试卷代号：1080 座位■☐ 国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试 工程数学（本）试题（半开卷） 2014年7月 题 号 二 三 四 总 分 分 数 得 分 评卷人 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设A为n阶方阵，则下列命题中不正确的是(). A.若λ=0是A的一个特征值，则AX=O必有非零解 B.A与A'有相同的特征值 C.任一方阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的 D.A与2A有相同的特征值 2.设A,B都是n阶方阵，则下列命题中正确的是(). A.(A十I)(A-I)=A2-I B.若AB=O,则A=O或B=O C.若AB=AC,且A≠O,则B=C D.(A十B)(A-B)=A2-B 3.n元非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是(). A.r(A)<n B.r(A)=n C.r(A)=r([A:b]) D.相应的齐次线性方程组AX=O有解 412
试卷代号 0 8 0座位号 国家开放大学(中央广播电视大学 4年春季学期"开放本科"期末考试 工程数学{本)试题(半开卷} 2014 年7 |题号|一|二|三|四|总分| |分数 I I ! I I |得分|评卷人| I I 择题 小题 1.设 A ). A.若 =0 AX 必有 B.A C. 任一 于不 特征 是线性无 D.A 与2A 特征 2. 都是 阶方 ). A. (A + I) (A - I) = N - I B. AB C. 若AB =AC 则B=C D. (A+B) (A-B)=N -B2 3.n 方程组AX=b 必要条 ). 412 A. rCA) < n C. r(A)=r([A: b]) B.rCA) =n D. 齐次线性方 AX
4,设袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两次都取 到白球的概率是(). A B. 25 c号 D号 5.设x1,x2,…,xn是来自正态总体N(,G2)的样本，则( )是统计量， A.gx1 B.1一4 c县 D.x,十4 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 6.设A为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量X,使得 ,则称X为A 相应于特征值λ的特征向量· 7.设A,B是3阶方阵，其中|A=3,B|=2,则|2AB-1|= 8.若P(A+B)=0.7,P(AB)=0.2,P(AB)=0.3,则P(AB)= 0 1 9.设随机变量X ,则P(X≠0)=一· 0.20.50.3 10.设随机变量X,若E(X)=3,则E(2X+1)= 413
4. 设袋 有3 一球后 二次再取一 球 次都取 到自球的概率是( ). A. 25 B. _4_ 25 25 D 5. , X z …， 是来 正态 总 )是统计量. A.σ B. Ctzzz D.x.+ |得分|评卷人| I I I 二、填空题{每小题 3分，共 5分} 6. 设A 非零 量X 使得 ，则称 相应于特征值 A的特征向量. 7. 是3 8. + B) =0.7 , P(AB) =0.2 , P(AB) =0.3 AB = n3 X p x nu nd 'i phu nu nu nu 10. 量X =3 则E(2X+1)= 413
得 分评卷人 三、计算题（每小题16分，共64分】 2-31 11.解矩阵方程X=AX+B,其中A= 4- 12.求齐次线性方程组 x1-2x2+4x1-7x4=0 2x1-3x2+x3-5x4=0 3x1-5x2+5x3-12x4=0 5x1-8x2+6x3-17x4=0 的一个基础解系和通解. 13.设X~N(1,9),试求：(1)P(X<4),(2)求常数a,使得P(|X-1|<a)= 0.9974.(已知Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772，Φ(3)=0.9987) 14.某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布.今从一批产品里随机取出9个，测得 直径平均值为15.1mm,若已知这批滚珠直径的方差为0.062，试找出滚珠直径均值的置信度 为0.95的置信区间(.75=1.96). 得 分 评卷人 四、证明题（本题6分）】 15.设n阶方阵A满足A2-2I=O,试证：方阵A一I可逆. 414
|得分|评卷人| I I I 三、计算题{每小题 6分，共 4分} B --qdFO + B A XI -2X2 +4 =0 2xI - 3X2 =0 3xI - 5X2 一12x4 =0 5xI -BX2 +6 =0 的一个基础解系和通解. 13. 设X - (1 (1) P(X < 的 (2) 求 常 使 得 0.9974. (已知 φ(1) =0. 8413 ，φ(2) =0.9772，φ(3) =0.9987) 14. 滚珠 滚珠直 服从正态 里 随机取 出9 直径平均值为 m，若已知这批滚珠直径的方差为 2，试找出滚珠直径均值的置信度 5的置信区间 UO.975 = 1. 96). |得分|评卷人| I I I 四、证明题{本题 15. 设n 阵A 2I = O 414
试卷代号：1080 国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试 工程数学（本）试题答案及评分标准（半开卷） (供参考) 2014年7月 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 二、填空题（每小题3分，共15分）】 6.AX =AX 7.12 8.0.2 9.0.5 10.7 三、计算题（每小题16分，共64分） 11.解：由X=AX+B可得(I一A)X=B. …3分 -137 由已知可得(1-A) -46 …5分 利用初等行变换可得 101- 2 。1号 - 因此，(I一A)1= (也可由伴随矩阵法求得) …13分 415
试卷代号 0 8 0 国家开放大学(中央广播电视大学 4年春季学期"开放本科"期末考试 工程数学(本〉试题答案及评分标准(半开卷) (供参考〉 2014 年7 一、单项选择题{每小题 I. D 2.A 3. C 4. B 5. C 二、填空题{每小题 6. AX =AX 7.12 8. O. 2 9. O. 5 10.7 三、计算题{每小题 1. 由 X AX (I-A)X =B. r-1 31 由己知可得(I -A)= I I 1-4 61 利用初等行变换可得 …… 1-21-6 11Ill-Ill--1111llJ 12-3 -AAUE 'inu -- A nd 415
2 -2 0 于是X=(I-A)-B= ……16分 3 12.解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形 -24-71 -2 4 -7 0-10 111 -31 -5 0 1 一7 01-7 9 3 -55-12 0 -7 9 100 0 0 -86-17 2 -14 18 0000 由此知x3和x4为自由元， …7分 令x3=1,x4=0,得相应的解向量 X1=(10710)' …10分 令x3=0,x4=1,得相应的解向量 X2=(-11-901) …13分 于是，{X1,X2}即为方程组的一个基础解系，方程组的通解为 k1X,十k2X2(其中k;,k2为任意常数) …16分 13.解：1)P(X<4)=P(1<4)=P(X<1)=1)=0.8413…6分 (2)Px-11<)=P(X<)=P(号<X1<号) =(号)-（号）=2Φ（号）-1=0.9974 …12分 因此，0（号）=0.9987.由已知可得号=3，从而a=9. …16分 14.解：由于已知。2，故选取样本函数 U=-上~N(0,1) …5分 g/√n 滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为 区-m后+后] …10分 416
-- 2411lIll-lIII-ellJ X -- VI A B = 12. 将方程 的系 数矩阵化 1 -2 4 1 -2 4 -99η • fl O 11 2 1 O l 1 9 -一~ 3 -5 5 O 1 O O O 5 6 -17 O 2 -14 LO O O O 由此知岛和均为自由元. =1 Xl = (1 0 7 1 0) , =0 Xz = (-11 9 O 1)' 于是， {丸 方程组 程组 klXj +kzXz 为任 13 (1 P(X =p( 1)=φω=0 · · (2) <号 < ~) 'i= nyn3 a-3 a-3 = .. 因此， (专 7由已知可得专 = 3，从而 ..·16 14. 选取 u= !3: ---- σ/.;; 滚珠直径均值的置信度为 5的置信区间为 .. [x-uo寸'主 416
由已知，x=15.1,c=0.06,n=9,.75=1.96,于是可得 至-40.975 =15.1-1.96×0.06=15.0608, √9 工十w g=15.1+1.96×0,06=15.1392, § 因此，滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为[15.0608,15.1392].…16分 四、证明题（本题6分）】 15.证明：由A2一2I=0可得 (A-1)(A+I=I 因此，方阵A一I可逆，其逆为A+I. …6分 417
由己知 x= 15.1 ，σ= O. 06 , n = 9 , UO.975 = 1. 96 0.06 UO.975 15. 1 - 1. 96 X v':"'v = 15.0608 , ~n ~9 (J 1 • • • " O. 06 x+ UO.975 15.1 + 1. 96 :-.::: =15.1392 , ~n .J9 因此，滚珠直径均值的置信度为 5的置信区间为 8， 1392J . 四、证明题{本题 15. 2I = O (A 1) (A+ 1) = 1 因此，方阵 I可逆，其逆为 I. · · -… 417