试卷代号：1080 座位号■■ 国家开放大学（中央广播电视大学）2016年春季学期“开放本科”期末考试 工程数学（本）试题（半开卷） 2016年7月 题 号 三 四 总分 分 数 得 分 评卷人 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设A为n阶方阵，则下列命题中不正确的是(). A.若入=0是A的一个特征值，则AX=O必有非零解 B.A与A'有相同的特征值 C,A相应于不同特征值的特征向量是线性无关的 D.A与2A有相同的特征值 2.设A,B都是n阶方阵，则下列等式中正确的是(). A.AB=BA B.(AB)'=A'B' C.(AB)1=B-1A-1 D.(A+B)-1=A1+B-1 346
试卷代号: 1080 座位号仁口 国家开放大学(中央广播电视大学)2016 年春季学期"开放本科"期末考试 工程数学{本) 试题{半开卷) 2016 一、单项选择题{每小题 分，共 15 分} 1.设 阶方阵，则下列命题中不正确的是( ). A. ).=0 的一个特征值，则 AX=O 必有非零解 B. A' 有相同的特征值 C. 相应于不同特征值的特征向量是线性无关的 D. 2A 有相同的特征值 2. 都是 阶方阵，则下列等式中正确的是( ). A. AB=BA B. (AB)' =A'B' C. CAB)-I =B-1A-1 D. CA +B)-1 =A -1 +B-1 346
x1十2x2=0 3.线性方程组 的解的情况是(). 2x1+4x2=1 A.只有零解 B.有唯一非零解 C.有无穷多解 D.无解 4.若事件A与B互斥，则下列等式中正确的是(). A.P(A+B)=P(A)+P(B) B.P(B)=1-P(A) C.P(A)=P(AB) D.P(AB)=P(A)P(B) 5.若随机变量X~N(0,1),则随机变量Y=3X一2~( ) A.N(-2,3) B.N(-2,32) C.N(-4,3) D.N(-4,32) 得分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 6.设A,B是3阶方阵，其中|A|=2,1B|=-3,则|3A'B-1|= 7.设A为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量X,使得 ,则称X为A相 应于特征值λ的特征向量. 8.若P(A)=0.8,P(AB)=0.3,则P(AB)= 「-1011 9.设随机变量X~ ,则a= 0.2a0.5 10.若参数日的两个无偏估计量01和02满足 ,则称01比02更有效. 347
(Xl +2X 2=0 3. 线性方程组斗 的解的情况是( l2xl +4X2 =1 A.只有零解 B. 有唯一非零解 C. 有无穷多解 D. 无解 4. 若事件 互斥，则下列等式中正确的是( ). A. P(A+B)=P(A)+P(B) B. P(B)=l-P(A) c. P (A) = P (A I B) D. P(AB) =P(A)P(B) 5. 若随机变量 X-N(O ，l)， 则随机变量 Y=3X-2-( ). A. N( 3) B. N(-2 ,32 ) C. N(-4 ,3) D. N(-4 ,32 ) |得分|评卷人| | | | 二、填空题{每小题 分，共叫} 6. 阶方阵，其中 IAI=2 IBI=-3 ，则 13A'B- =一一-一一· 7. 阶方阵，若存在数 和非零 维向量 ，使得 ，则称 应于特征值 的特征向量. 8. P(A)=O. 8,P(AB)=0. P(AB)= a nu --nL hua nud X 10. 若参数。的两个无偏估计量。 满足 ，则称。 更有效. 347
得分 评卷人 三、计算题（每小题16分，共64分） 「1 2 2 「1 27 11.设矩阵A= -1 -1 0,B= -11,AX=B,求X. 3 5】 4 12.求线性方程组 x1-3x2十x3-x4=1 -2x1+7x2-2x3+x4=-2 x1-4x2十3x3+2x4=1 2x1-4x2+8x3+2x4=2 的通解。 13.设X~N(3,4),试求：(1)P(57).(已知Φ(1)=0.8413，Φ(2)= 0.9772,Φ(3)=0.9987) 14.某厂生产日光灯管.根据历史资料，灯管的使用寿命X服从正态分布N(1600,70). 在最近生产的灯管中随机抽取了49件进行测试，平均使用寿命为1520小时，假设标准差没 有改变，在0.05的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化.(uo.s=1.96) 得分 评卷人 四、证明题（本题6分） 15.证明：可逆的对称矩阵的逆矩阵是对称矩阵， 348
|得分|评卷人 - - 十算题{每小题 16 分，共 64 分} | | I -町骨 B A X B X 2-3 Xl -3X2+X3 -X4 =1 2Xl +7X2 -2X3 +x. xl-4x2+3x3+2x4=1 2Xl-4x2+8x3+2x4=2 的通解. 13. X~N(3 4) 试求:(l) P(5 7). (已知 (1 )=0.8413 φ(2)= 0.9772 φ(3) =0. 9987) 14. 某厂生产日光灯管.根据历史资料，灯管的使用寿命 服从正态分布 (1 600 70 ). 在最近生产的灯管中随机抽取了 49 件进行测试，平均使用寿命为 1520 小时.假设标准差没 有改变，在 0.05 的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化. (UO.975 =1. 96) |得分|评卷人| | 四、证明题{本题 分} 15. 证明 可逆的对称矩阵的逆矩阵是对称矩阵. 348
试卷代号：1080 国家开放大学（中央广播电视大学）2016年春季学期“开放本科”期末考试 工程数学（本）试题答案及评分标准（半开卷） (供参考) 2016年7月 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 二、填空题（每小题3分，共15分）】 6.-18 7.AX=λX 8.0.5 9.0.3 10.D(01)<D(02) 三、计算题（每小题16分，共64分） 11.解：利用初等行变换可得 122100] 122100 1221 0 -1 -10010+012110+012 1 1 0 1 35001013-101001-2 -11 205 2 -21 100-5 -421 +0105 3 -2+010 5 3 -2 001-2 -1 1 001-2 -1 1 -5 -4 21 因此，A1= -2 ……(10分) -2 -1 1 于是，由矩阵乘法可得 T-5-4 1 21 -6 X=A-B= 天B 5 3 1 5 …(16分) -2 349
试卷代号 :1080 国家开放大学(中央广播电视大学 )2016 年春季学期"开放本科"期末考试 工程数学(本) 试题答案及评分标准(半开卷) (供参考) 2016 一、单项选择题{每小题 分，共 15 分} 1. D 2.C 3. D 4. A 5. B 二、填空题{每小题 分，共 15 分} 6. -18 7. AX=ÅX 8. 0.5 9. 0.3 10. D(Ol)<D(Oz) 三、计算题{每小题 16 分，共 64 分} 1.解:利用初等行变换可得 1i o-- qL • 223 l-- • 2-3 nLAURU 0 5 2 -21 o 0 -4 2 l →阳 0 5 3 -21 →阳 0 5 3 -21 10 0 1 -2 1 1 10 0 1 -2 -1 1 1 1-5 -4 2 1 因此 A- 1 5 3 -21. 1-2 -1 1 1 于是，由矩阵乘法可得 …(1 分) qunL -3-41 X -- A B ;jlIjzu::l …..(1 分〉 349
12.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 [1-31 -1 17 -31 -1 1 -2 7-21 -2 0 1 0 -10 1-43 2 1 0-12 3 0 -4 2」 0 26 40 101 -417 100-517 1010 -1 0 010-10 002 2 0 001 1 0 006 6 0 000 0 0 x1=1+5x4 方程组的一般解为x2=x4 (其中x4为自由元) …(7分) x3=-x4 令x4=0,得到方程组的一个特解X。=(1000)'. …(10分) 不计最后一列，令x4=1,得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系 X1=(51-11) …(13分) 于是，方程组的通解为X=X。十kX:(其中k为任意常数)， …(16分) 1解ap6)=P(X23723）=P(232=1-P23<2 =1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228 …(16分) 14.解：零假设H。:μ=1600；H1:μ≠1600. 由于标准差没有改变，故已知σ=702，选取样本函数 U=N(0,1) …(5分) Go/n 由已知，x=1520,μ0=1600,00=70，n=49,于是得 U=Z-=1520-1600--8 …(10分) ao/Vn 70/49 350
12. 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 1 -3 1 1 1 1 1 7 -2 1 O 1 O O . 1 -4 3 2 1 - O 2 3 O 2 8 2 2 O 2 6 4 O 1 O l -4 1 1 O O 1 O 1 O O O 1 O O 国… O O 2 2 O O O 1 1 O O O 6 6 O O O O O O 方程组的一般解为 2s== z4 (其中均为自由元). X.=O 得到方程组的一个特解 (1 0 0 0)'. 不计最后一列，令同 =1 ，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系 X 1 =(5 1 -1 1)' 于是，方程组的通解为 X=X。十 kX 其中 为任意常数). 15-3 9-3 X-3 \ 13. :(1) P(5 7) =P~-- 2 ->T)=P~-- 2 ->2)=1-P~-- 2 -~2) =1 φ(2)=1 0.9772=0.0228 14. 零假设 Hoμ=1600;H #1600. 由于标准差没有改变，故已知 a~ =70 ，选取样本函数 X-Un u= 一.斗.......N(O 1) /..fñ 由己知，王=1520 =1600 =70 n=49 于是得 u=~ μ1520-1600 = ----= ------- o/.fñ 70/-/4 350 .(7 分) …"(1 分〉 ......(13 分) ......(16 分〉 ..(8 分〉 …..(1 分〉 ......(5 分) …..(1 分〉
在0.05的显著性水平下， 元一40 =8>1.96,因此拒绝零假设H。,即最近生产的灯管 ao//n 质量出现显著变化· …(16分) 四、证明题（本题6分） 15.证明：设A为可逆的对称矩阵，则由矩阵的运算性质可得 (A-1)'=(A)-1 …(3分) 又A为对称矩阵，故A'=A,从而 (A-1)'=A-1 因此，A-1也是对称矩阵. …(6分) 351
IX μo I 0.05 的显著性水平下， 一一一 1=8> 1. 96 ，因此拒绝零假设 Ho ，即最近生产的灯管 Il1o/Fnî 质量出现显著变化......(1 分) 四、证明题{本题 分} 15. 证明:设 为可逆的对称矩阵，则由矩阵的运算性质可得 (A 勺'= (A')-l •••.•• (3 分) 为对称矩阵，故 A'=A 从而 (A 1)'=A- 因此 A- 也是对称矩阵. (6 分) 351