线性代数教程 第0501节向量的内积 2347 第一节向量的内积 一、向量的内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结思考题 线性代数小组 第1页
线性代数教程 线性代数小组 第0501节 向量的内积 23:47 第1页 第一节 向量的内积 一、向量的内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结 思考题
线性代数教程量 第0501节向量的内积 2347 一、向量的内积的定义及性质 定义1设有n维向量 y2 x= y= Xn 令[x,y]=xy+xy2++xnJ》m 称[x,y]为向量x与y的内积 线性代数小组 第2项
线性代数教程 线性代数小组 第0501节 向量的内积 23:47 第2页 定义1 设有n维向量, , 2 1 2 1 = = n n y y y y x x x x n n x y = x y + x y ++ x y 1 1 2 2 令 , 称x, y为向量x与 y的 内积 . 一、向量的内积的定义及性质
线性代数教程 第0501节向量的内积 23:47 说明 1n(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义. 2内积是向量的一种运算，如果x,y都是列 向量，内积可用矩阵记号表示为： [x,y]=xTy. 线性代数小组 第3页
线性代数教程 线性代数小组 第0501节 向量的内积 23:47 第3页 说明 1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． n(n 4) , . , : 2 , , x y x y x y T = 向量 内积可用矩阵记号表示为 内积是向量的一种运算 如果 都是列
线性代数教程 第0501节向量的内积 2347 内积的运算性质 其中x,y,z为n维向量，2为实数)： (1)[x,y]=L,xb (2)x,y=2x,y] 3)[x+y,z]=[x,]+[by,z3 (4)儿x,x]≥0，且当x≠0时有x,x>0. 线性代数小组 第4项
线性代数教程 线性代数小组 第0501节 向量的内积 23:47 第4页 内积的运算性质 (其中x, y,z为n维向量,为实数): (1) x, y = y, x; (2) x, y = x, y; (3) x + y,z = x,z + y,z; (4)[x, x] 0,且当x 0时有[x, x] 0
线性代数教程 第0501节向量的内积 23:47 二、向量的长度及性质 定义2令 x=x,x]=x+x+.+x, 称x为n维向量x的长度（或范数）】 向量的长度具有下述性质： 1.非负性当x≠0时，x>0;当x=0时，x=0; 2.齐次性2x=2x 3.三角不等式x+y≤x+ 线性代数小组 第5页
线性代数教程 线性代数小组 第0501节 向量的内积 23:47 第5页 定义2 1.非负性 2.齐次性 3.三角不等式 , , 2 2 2 2 x = x x = x1 + x ++ xn 令 称 x 为n维向量x的 长度 (或 范数 ). 向量的长度具有下述性质： 当x 0时, x 0;当x = 0时, x = 0; x = x ; x + y x + y . 二、向量的长度及性质
线性代数教程量 第0501节向量的内积 2347 单位向量及n维向量间的夹角 ()当x=1时，称x为单位向量 (2)当x≠0，y≠0时，0=arccos [x,y] xyl 称为n维向量x与y的夹角. 例求向量α-（1,2,2,3)与B=3,1,5,1)的夹角 解ns8-号 A。} 32 0= 4 线性代数小组 第6项
线性代数教程 线性代数小组 第0501节 向量的内积 23:47 第6页 单位向量及n维向量间的夹角 例 求向量 = (1,2,2,3)与 = (3,1,5,1)的夹角. 解 [ , ] cos = 2 2 3 2 6 18 = = . 4 = (1)当 x = 1时,称x为 单位向量 . ( ) x y x y x y , 2 当 0, 0时, = arccos 称为n维向量x与y的 夹角
线性代数教程 第0501节向量的内积 23:47 三、正交向量组的概念及求法 1正交的概念 当x,y小=0时，称向量x与y正交 由定义知若x=0,则x与任何向量都正交 2正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组. 线性代数小组 第7页
线性代数教程 线性代数小组 第0501节 向量的内积 23:47 第7页 １ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 三、正交向量组的概念及求法
线性代数教程 第0501节向量的内积 2347 3正交向量组的性质 定理1若n维向量a,2,心，是一组两两正交的 非零向量，则a,a2,.,a,线性无关. 证明设有入，几2，.，2，使 九141+12a2+.+九a,=0 以左乘上式两端得a,a1=0 由a41≠0→a1-a,2≠0，从而有1-=0. 同理可得22=.=九，=0.故a1,a2,a,线性无关 线性代数小组 第8项
线性代数教程 线性代数小组 第0501节 向量的内积 23:47 第8页 0 0, 2 1 1 1 = 1 T 由 0 . 从而有1 = 0. 同理可得2 = = r = , , , . 故1 2 r线性无关 证明 设有 1 ,2 , ,r 使 11 + 22 ++ r = 0 以a1 T左乘上式两端,得 11 1 = 0 T ３ 正交向量组的性质 非零向量,则 , , , 线性无关. 定 理 若 维向量 , , , 是一组两两正交的 r n r 1 2 1 2 1
线性代数教程 第0501节向量的内积 2347 4向量空间的正交基 若1，a2,.,是向量空间/的一个基，且a1,02, ,a是两两正交的非零向组，则称a1,a2,a是 向量空间的正交基 例1已知三维向量空间中两个向量 1 1 正交，试求a,使a,a2,a,构成三维空间的一个正交 基 线性代数小组 第9页
线性代数教程 线性代数小组 第0501节 向量的内积 23:47 第9页 例1 已知三维向量空间中两个向量 = − = 1 2 1 , 1 1 1 1 2 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. 3 1 2 3 , , ４ 向量空间的正交基 . , , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 向量空间 的正交基 是两两正交的非零向量组 则 称 是 若 是向量空间 的一个基 且 V V r r r
线性代数教程 第0501节向量的内积 2347 解设a3-(x1,x2,x)y≠0，且分别与a1,a,正交 则有 [a1,a3l=[a2,a3]=0 [a1,a]=x1+x2+x3=0 即 [2,a3=x1-2x2+x3=0 解之得x1=-x3,x2=0. 若令x,-1,则有 a3= 由上可知Q1,02,0,构成三维空间的一个正交基 线性代数小组 第10页
线性代数教程 线性代数小组 第0501节 向量的内积 23:47 第10页 即 = − + = = + + = [ , ] 2 0 [ , ] 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x 解之得 , 0. x1 = −x3 x2 = 若令 x3 = 1,则有 − = = 1 0 1 3 2 1 3 x x x 由上可知 1 2 3 构成三维空间的一个正交基. , , 则有 [1 , 3 ] = [ 2 , 3 ] = 0 解 ( , , ) 0, , . 设 3 = 1 2 3 且分别与1 2正交 T x x x