试卷代号：1080 座位号■■ 国家开放大学（中央广播电视大学）2014年秋季学期“开放本科”期末考试 工程数学（本）试题（半开卷） 2015年1月 題 号 三 四 总分 分 数 得 分 评卷人 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设A,B都是n阶方阵，则下列等式中正确的是(). A.A+BI=A+B B.|A+B1|=A-|B- C.AB=ABI D.|A|=λ|A 17 「11 òy 「21 2.向量组 0 -1 2 -3 的秩是( 0 3 7 A.2 B.1 C.4 D.3 3.设A为n阶方阵，若存在数A和非零n维向量X,使得AX=X,则称数入为A的(). A.特征值 B.特征多项式 C.特征向量 D.非零解 410
试卷代号 :1080 座位号rn 国家开放大学(中央广播电视大学)2014 年秋季学期"开放本科"期末考试 工程数学(本) 试题(半开卷) 四厅τ1 l| 一、单项选择题(每小题 分，共 15 分) 1.设 都是 阶方阵，则下列等式中正确的是( ). 2015 A. IA+BI= IAI+ IBI B. IA I+B 11= IAI-1 IBI C. IAB 1= IAIIBI D. 1M 1=λ IAI O1J 1i1l HO 2 2. 向量组 101 , 1-- 11 , 121 , 1-- 31 的秩是( 1 0 1 131 1 7 A.2 B.1 C. 1 D.3 3. 阶方阵，若存在数 和非零 维向量 ，使得 AX= ;.x，则称数 的). A. 特征值 B.特征多项式 C.特征向 fti D.非零解 410
4.设X的分布列为 1 2 3 P 0.1 0.30.40.2 则P(X<2)=( ）. A.0.1 B.0.4 C.0.3 D.0.2 5.对给定的正态总体N(4,a2)的一个样本(x1,x2,…,x.),σ2未知，求μ的置信区间， 选用的样本函数服从(). A.x2分布 B.t分布 C.指数分布 D.正态分布 得分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 10 01 6.若三阶方阵A=0一12 ,则1A一= 2 36 [x1+x2+x3十x4=3 7. 线性方程组 3x2+2x3十4x4=6一般解中的自由未知量的个数为 x3一x4=3 8.已知P(A)=0.9,P(AB)=0.5,则P(A一B)= 9.设随机变量X~B(100,0.15),则E(X)= 10.不含未知参数的样本函数称为 411
4. 的分布列为 X 1 2 3 P O. 3 0.4 0.2 P(X<2)=( A. 0.1 B.0.4 C. O. 3 D. O. 2 5. 对给定的正态总体 N(p σ2 )的→个样本 (Xj 'Xz'…, X n ) , 0- 未知，求 的置信区间， 选用的样本函数服从( A.χ2 分布 B. 分布 c.指数分布 D. 正态分布 二、填空题{每小题 分，共 15 分} 100 6. 若三阶方阵 = 10 -1 21 ，则 IA-II = 236 X2 X3 +X4 =3 7. 线性方程组 2X 4X4 =6 般解中的自由未知量的个数为 - X4 = 3 8. 已知 P(A) =0. 9 ,P(AB) =0. ，则 P(A-B) = 9. 设随机变量 ~ B(l OO ,O. 15) ，则 E(X) = 10. 不含未知参数的样本函数称为 411
得分 评卷人 三、计算题（每小题16分，共64分） -127 11.设矩阵A=2一3 ,求(1)|A|,(2)A1. 3 -2 12.在线性方程组 [x1+2x2+3x3=0 -x1十x2 =3 2x1+3x2+5x3= 中入取何值时，此方程组有解.在有解的情况下，求出通解. 13.设随机变量X~N(8,4).求P({X-8|<1)和P(X≤12). (Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.0)=0.8413，Φ(2.0)=0.9973). 14.某厂生产日光灯管，根据历史资料，灯管的使用寿命X服从正态总体N(1600,702).在 最近生产的灯管中随机抽取49件进行测试，平均使用寿命为1520小时·假设标准差没有改变， 在0.05的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化.（已知.5=1.96） 得分 评卷人 四、证明题（本题6分） 15.设n阶矩阵A满足(A一I)(A+I)=0,则A为可逆矩阵. 412
三、计算题(每小题 16 分，共 64 分) A q" A -ind?u qLRuanlz+…=0 -Xj Xz =3 2Xj 3X2 5X3 λ 取何值时，此方程组有解.在有解的情况下，求出通解. 13. 设随机变量 ~ N(8 的.求 P( I x-81< 1)和 P(X ~ 12) . (φ(0.5) = 0.6915 φ( 1. 0) =0. 8413 φ(2.0) =0. 9973). 14. 某厂生产日光灯管.根据历史资料，灯管的使用寿命 服从正态总体 (l 600 702 ) .在 最近生产的灯管中随机抽取 49 件进行测试，平均使用寿命为 1520 小时.假设标准差没有改变， 0.05 的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化. (已知 UO.975 = 1. 96) 四、证明题(本题 分} 15. 阶矩阵 满足 (A 1) (A 十1) =0 ，则 为可逆矩阵. 412
试卷代号：1080 国家开放大学（中央广播电视大学）2014年秋季学期“开放本科”期末考试 工程数学（本）试题答案及评分标准（半开卷） (供参考) 2015年1月 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 二、填空题（每小题3分，共15分） 6.0 7.1 8.0.4 9.15 10.统计量 三、计算题（每小题16分，共64分） 11-12 -1 1 -12 11.解：(1)A|= 2-3 5 0 -1 -11=1 …6分 13-24 0 1-20 0-1 (2)利用初等行变换得 -1.2100 1 1001 2-3501 0 0 一1 1 0 -21 3-24001 10 1 -2 -301 1-12 1 00 1一1 2 10 07 0-1 1 -21 0 0 1 -1 2 -1 0 0 -1 -51 1 00 1 5-1 -1 1-1 0 -9 2 100-2 0 1 0 1 0 7 -2 -1 0 10 7 -2 -1 /0 01 5 -1 -1 10 015 -1-1 413
试卷代号 :1080 国家开放大学(中央广播电视大学 )2014 年秋季学期"开放本科"期末考试 工程数学(本) 试题答案及评分标准(半开卷) (供参考) 2015 一、单项选择题(每小题 分，共 15 分) 1. C 2. D 3. A 4. B 5. B 二、填空题{每小题 分，共 15 分) 6.0 7. 1 8.0.4 9. 15 10. 统计量 三、计算题(每小题 16 分，共 64 分} 1.解:(1) IAI= 12 -3 1i o -1 1 1=1 .6 1 • 1 21 11 -1 2 1 -1 2 3 • 2 41 10 1 -21 10 0 -1 (2) 利用初等行变换得 -75 --nu--nv 2-1ool 212 • 10 nu--oo--l2 -75 123---133100 10021-001 ••~ 1 0 01 • 2 1 01 - 3 0 11 1 0 0 1 2 -1 0 1 5 -1 -11 o 1 1 -2 -11 -1 -11 413
-20 即A1= 7 -2 …16分 1 12.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 「12301 2 3 0> -1103→0 3 3 3 235J -1 -1λ 123 0 101-27 011 1 111 000λ+1] 000λ+1 由此可知当λ≠一1时方程组无解，当λ=一1时方程组有解， …8分 此时方程组的一般解为 x1=-xg-2 ,其中x3是自由未知量， x2=-x3十1 令xa=0,得方程组的一个特解X。=(一2,1,0)'. 方程组的导出组的一般解为： x1=一xg ,其中x3是自由未知量. x2=一x3 令x3=1,得导出组的解向量X1=(一1，一1,1). 所以方程组的通解为： X=X。十k1X1,其中k1是任意实数. …16分 13.解：因为 XN(8,4),则Y=X28~N(0,1). 2 所以PX-81<1)=P(X28<0.5)=P(-0.5<X28<0.5) =(0.5)-(-0.5)=2(0.5)-1 =2×0.6915-1=0.383. …8分 P(X≤12)=P(X28≤228) =(2)=0.9773. …16分 414
A=[;1 12. 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 'EA 10OE 03A--A -----41+ • 3053o 由此可知当). #-1 时方程组无解，当). =-1 时方程组有解. 此时方程组的一般解为 IX) =-X3 ~其中X3 是自由未知量. [X2 =-X3 + 1 X3 =0 得方程组的一个特解 =(一 0)' . 方程组的导出组的一般解为 IX) =-X3 ~其中均是自由未知量. [X2 =-X3 X3 =1 得导出组的解向量 X) =(-1 ，一 ，1)' . 所以方程组的通解为 X=Xo +k)X) 其中是 是任意实数. X-8 13. 因为 X - N(8 的，则 y= 一王一- N (0 ,1). IX-81 _~~， ~，~ ~ _X-8 所以 p( 1 X - 81 < 1) = P( .l土二丘上< o. 5) = P( 0.5<~一一< o. 5) 2 =φ(0.5) φ(- 0.5) = 2φ(0.5)-1 = 2 X O. 6915 • 1 =0.383. X-8 _ 12-8 P(X ζ12)=P(-E τ~) =φ(2) = 0.9773. 414 ......16 ..16 ..16
14.解：零假设H。:4=1600;H1:μ≠1600. 由于标准差没有改变，故已知。2=702，选取样本函数 U=E-是~N(0,1) …5分 g/√n 由已知x=1520,40=1600,g0=70,n=49,于是得 U-王一=1520-1600=-8 …10分 a0/√n70/√49 在0.05的显著性水平下， 元二40 =8>1.96,因此拒绝零假设H。,即最近生产的灯管 g0/√n 质量出现显著变化， …16分 四、证明题（本题6分） 15.证明：因为 (A-I(A+I)=A2-I=0,A2=I 所以，A为可逆矩阵. ……6分 415
14. 零假设 Ho μ=1600; Hlμ 乎全 1600. 由于标准差没有改变，故己知 σ2 = 702 ，选取样本函数 u= 王二.l!:. ~ N(O ,l) σ/ ..[rï 由已知王= 1520 。= 1600 0=70 ， n =49 于是得 .5 u= 王一二丘立 1520 - 1602=-8 ......10 。/而 70/ ;4百 O. 叫显著性水平下， Iζ且|二 8> 1. 96 ，因此拒绝零假设矶，即最近生产的灯管 |σ。/而| 质量出现显著变化. …… 16 四、证明题{本题 分} 15. 证明 因为 (A 1) (A 十1) =N -1=0 ，即 =1 所以 为可逆矩阵. .6 415