线性代数教程 第四章向量组的线性相关性 2346 第三节向量组的秩 >一、最大线性无关向量 >二、矩阵与铜量组秩的关系 >三、向量组秩的重要结论 第1项
线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第1页 二、矩阵与向量组秩的关系 三、向量组秩的重要结论 第三节 向量组的秩 一、最大线性无关向量 组
线性代数教程 第四章向量组的线性相关性 2346 一、最大线性无关向量组 定义1设有向量组4，如果在A中能选出r个向量 01,02,C,满足 ()向量组4：a1,a2,线性无关 (2)向量组4中任意r+1个向量（如果4中有 r+1个向量的话)都线性联，那末称向量组4，是 向量组4的一个最大线性无关向量组（简称最大 无关组)；最大无关组所含向量个数称为向量组 的秩只含零向量的向量组没有最大无关组，规定 它的秩为0. 第2项
线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第2页 ，满足 设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 r A A r , , , 1 2 定义１ （1）向量组A0 :1 ,2 , ,r线性无关； 个向量的话）都线性相关 ， （ ）向量组 中任意 个向量（如果 中 有 1 2 1 + + r A r A . 的 秩 ; 最大无关组所含向量个数r称为向量组 0 ） 向量组 的一个 （简称 那末称向量组 是 A A 最大线性无关向量组 最大 无关组 0. 它的秩为 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定 一、最大线性无关向量组
线性代数教程 第四章向量组的线性相关性 23:46 二、矩阵与向量组秩的关系 定理1矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩 证设A-（(@1,a2,4m),R(A)=r,并设阶子式 D,≠0根据4.2定理2由D,≠0知所在的r列线性无 关：又由A中所有r+1阶子式均为零，知4中任意 r+1个列向量都线性相关.因此D,所在的r列是A 的列向量的一个最大无关组，所以列向量组的秩 等于r.类似可证A的行向量组的秩也等R(A). 第3项
线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第3页 . 它的行向量组的秩 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 证 0. ( , , , ) ( ) , 1 2 = = r m D 设A a a a ，R A r 并设r阶子式 定理１ 关； 根据4.2定理2由Dr 0知所在的r列线性无 1 . 1 个列向量都线性相关 又由 中所有 阶子式均为零，知 中任意 + + r A r A 的列向量的一个最大无关组， 因此Dr所在的r列是A . 等于r 所以列向量组的秩 类似可证A的行向量组的秩也等于R(A). 二、矩阵与向量组秩的关系
线性代数故程 第四章向量组的线性相关性 2346 向量组1,2，anm的秩也记作R(a1,42,.,0m) 结论 若D是矩阵A的一个最高阶非零子式，则D, 所在的列即是列向量组的一个最大无关组，D 所在的行即是行向量组的一个最大无关组， 说明 ()最大无关组不唯， (2)向量组与它的最大无关组是等价的： 第4项
线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第4页 向量组a1 ,a2 , ,am的秩也记作 . 所在的 行即是行向量组的一个最大无关组 所在的 列即是列向量组的一个最大无关组， 若 是矩阵 的一个最高阶非零子式，则 r r D D A D r r r （1）最大无关组不唯一; ( , , , ) R a1 a2 am 结论 说明 （2）向量组与它的最大无关组是等价的
线性代数赦程 第四章向量组的线性相关性 2346 例1全体n维向量构成的向量组记作R”,求R"的 一个最大无关组及R"的秩 解因为n维单位坐标向量构成的向量组 E:e,e2,.,en 是线性无关的，又根据4.2定理3的结论(3)知R" 中的任意n+1个向量都线性相关，因此向量组E 是R"的一个最大无关组，且R"的秩等于n. 第5项
线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第5页 是线性无关的， 因为 维单位坐标向量构成的向量组 n E e e e n : , , , 1 2 解 . 一个最大无关组及 的秩 全体 维向量构成的向量组记作 ，求 的 n n n R 例 1 n R R 中的任意 个向量都线性相关， 又根据 定理 的结论 知 1 4.2 3 (3) n + R n . R R n E 是 n的一个最大无关组，且 n的秩等于 因此向量组
线性代教教程 第四章向量组的线性相送性 2346 例2设矩阵 2-1-1 12 1 1-21 4 A= 4 -6 2 -24 36 -9 7 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 第6顾
线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第6页 − − − − − − = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 A 例 2 设矩阵 属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不
线性代数敖程 第四章向量组的线性相关性 2346 解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵 11-214 初等行变换 01 -1 10 A 00 0 1-3 00 0 00 知R(A=3, 故列向量组的最大无关组含3个向量. 而三个非零行的非零元在1、2、4三列， 故41,2,44，为列向量组的一个最无关组 第7项
线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第7页 解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵 知R(A) = 3， A ， − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 初等行变换 ~ 故列向量组的最大无关 组含3个向量. 而三个非零行的非零首元在1、2、4三列， , , , . 故 a1 a2 a4 为列向量组的一个最大无关组
线性代数教程 第四章向量组的线性相送性 2346 事实上 -11 2 11.1 (a1,a2,a4) 1 1 初等行变换 01 1 4-6 -2 001 36 000 知R(a1,42,L4)-3,故a1,a2,a,线性无关 要把a3,用41,02，a,线性表示，必须将4再变 成行最简形矩阵 第8页
线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第8页 知R(a1 ,a2 ,a4 ) = 3，故a1 ,a2 ,a4线性无关 . , , , 3 5 1 2 4 成行最简形矩阵 要把a a 用a a a 线性表示，必须将A再变 （a1 ,a2 ,a4 ) = 事实上 − − − 3 6 7 4 6 2 1 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 初等行变换 ~
线性代数敖程 第四章向量组的线性相关性 23:46 10-104 01 -103 A初等行变换 000 1-3 00000 即得 03=-41-02, a5=4a1+302-3a4 第9页
线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第9页 − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 ~ A 初等行变换 = + − = − − 5 1 2 4 3 1 2 4 3 3 , a a a a a a a 即得
线性代数教程 第四章向量组的线性相关性 2346 三、向量组秩的重要结论 定理2设向量组B能由向量组4线性表示，则向 量组B的秩不大于向量组4的秩， 证设向量组B的一个最大无关组为B。:b,b, 向量组A的一个最大无关组为A:,0,要证 r≤S 因B,组能由B组线性表示，B组能由A组线性 表示，A组能由A,组线性表示. 故B,组能由4，组线性表示 即存在系数矩阵，-(k),使得 第10页
线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第10页 . 量 组 的秩不大于向量组 的 秩 设向量组 能由向量组 线性表示，则向 B A B A . : , , , : , , 0 1 0 1 r s A A a a B B b b s r 向量组 的一个最大无关组为 要证 设向量组 的一个最大无关组为 ， 证 定理２ . 0 0 表示， 组能由 组线性表示 因 组能由 组线性表示， 组能由 组线性 A A B B B A . 故B0组能由A0组线性表示 即存在系数矩阵Ksr = (kij ),使得 三、向量组秩的重要结论