 1 5 3 2 1 2 3 1 1 B 3 1 2 2 1 r r r r - - - - - - - 0 5 4 0 1 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 3 2 r - r - - - - 0 0 0 0 2 0 5 4 0 1 1 2 3 1 1 显然，R(A) = 2, R(B) = 3, 故方程组无解．