《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 相似矩阵及二次型 第二节 方阵的特征值与特征向量

线性代数教程第0502节方阵的特征值与特征向量 2346 第二节方阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 四、小结思考题 线性代数小组 第

线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第1页 第二节 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 四、小结 思考题

线性代数教程 第0502节方阵的特征值与特征向量 23:46 ,特征值与特征向量的概念 定义1设A是n阶矩阵，如果数2和n维非零列向量x 使关系式 Ax =Ax 成立，那末，这样的数称为方阵4的特征值，非零向 量x称为A的对应于特征值2的特征向量 说明1.特征向量x≠0，特征值问题是对方阵而言的. 2.n阶方阵A的特征值，就是使齐次线性方程组 (A-2E)x=0有非零解的2值，即满足方程A-2E =0的2都是矩阵A的特征值， 线性代数小组 笔而

线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第2页 说明 1.特征向量x  0,特征值问题是对方阵而言的. ( ) 0 . 0 , 2. , 的 都是矩阵 的特征值 有非零解的 值 即满足方程 阶方阵 的特征值 就是使齐次线性方程组 A A E x A E n A     = − = − 一、特征值与特征向量的概念 . , , , 1 , 量 称 为 的对应于特征值 的特征向量 成 立 那 末 这样的数 称为方阵 的特征值 非零向 使关系式 定 义 设 是 阶矩阵 如果数 和 维非零列向量     x A A Ax x A n n x =

线性代数教程第0502节方阵的特征值与特征向量 2346 3.A-2E=0 01-2 l12 dyn 21 022-2 台 d2n =0 Anl Qn2 . m-2 称以2为未知数的一元次方程A-2E=0 为A的特征方程. 记f(2)=A-2E,它是的n次多项式称其 为方阵4的特征多项式. 线性代数小组 第3项

线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第3页 3. A − E = 0  0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − −    n n nn n n a a a a a a a a a        称 以为未知数的一元 n次方程 A− E = 0 为A的 特征方程 . 记 f () = A− E ,它是的n次多项式,称其 为方阵A的 特征多项式

线性代数教程 第0502节方阵的特征值与特征向量 2346 4.设n阶方阵A-(a)的特征值为21，入2，。， 2n,则有 ()1+九2+.+2n=a11+L22+.+0m (2)122.1n=A. 线性代数小组 第4页 U

线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第4页 ( ) 则有 设 阶方阵 的特征值为 , 4. , , , 1 2 n n A aij  =    (1) ; 1 + 2 ++  n = a1 1 + a2 2 ++ ann (2) . 12  n = A

线性代数教程第0502节方阵的特征值与特征向量 2346 二、特征值与特征向量的求法 例1求A= 的特征值和特征向量. 解A的特征多项式为 3-2-1 -3-)2-1 -13-兄 =8-62+22=(4-2)(2-2) 所以A的特征值为21=2,22=4. 当几1=2时，对应的特征向量应满足 8 线性代数小组 第5页

线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第5页 解 例1 . 1 3 3 1 求 的特征值和特征向量      − − A = A的特征多项式为   − − − − 1 3 3 1 (3 ) 1 2 = − − 8 6 (4 )(2 ) 2 = −  +  = −  −  2, 4. 所以A的特征值为1 = 2 = , 0 0 1 3 2 3 2 1 2 , 2 1 1        =            − − − − = x x 当 时 对应的特征向量应满足 二、特征值与特征向量的求法

线性代数教程 第0502节方阵的特征值与特征向量 23:46 即 x1-x2=0, -x1+x2=0. 解得x=x2,所以对应的特征向量可取为P, 当22=4时，由 31,0同1-8 解得x,-x2,所以对应的特征向量可取为 线性代数小组 第6页

线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第6页    − + = − = 0. 0, 1 2 1 2 x x x x 即 , 解得x1 = x2 . 1 1 1       所以对应的特征向量可取为 p = , 0 0 1 1 1 1 , 0 0 1 3 4 3 4 1 4 , 2 1 2 1 2        =            − − − −        =            − − − − = x x x x 即 当 时 由 . 1 1 , 2 1 2       − = = − p 解得 x x 所以对应的特征向量可取为

线性代数教程第0502节方阵的特征值与特征向量 2346 -110 例2求矩阵A=-430的特征值和特征向量 1 02 解A的特征多项式为 -1-入1 0 A-AE= -43-九0 =(2-2)1-2)2, 1 02-入 所以4的特征值为元1=2,22=元3=1. 当21=2时，解方程(A-2E)x=0.由 线性代数小组 第7项

线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第7页 例２ . 1 0 2 4 3 0 1 1 0 求矩阵 的特征值和特征向量           − − A = 解 (2 )(1 ) , 1 0 2 4 3 0 1 1 0 2       = − − − − − − − A− E = A的特征多项式为 2, 1. 所以A的特征值为1 = 2 = 3 = 当1 = 2时,解方程(A − 2E)x = 0.由

线性代数教程 第0502节方阵的特征值与特征向量 23:46 3 0 00 A-2E= -4 0× 010 1 00 000 0 得基础解系 P1= 所以kP,(k≠0)是对应于21=2的全部特征向量 当12=23=1时，解方程(A-E)x=0.由 线性代数小组 第8页

线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第8页 , 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 4 1 0 3 1 0 2 ~                     − − A − E = , 1 0 0 1           得基础解系 p = ( 0) 2 . 所以k p1 k  是对应于1 = 的全部特征向量 当2 = 3 = 1时,解方程(A − E)x = 0.由 , 0 0 0 0 1 2 1 0 1 1 0 1 4 2 0 2 1 0 ~                     − − A − E =

线性代数教程第0502节方阵的特征值与特征向量 2346 得基础解系 所以kP2(k≠0)是对应于2=λ3-1的全部特征向量 线性代数小组 第9项

线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第9页 , 1 2 1 2           − − 得基础解系 p = ( 0) 1 . 所以k p2 k  是对应于2 = 3 = 的全部特征向量

线性代数教程第0502节方阵的特征值与特征向量 23:46 -211） 例3设A=020,求A的特征值与特征向量 -413 解 2-λ 1 1 A-AE= 0 2-20 -4 13-入 =-(+1)(2-2}2, 令-(2+1(2-22-0 得A的特征值为21-1，入2=3=2. 线性代数小组 第0页

线性代数教程 线性代数小组 第0502节 方阵的特征值与特征向量 23:46 第10页 例３ 设 , 4 1 3 0 2 0 2 1 1           − − A = 求A的特征值与特征向量． 解     − − − − − − = 4 1 3 0 2 0 2 1 1 A E ( 1)( 2) , 2 = −  +  − ( 1)( 2) 0 2 令 −  +  − = 1, 2. 得A的特征值为1 = − 2 = 3 =