《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 向量组及其线性组合 4.1 向量组及其线性相关性

第一节向量组及其线性相关性 一、向量概念及表示方法 二、向量空间 三、向量、向量组与矩阵

第一节 向量组及其线性相关性 一、向量概念及表示方法 二、向量空间 三、向量、向量组与矩阵

n维向量的概念及表示方法 定义n个有次序的数a,a2,an所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个数a称为第个分量」 实向量：分量全为实数的向量。 复向量：分量为复数的向量

一、 n维向量的概念及表示方法 实向量：分量全为实数的向量。 复向量：分量为复数的向量。 1 2 , , , . n i n a a a n n n i a i 个有次序的数 所组成的数 组称为 维向量，这 个数称为该向量的 个分量， 第 个数 称为第 个分量 定义

例如 (1,2,3,.,m) n维实向量 1±2i2+3i,.,n+(n+1)i)→ n维复向量 第2个分量 第n个分量 第1个分量

例如 (1,2,3,  ,n) (1 + 2i,2 + 3i,  ,n + (n + 1)i) n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量

n维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用，b,a,β等表示，如： =(a1,02,.,0n) n维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用，b,u,B等表示，如： 01 02 a=

( , , , ) 1 2 n T a = a a  a               = an a a a  2 1 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用   等表示，如： T T T T a ,b , , n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a,b,, 等表示，如： n

注意 1.行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量 2.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 3.当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量：

注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量

二、向量空间 向 量 解析几何 (n≤3) 线性代数 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 标 几何形象： 可随意 代数形象： 向量的 平行移动的有向线段 坐标表 示式 =(a132,.3n)

向 量 (n  3) 解析几何 线性代数 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象： 可随意 平行移动的有向线段 代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式 ( , , , ) 1 2 n T a = a a  a 坐 标 系 二、向量空间

空 间 解析几何 (n≤3) 线性代数 坐 点空间：点的集合 向量空间：向量的集合 ↓ 标 几何形象： 空间 代数形象： 向量空 直线、曲线、空间 系 间中 的 平面 平面或曲面 {(x,y,z)ax+by+cz=d}r=(x,y,z)"ax+by+cz=d P(x,y,z) 一 对应 →r=（x,y,)

空 间 (n  3) 解析几何 线性代数 点空间：点的集合 向量空间：向量的集合 坐 标 系 代数形象： 向量空 间 中 的 平 面 r x y z ax by cz d T =( , , ) + + = 几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 (x, y,z)ax+by+cz=d P(x, y,z) r (x, y,z) T = 一 一 对 应

n>3时，n维向量没有直观的几何形象. R={c=(xx2,x)xx,x,eR} 叫做n维向量空间. x==(xnxxx)lax+a:x:+.+a.x.=bj 叫做n维向量空间R”中的n-1维超平面

R x x x xn x x xn R n T = =( 1 , 2 ,  , ) 1 , 2 ,  ,  x x x xn a x a x an xn b T  = =( 1 , 2 ,  , ) 1 1+ 2 2++ = 叫做 n 维向量空间． n  3 时， n 维向量没有直观的几何形象． 叫做 维向量空间 R 中的 维超平面． n n n − 1

三、向量、向量组与矩阵 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组 例如 矩阵A=(aj》n有n个m维列向量 02 11 12 01 1n L21 L22 a2j (2n A= am2 L 向量组，2，4n称为矩阵4的列向量组

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (aij) mn 有n个m维列向量               = a a a a a a a a a a a a A m m mj mn j n j n             1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 a1 向量组 a1, a2 ,  , an 称为矩阵A的列向量组. 三、向量、向量组与矩阵 a1 a2 a j an

类似地，矩阵A=(aj),又有个n维行向量 L11 12 Ain L21 L22 Q2n A = dil Ai2 in al Am2 向量组，Z,称为矩阵A的行向量组

类似地,矩阵A = (aij ) mn 又有m个n维行向量                   = a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n n             1 2 1 2 21 22 2 11 12 1  T 1  T 2  T i  T m  T 1  T 2  T i  T m 向量组  , , .， 称为矩阵A的行向量组． T 1  T 2  T m