试卷代号：1080 座位■■ 国家开放大学（中央广播电视大学）2015年春季学期“开放本科”期末考试 工程数学（本）试题（半开卷） 2015年7月 题 号 二 三 四 总分 分 数 得分 评卷人 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ) A.(AB)-=TBAT 1 B.(A+B)-=A-1+B1 C.(AB)-1=A-1B D.|A-1+B1=|A1+B 2.设A是n阶方阵，当条件( )成立时，n元线性方程组AX=B有唯一解. A.B=0 B.A|=0 C.r(A)<n D.r(A)=n 3.下列命题中不正确的是() A.A与A'有相同的特征多项式 B.A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量 C.若λ=0是A的一个特征值，则AX=0必有非零解 D.若1是A的特征值，则（一A)X=0的非零解向量必是A对应于λ的特征向量 344
试卷代号 :1080 座位号 国家开放大学(中央广播电视大学)2015 年春季学期"开放本科"期末考试 工程数学(本) 试题(半开卷) E 一|四|总分| | 一、单项选择题{每小题 分，共 15 分} 2015 1.设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ). A.I 仙一11= B. (A + B) -1 =A- Bc. (AB) -1 =A-1 B-1 2. 阶方阵，当条件( D. IA- B- 1= IA 11+ !B-11 )成立时 元线性方程组 AX=B 有唯一解. A.B=O B. IA[=O C. r(A) < n D. r(A) =n 3. 下列命题中不正确的是( ). A.A A' 有相同的特征多项式 B. 的特征向量的线性组合仍为 的特征向量 c.若 λ=0 的一个特征值，则 AX=O 必有非零解 D.若 的特征值，则 ()J -A)X=O 的非零解向量必是 对应于 的特征向量 344
4.设A,B是两事件，则下列等式中()是不正确的. A.P(AB)=P(A)P(B|A),其中P(A)≠0 B.P(AB)=P(B)P(AB),其中P(B)≠0 C.P(AB)=P(A)P(B),其中A,B相互独立 D.P(AB)=P(A)P(B),其中A,B互不相容 5.设x1,x2,x3是来自正态总体N(4,a2)的样本，则( )是以的无偏估计· A.2 52+2 x1+ B.x1十x?十x3 C. 5x1+ 5x2+3 2 得分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）】 6.设A是2阶矩阵，且|A=9,|3A1|= 7,若线性方程组AX=B(B≠0)有唯一解，则相应的齐次方程组AX=0 8.若P(A)=0.8,P(AB)=0.5,则P(AB)= 9.如果随机变量X的期望E(X)=2,E(X2)=9,那么D(X)= 10.设总体X~N(4,σ2)，且σ2未知，用样本假设检验H。:4=o时可采用统计量 345
4. 是两事件，则下列等式中( )是不正确的. A. P(AB) = P(A) P(B 1 A) ，其中 P(A) B. P(AB) = P(B) P(A 白，其中 P(B) C. P(AB) =P(A)P( B)，其中 相互独立 D. P(AB) =P(A)P(B) 其中 互不相容 5. XI , X2 X3 是来自正态总体 N(p σ2) 的样本，则( 〉是 的无偏估计. 2 '. 2 . 2 A. ::: 5-' Xl + ::: X2 + ::: X3 . 5-. . 5-. B. XI +X2 +X3 1 , 1 , 3 c. : 5--" Xl + 5--.' : X2 十一句5--. 1 , 1 , 1 D. 5-" : Xl + 5-.' : X2 一巳5--. |得分|评卷人| | 二、填空题{每小题 分，共 15 分} 6. 阶矩阵，且 IA 1=9. 13A-1 1= 7. 若线性方程组 AX = B(B 0) 有唯一解，则相应的齐次方程组 AX = 0 8. P(A) =0. 8,P(AB) =0. 5. P(AB) = 9. 如果随机变量 的期望 E(X) =2 , E(X2 ) =9 那么 Ð(X) = 10. 设总体 ~ N(p. σ2) ，且 σZ 未知，用样本假设检验 Ho:μ=μ。时可采用统计量 345
得分 评卷人 三、计算题（每小题16分，共64分） 2 3 4 117 11.设矩阵A= 12 ,B= /1 1 1 ,那么A一B可逆吗？若可逆，求逆矩阵 23 1 2 30 (A-B)-1. 12.求下列齐次线性方程组的通解. 〔x1+3x2+3x3+2x4+x5=0 2x1+6x2+9xg+5x4+3x5=0 -x1-3x2十3x 十2x5=0 13.设X~N(3,4),试求：(1)P(X<-1);(2)P(5<X<9). (已知Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772，Φ(3)=0.9987) 14.已知某种零件重量X~N(15,0.09),采用新技术后，取了9个样品，测得重量（单 位：kg)的平均值为14.9，已知方差不变，问平均重量是否仍为15(a=0.05,.95=1.96)? 得 分 评卷人 四、证明题（本题6分） 15.设A为正交矩阵，试证：|A等于1或一1. 346
|得分|评卷人| 题每小题 16 分，共 64 分} | A=[ :1 B=[ J Jl 那…可逆…求逆矩阵 (A- B)-l. 12. 求下列齐次线性方程组的通解. nunu =55 ZZ ZFM uh++ untbJd+ -1zna • 13. - N(3 的，试求 :(1) P(X <-1) ;(2) P(5 < X < 9). (已知 (1) =0.8413 , φ(2) =0.9772 , φ(3) = 0.9987) 14. 已知某种零件重量 - N (1 5 , 0.09) ，采用新技术后，取了 个样品，测得重量(单 :kg) 的平均值为 14.9 ，已知方差不变，问平均重量是否仍为 15(α =0. 05 , UO.975 = 1. 96)? |得分|评卷人| | 四、证明题{本题 分} 15. 为正交矩阵，试证: IAI 等于 或-1. 346
试卷代号：1080 国家开放大学（中央广播电视大学）2015年春季学期“开放本科”期末考试 工程数学（本） 试题答案及评分标准（半开卷） (供参考) 2015年7月 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.A 2.D 3.B 4.D 5.C 二、填空题（每小题3分，共15分） 6.1 7.只有零解 8.0.3 9.5 10.t=王二4 s/√n 三、计算题（每小题16分，共64分】 123 11.解：因为 |A-B|=012=1≠0 001 所以A一B可逆. …8分 123100112010-31 又因为(A-B:)=012010→01001-2 001001001001 347
试卷代号: 1080 国家开放大学{中央广播电视大学 )2015 年春季学期"开放本科"期末考试 工程数学(本) 试题答案及评分标准(半开卷) (供参考) 2015 一、单项选择题{每小题 分，共 15 分} 1. A 2.D 3. B 4.D 5. C 二、填空题(每小题 分，共 15 分} 6.1 7. 只有零解 8.0.3 9.5 10. t 王二丘旦 sl 三、计算题{每小题 16 分，共 64 分) 1 2 3 1.解 因为 IA-BI= 10 1 21=1 #- 0 001 所以 A-B 可逆. …叶分 210 A B vt 1 0 • 2 0 1 0 qanL o 1 1 0 o 1 o 0 o 1 o 0 347
001-211 010 0 1-2 o 010 0 1 -211 所以(A-B)1= 0 1 -2 …16分 Lo 0 1 「1 3321] 卫332 1 12.解：A= 2 69 53+0031 ~1 -330 2 00623 1301 130 1.07 0 0 0311 001 0 3 00 01J 0000 1 x1=一3x2-x 一般解为 =- 1 ,其中x2,x4是自由未知量 …9分 x5=0 令x2=1,x4=0,得X1=(-3,1,0,0,0)'; x2=0,x4=3,得X2=(-3,0,一1,3,0) 所以原方程组的一个基础解系为{X,,X2}. …13分 原方程组的通解为：k1X:十k2X2,其中k1,k2是任意常数， …16分 13.解：1)P(X<-1)=P(X23<-123)=PX23<-2)=(-2) =1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228 …8分 (2②)P6<X<9)=P(523<X23<92)=P1<X23<) 2 =Φ(3)-Φ(1)=0.9987-0.8413=0.1574 …16分 348
nL 1 1 O O O O 1 1 16 O EEfA A B , O 1 O 2 1 3 3 3 O j• l 2 5 O 3 9 3 12. :A= 6 O 6 2 1 _ 0 O 1 3 O 1 O 3 O 3 1 O -3 1 1 O 3 3 O O O O O 1 O O O Xj=- 3X2- X4 1 一般解为 X3 一言X4 ，其中 X2 ，码是自由未知量 Xs =0 X2 =1 =0 ，得 =(-3 , 1, 0 , 0 , 0)' X2 =0 ,X4 =3 =( ，一 0)' 所以原方程组的一个基础解系为 {X ，几} . .13 原方程组的通解为: kjXj +k 其中儿，是 是任意常数. .16 X-3 _-1 T">/X-3 13. :(1) P(X 1) =P( 一一一一〈一一一一一 =P(一一一 <-2)=φ(- 2) 2 2 =1 φ(2) = O. 9772 = 0.0228 5-3 _ X-3 _ 9-3, ~，. _ X-3 (2) P(5 < X < 9) =P( 一一一〈一一一〈一一一 =P(1 一一一~ < 3) 2 2 ~ 2 =φ(3) (1) =0. 9987 0.8413 =0.1574 ....16 348
14.解：零假设H。:μ=15.由于已知σ2=0.09，故选取样本函数 U=王-'~N(0,1) …5分 a//n 已知x=14.9,经计算得 …10分 √§ 由已知条件uo.95=1.96, 清1<1.96=m 故接受零假设，即零件平均重量仍为15. …16分 四、证明题（本题6分）】 15.证明：因为 AA'=I,AA'|=A}1A=|A|A|=1A2=1I|=1 即|A|2=1,所以A等于1或-1.证毕. …6分 349
14. 零假设 Hoμ=15. 由于已知(/ =0.09 ，故选取样本函数 u= 主二三~ ~ N(O ,l) -.Ín .10 已知王 =14.9 ，经计算得 立=子。 , 1=1 哈于~1=1 1=1 < 1. 96 =u 由己知条件 UO.975 = 1. 96 , 故接受零假设，即零件平均重量仍为 15. . ...16 四、证明题{本题 分} 15. 证明 因为 ..6 349 AA' = 1 , I AA' 1= I A I I A' 1= I A I I A I = I A \2 = 11 \ = 1 \A\2=1. 所以 \A\ 等于 或一1.证毕