试卷代号：1080 座位号☐口 中央广播电视大学2013一2014学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷） 工程数学（本）试题 2014年1月 题 号 二 三 四 总分 分 数 得 分 评卷人 一、单项选择题（每小题3分，共15分）】 1.下列命题中不正确的是(). A.A与A'有相同的特征多项式 B.若λ是A的特征值，则(I一A)X=O的非零解向量必是A对应于入的特征向量 C.若λ=0是A的一个特征值，则AX=O必有非零解 D.A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量 2.设A,B都是n阶方阵，则下列等式中正确的是(). A.AB=BA B.(AB)'=A'B' C.(AB)-1=B-1A D.(A+B)1=A1+B1 3.设A,B是两个随机事件，则下列等式中不正确的是(). A.P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(A)=1-P(A) D.P(A I B)=P(AB) P(B) 431
试卷代号 0 8 0 座位号 中央广播电视大学 4学年度第一学期"开放本科"期末考试(半开卷) 工程数学{本)试题 2014 年1 |题号|一|二|三|四|总分| |分数 I I I I I |得分|评卷人| I I I- 选择 1.下列命题中不正确的是( ). A.A 有相 特征 项式 B. 若λ 是A 特征 -A)X=O 对应 特征 若λ=0 是A 个特 AX 零解 D.A 性组合仍 2. 都是 则下 等式 ). A.AB=BA c. (AB) -I =B-1A• . B. (AB)' =A'B' D. (A+B) =A-1+B-1 3. 个随 则下列等 不正 ). A. peA +B) =P(A)+ PCB) 一P(AB) B.P(AB) =P(A) PCB) c. peA) =1- peA) _P(.1B ) D. peA I B)='&n\~ 431
4.设袋中有6只红球，4只白球，从其中不放回地任取两次，每次取1只，则两次都取到红 球的概率是( A B.是 3 c是 5.对于单个正态总体X~N(u,a2),g2已知时，关于均值μ的假设检验应采用(). A.t检验法 B.U检验法 C.x2检验法 D.F检验法 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 10 2 6.若3阶方阵A= 0-10 ,则|A2+A|= 3-24 7.设A为n阶方阵，若存在数入和 n维向量X,使得AX=X,则称数入为A的 特征值，X为A相应于特征值入的特征向量· 8.若r(A)=1,则3元齐次线性方程组AX=O的一个基础解系中含有 个解向量. -101 9.设随机变量X一 ,则a= 0.2a0.5」 10.设随机变量X,若D(X)=2,则D(3X十2)= 432
4. 有6 地任 取1 两次都 球的概率是( ). A-i B. 3 -- 25 c. 5 -- 10 5. 单个正态 体X - N(p ,(i ) ，(1 2已知时，关于均值 μ的假设检验应采用( ). A.t 检验法 B.U 检验法 c·x 检验 D.F 检验法 二、填空题{每小题 102 6. 若3 = 10 -1 01 ，则 +AI= 3 -2 4 7. 设A 使得 AX 特征值， A相应于特征值 A的特征向量. 8. = 则3 齐次 性方程组AX= 个基 含有 个解向量. a nu oa ny X 10. 随机变量X 十2)= 432
得 分 评卷人 三、计算题（每小题16分，共64分） 1 2 543 11.设矩阵A= 1 1 4 ，B= 4 0 ,求A1B. 2 -10 1 23 12.λ为何值时，下列方程组有解？有解时求出其全部解. [x1+x2-3x4=1 -x1-2x2十x1=2 2x1+3x2-4x3=1 13.设X~N(3,4),试求：(1)P(57).(已知Φ(1)=0.8413， Φ(2)=0.9772，Φ(3)=0.9987) 14.设某种零件长度X服从正态分布N(μ，2.25)，今从中任取100个零件抽检，测得平 均长度为84.5cm,试求此零件长度总体均值的置信度为0.95的置信区间(o.75=1.96). 得 分 评卷人 四、证明题（本题6分） 15.设A,B是n阶对称矩阵，试证：A+B也是对称矩阵· 433
|得分|评卷人| .!.L4iI" 算题{每小题 I I 叫』 12.A 何值 方程 有解时求 部解 (Xl 十X2 一3X3 =1 ~-Xl - 2X2 +X3 =2 l2xl +3X2 - 4X3 =A 13. - N(3 (1) P(5 7) . (已知 =0. 8413 , φ(2)=0.9772 ，φ(3) =0.9987) 14. 设某 零件长 p. 2日，今从中任取 0个零件抽检，测得平 均长度为 8 4 Scm 此零件长度总 9 5 =1. 96). |得分|评卷入| I I I 四、证明题{本题 15. 是n 也是对称 433
试卷代号：1080 中央广播电视大学2013一2014学年度第一学期“开放本科”期未考试（半开卷） 工程数学（本） 试题答案及评分标准 (供参考) 2014年1月 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 二、填空题（每小题3分，共15分） 6.0 7.非琴 8.2 9.0.3 10.18 三、计算题（每小题16分，共64分） 11.解：利用初等行变换可得 0 1210 1 4 01 0] 11 4010 0 1 2 1 0 0 2-1000 o -3-80-21 0 2 -1 0> 10 0 2 -1 0 1 4 -2 01 0 0 0 10 0-2 3 -21 00 1 、3 1 -1 1 因此，A1= -2 1 ……10分 3 1 - 于是，由矩阵乘法可得 434
试卷代号 中央广播电视大学 4学年度第-学期"开放本科"期末考试{半开卷) 工程数学(本〉试题答案及评分标准 〈供参考〉 -、单项选择题{每小题 I. D 2.C 3.B 4.A 二、填空题{每小题 6. 0 7. 8.2 9. 0.3 10. 18 三、计算题{每小题 1. 用初等行变 01024 • -oo • 1 3 • 1 1 1-t 2 -1 1 因此 = I 4 1 3 2 1-2 于是，由矩阵乘法可得 434 2014 年1 5.B ..·..·10
2 -1 43] 7 891 -2 A-1B= 4 0 2 13 14 15 …16分 Γ2 23 一4 2 -5-6 12.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 「11-31] 1-3 11 10-5 41 -1-212+0-1-2 3 +01 2 -3 2 3-4J012-2 00 0λ+1 由阶梯阵可知：当λ十1=0，即λ=一1时，方程组有解· …7分 此时，由最后一个行简化阶梯阵得方程组的一般解为： x1=5x1+4 (其中x,为自由元) …10分 x2=-2x1-3 令x3=0,得方程组的一个特解X。=(4一30)'. …12分 不计最后一列，令x,=1,得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系 X1=(5-21) …14分 于是，方程组的全部解为 X=X。十X:(其中k为任意常数) …16分 13.懈：)P6)=P(23>723）=P(23>2）=1-P(232) =1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228 …16分 14.解：由于已知σ2，故选取样本函数 U=E二'~N0,1) …5分 a//n 零件长度总体均值的置信度为0.95的置信区间为 …10分 435
…… tu ‘, E U 8 14 fi 4 2 1 1 2 4 A-IB= 2 1 2 1 3 2 qd- 2 o 1 • n4 12. 将方程 梯形 -3 1 -3 1 1 3 -4 1 2 o O 由阶梯阵可知 =0 即λ=-1 程组 ·… 此时，由最后一个行简化阶梯阵得方程组的一般解为 (Xl =5x3 +4 (其中 lxz =-2X3 - 3 =0 得方程组 一个特 = (4 。) , . ·..12 不计最后一列，令 =1 到相 性方程组 ••.···14 ,, ••• Xl =(5 于是，方程组的全部解为 "… 13. .:(1) P(5 2)=1-P( =1 一φ(2) = 1 - O. 9772 = O. 0228 ·… 14. 故选取 u= N(O,l) σ/ .f; 435 零件长度总体均值的置信度为 5的置信区间为 [x-u
由已知，x=84.5,g=1.5,n=100,o.95=1.96,于是可得 x-wa.s是=84.5-1.96X5=84.206, √100 x+o.97sg=84.5+1.96X.5 =84.794, √n √100 因此，此零件长度总体均值的置信度为0.95的置信区间为[84.206,84.794]· …16分 四、证明题（本题6分）】 15.证明：A,B是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知 (A+B)'=A'+B …3分 已知A,B是对称矩阵，故有A'=A,B'=B,从而 (A+B)'=A+B 由此可知，A十B也是对称矩阵， …6分 436
由已知，军 5， 1. 5 , n = 100 , UO.975 = 1. 96 1. UO.975 8 4 -1. 96 Xτ. v =84.206 , ..In .J100 (J ，~'"nA ，， X+ UO.975 84. 5+1. 96 ::..:::.... =84. 794 , ..In .J100 因此，此零件长度总体均值的置信度为 5的置信区间为 8 4 6， 8 4 . · · 四、证明题{本题 15. 运算性质可知 (A+ B) I =A 十B 已知 故有 =A , B' =B (A+B) I =A+B 由此可知 B也是对称矩阵. 436
