试卷代号：1080 座位号■■ 国家开放大学（中央广播电视大学）2015年秋季学期“开放本科”期末考试 工程数学（本）试题（半开卷） 2016年1月 题号 二 三 四 总 分 分 数 得分 评卷人 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设A,B为三阶可逆矩阵，且k>0,则下式( )成立· A.A+B=A+BI B.ABI=AB' C.AB-=AlBI D.kA=kA 2.若n元齐次线性方程组AX=0满足r(A)=n,则该线性方程组( )成立· A.有无穷多解 B.有非零解 C.有唯一解 D.无解 λ-10 0 3.若矩阵A的特征多项式|一A|= 0 0 ,则A的特征值为(). 0λ-1 A.λ=1 B.λ，=1，入2=0（二重） C.λ=0 D.λ1=1（二重），λ2=0 342
试卷代号 :1080 座位号仁口 国家开放大学(中央广播电视大学)2015 年秋季学期"开放本科"期末考试 工程数学{本) 试题{半开卷) |题号|一|二|三|四|总分| |分数 l_T . \- 1 _ 1 __J |得分|评卷人| 捧题{每小题 分，共 15 分) l l! 、怦 1.设 为三阶可逆矩阵，且 >0 则下式( )成立. A. IA+BI= IAI+ IBI C. IAB 11=IAIIBI B. I AB I = I A I I B' I D. IkA l=klAI 2016 2. 元齐次线性方程组 AX=O 满足 r(A) =n 则该线性方程组( )成立. A. 有元穷多解 c. 有唯一解 B. 有非零解 D. 无解 λ-1 0 0 3. 若矩阵 的特征多项式 ，v -AI= I 0 λ o ，则 的特征值为( ). o 0 λ-1 ~A=1 &λ ]=l Az=O( 二重) C. A=O nλ] =l(二重) λ2=0 342
4.若X~N(2,4),Y=(),则Y~N(0,1). A.4X+2 B.2X+2 C.X-2 D.X-2 2 4 5.设x1,x2,·,xm是来自正态总体N(5,1)的样本，则检验假设H。:μ=5时，采用统计 量U=(). A.E-5 B.王-5 1/n 1/5 C.-5 D.-5 √5 1 得分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 6.设三阶矩阵A的行列式IA|=2,则1A1|= 7.已知齐次线性方程组AX=0中A为3×5矩阵，则r(A)≤_ 8.袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球 的概率是 0 9.设随机变量X一 ,则E(X)= 0.40.30.3 10.设0是未知参数0的一个估计，且满足E()=日，则0称为0的 估计. 343
4. ~ N(2 y=( )，则 ~ N(O ,l). A. 4X + 2 B. 2X + 2 c. 2 2D.x-2 4 5. XI X2' X. 是来自正态总体 N(5 ，1)的样本，则检验假设 Ho μ=5 时，采用统计 u=( ). A. 1/ J可 c. .ß |得分|评卷人| | B. 1/ D. x-5 - 1 二、填空题(每小题 分，共 15 分} 6. 设三阶矩阵 的行列式 IAI=2 IA-11 = 7. 已知齐次线性方程组 AX=O 3X5 矩阵，则 r(A) < 8. 袋中有 个红球， 个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球 的概率是 012 9. 设随机变量 X~ ，则 E(X) = 0.4 0.3 0.3 10. 是未知参数。的一个估计，且满足 E( =(J 称为 的一一一→一估计. 343
得 分 评卷人 三、计算题（每小题16分，共64分） 「1 2 21 [1 27 11.设矩阵A= -1 -1 0 ,B=-11 ,AX=B,求X 3 4 12.设齐次线性方程组 x1-3x2十2x4=0 2x1-5x2+3x3=0, 3x1-8x2十x3=0 问入为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解、 13.设X~N(2,9),试求：(1)P(X<11):(2)P(5<X<8). (已知(1)=0.8413，(2)=09772，Φ(3)=0.9987) 14.某厂生产一种型号的滚珠，其直径X~N(4,0.09),今从这批滚珠中随机地抽取了 16个，测得直径（单位：mm)的样本平均值为4.35，求滚珠直径μ的置信度为0.95的置信区间 (ua.975=1.96) 得 分 评卷人 四、证明题（本题6分） 15.设A,B是n阶对称矩阵，试证：A十B也是对称矩阵. 344
m B X ---nu B ||||ill-- 三、计算题(每小题 16 分，共 64 分) 12. 设齐次线性方程组 [-K+2ZEO 2Xl 5xz + 3X3 =0 • 3x) - 8xz ÅT3=0 为何值时方程组有非零解?在有非零解时，求出通解. 13. X~N(2.9). 试求 (1 )P(X < 11); (2)P(5 < X < 8). (己知 (1) =0.8413.φ(2) =09772.φ(3) =0. 9987) 14. 某厂生产…种型号的滚珠，其直径 ~ N(/-L .O. 09) .今从这批滚珠中随机地抽取了 16 个，测得直径(单位 :mm) 的样本平均值为 4.35. 求攘珠直径 的置信度为 0.95 的置信区间 (UO. 975 = 1. 96) . 四、证明题(本题 分} 15. A.B 阶对称矩阵，试证 :A+B 也是对称矩阵. 344
试卷代号：1080 国家开放大学（中央广播电视大学）2015年秋季学期“开放本科”期末考试 工程数学（本）试题答案及评分标准（半开卷） (供参考) 2016年1月 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.B 2.C 3.D 4.C 5.A 二、填空题（每小题3分，共15分） 6司 7.3 &品 9.0.9 10.无偏 三、计算题（每小题16分，共64分）】 11.解：利用初等行变换可得 [1221007 n221001 -1-10010 0 01211 1350.01 013-101 几221 0 07. 1205 2 -2 →012 1 1 0→ 0 0 1 5 -2 001 -2 -1 1 01 -2 -11 100-5 -427 010 -2 001-2-11 「-5-427 因此，A1= 5 3 -2 …10分 -2-11 345
试卷代号 :1080 国家开放大学(中央广播电视大学 )2015 年秋季学期"开放本科"期末考试 工程数学(本) 试题答案及评分标准(半开卷) (供参考) 一、单项选择题{每小题 分，共 15 分) l. B 2. C 二、填空题{每小题 分，共 15 分) 6÷ 7.3 10. 元偏 三、计算题{每小题 16 分，共 64 分) 1.解 利用初等行变换可得 3.0 4. C r 1 2 2 1 0 01 11 2 2 1 0 01 • 1 -1 0 0 1 01 →旧 12110 11 3 5 0 0 11 0 11 2 1 0 01 0 5 2 - 21 →旧 2 1 1 01 →阳 0 5 3 -21 10 0 1 - 11 1 -2 111 →旧 0 5 3 -21 0 1 - 1 1 因此 1=153-21 1-2 -1 1 1 2016 5. A .10 345
于是由矩阵乘法可得 [-5-4 2 X=A-B= …16分 -2-1 12.解：因为 -32] y 一3 27 0 -17 A=2-53+0 1 -1 01-1 3-8λ 1λ-6 00λ-5 当λ一5=0即λ=5时，r(A)<3,所以方程组有非零解. …8分 x1=x3 方程组的一般解为： ,其中x为自由元. x2=x3 令x3=1得X,=(1,1,1)',则方程组的基础解系为{X,) 通解为k1X1,其中k1为任意常数. …16分 13.解：)P(x<1)=P(X2<1山23) 3 3 =P(X号2<3)=03)=0.987 …8分 (2)P(5<X<8)=P5g2<X2<83=P1<X2<2) 3 =Φ(2)-Φ(1)=0.9772-0.8413=0.1359 …16分 14.解：由于已知σ2，故选取样本函数 U--上~N(0,1) …5分 a/n 因为x=4.35,a.5=1.96,且 o.%是=1.96×0-3=0.147 …10分 √/16 所以，滚珠直径4的置信度为95%的4的置信区间为： [z-4a.s75 g,王十.95 g]=[4.203,4.497] …16分 n 四、证明题（本题6分） 15.证明：因为 (A+B)'=A'+B=A+B 所以A十B也是对称矩阵，证毕. …6分 346
16 ~21 [ j=[JJ 于是由矩阵乘法可得 -4 3 1 -5 X=A-1B= I 5 1-2 141ilIlli--J ‘ A O 1 • -3 12. 因为 -3 -5 A 1 O λ-5=0 Ã=5 r(A) < ，所以方程组有非零解. .8 IXl =X3 方程组的一般解为:斗 ，其中岛为自由元. lXz =X3 X3 =1 =(1， ，1)'，则方程组的基础解系为 {X }. 通解为 k1X 其中 为任意常数. 16 X-2 _11-2 13. 解: (1) P(X < 11) =P( 一言一< -- 一) X-2 =PC <3) =φ(3) =0.9987 .8 5-2 _ X-2 _ 8-2, ~" _ X-2 (2) P(5 < X < 8) =P( 一一一〈一一一一〈一一一) =P(1 一一一~ < 2) 3 3 3 =φ(2) (1) =0.9772 O. 8413 = O. 1359 .16 14. 解:由于已知 故选取样本函数 u= 王二」旦- N(O ,l) Jn .5 因为王= 4. 35 , UO.975 = 1. 96 ，且 a '^ ^ " O. 3 UO Q 7< ~ = 1. 96 一一 =0.147 ,. '"' rn v'1百 ..10 所以，滚珠直径 的置信度为 95% 的置信区间为: [王 -uomiL ，王十 UO.9 'l ~J =[4. 203 , 4. 497J. rn ,,,... rn 四、证明题{本题 分) 15. 证明:因为 .6 (A+ B)' =A' +B' =A+B 所以 A+B 也是对称矩阵，证毕. 346