内蒙古农业大学：理学院：《试验设计》课程实验指导书

试验设计实验指导

试验设计实验指导

目录1.单因子试验1.1单因子试验的一般概述.1.2单因子方差分析.21.3实验21.4多重比较...21.5实验31.6实验三.32.区组设计试验.52.1随机化完全区组设计.52.2实验四，62.3平衡不完全区组设计.72.4统计模型及参数估计.2.5实验五.92.6链式区组设计.102.7实验六..113.正交设计试验133.1总平方和分解....133.2对模型的检验.143.3实验七..153.4实验八153.5水平数不相等情况下的试验设计.163.6实验九163.7实验十.174.参考文献18

目录 1.单因子试验 .1 1.1 单因子试验的一般概述.1 1.2 单因子方差分析.2 1.3 实验一.2 1.4 多重比较.2 1.5 实验二.3 1.6 实验三.3 2.区组设计试验 .5 2.1 随机化完全区组设计.5 2.2 实验四.6 2.3 平衡不完全区组设计.7 2.4 统计模型及参数估计.7 2.5 实验五.9 2.6 链式区组设计.10 2.7 实验六.11 3.正交设计试验 .13 3.1 总平方和分解.13 3.2 对模型的检验.14 3.3 实验七.15 3.4 实验八.15 3.5 水平数不相等情况下的试验设计.16 3.6 实验九.16 3.7 实验十.17 4.参考文献.18

一：单因子试验单因子试验时最常见和最简单的一种试验。它的设计较为单纯，主要采用随机化技术，故又称为完全随机设计。但它的数据分析要涉及效应模型、参数估计、方差分析、多重比较、残差分析和方差齐性检验等统计方法，这些统计方法也是以后学习多因子试验的基础。一：单因子试验的一般概述设在一个试验中只考察一个因子及其r个水平，记因子为A，其r个水平记为AAA。又设在水平A下重复进行m次试验，i=1,2，，「，总试验次数为n=m+m,+.m,。假设各水平下重复试验次数相等，即m=m,=.=m,=m，则称为平衡设计，否则称为不平衡设计。显然平衡设计是不平衡设计的一个特例。单因子试验中要研究的问题是：1.若干个水平均值U,z，μ,是否彼此相等？这要用单因子方差分析方法去研究。2.假如这些水平的均值不全相等，哪些均值间的差异是重要的？这要用多重比较的方法去研究。几点认识：数据y是两个分量的和，一个分量是常数项μ，另一个分量是随机误差项6j;由于E（）=0，Var(,）=α所以E（y,)=μVar(y,)=α?这表明，第i个水平下所有观察值都具有相同均值μ，而所有观察值具有相同方差：由于~N(0,α),故有y~N(μ,α);诸误差项相互独立意味着任一试验的误差项不影响其他试验的误差项，从而诸y,亦相互独立。二：单因子方差分析单因子方差分析就是为了解决单因子试验中r个水平均值μ,"",μ,是否彼此相等的问题而产生的。用统计语言说，单因子方差分析就是基于试验数据~1~

~ 1 ~ 一：单因子试验 单因子试验时最常见和最简单的一种试验。它的设计较为单纯，主要采用随 机化技术，故又称为完全随机设计。但它的数据分析要涉及效应模型、参数估计、 方差分析、多重比较、残差分析和方差齐性检验等统计方法，这些统计方法也是 以后学习多因子试验的基础。 一：单因子试验的一般概述 设在一个试验中只考察一个因子及其 r 个水平，记因子为 A，其 r 个水平记 为 A A A 1, 2 r 。又设在水平 Ai 下重复进行 mi 次试验，i=1,2，.，r，总试验次数为 1 2 r n m m m    。假设各水平下重复试验次数相等，即 m m m m 1 2     r ， 则称为平衡设计，否则称为不平衡设计。显然平衡设计是不平衡设计的一个特例。 单因子试验中要研究的问题是： 1.若干个水平均值 1 2 , , ,   r 是否彼此相等？这要用单因子方差分析方法 去研究。 2.假如这些水平的均值不全相等，哪些均值间的差异是重要的？这要用多重 比较的方法去研究。 几点认识： 数据 ij y 是两个分量的和，一个分量是常数项  ，另一个分量是随机误差项 ij  ； 由于 E（ ij  ）=0，Var( ij  )= 2  所以 E（ ij y ）= i Var( ij y )= 2  这表明，第 i 个水平下所有观察值都具有相同均值 i ，而所有观察值具有相 同方差； 由于   2 ~ 0,   ij N ,故有   2 ~ , ij i y N   ； 诸误差项相互独立意味着任一试验的误差项不影响其他试验的误差项，从而 诸 ij y 亦相互独立。 二：单因子方差分析 单因子方差分析就是为了解决单因子试验中 r 个水平均值 1 2 , , ,   r 是否 彼此相等的问题而产生的。用统计语言说，单因子方差分析就是基于试验数据

，要寻找一个检验统计量，对如下一对假设：Ho. μ= μ =...= μ,H：ui，"2，，r不全相等作出判断。若在显著性水平α上拒绝原假设，则称因子A在显著性水平α上是显著的，简称因子A显著，否则称因子A不显著。三：实验一一位经济学家对生产电子计算机设备的企业收集了在一年内生产力提高指数（用0到100内的数表示）并按过去三年间在科研和开发上的平均花费分为三类:A：花费少A：花费中等A：花费多生产力提高的指数如下表所示：生产力提高的指数表水平生产力提高指数A7.68.26.85.86.96.66.37.76.0A6.78.19.48.67.87.78.97.98.38.77.18.4A8.59.710.17.89.69.5请研究以下问题：（1）算出方差分解式（2）查表检验花费对生产力影响是否显著：（3）估计个均值与总方差；实验一的EXCEL计算过程：贴条件馅式套用计算赶道早元格解任艾B1！·由A曼·喜牵库国合井后居中·国·%·品格式间表格档式字体对齐方式数字剪贴板SUNXV=1+B1+C1+D1+1+1+G1+1+4BCD8FG1-11A8.26.85.86.96.66.37.717.66=A1+B1+C1+D1+1+F1+G1+H1+I42678.19.48.67.87.78.97.98.38.78.49.710.17.89.69.53854~2~

~ 2 ~ ij y ，要寻找一个检验统计量，对如下一对假设： H0 ：      r . 1 2 H1 ： 1，  2，.，  r 不全相等 作出判断。若在显著性水平  上拒绝原假设，则称因子 A 在显著性水平  上 是显著的，简称因子 A 显著，否则称因子 A 不显著。 三：实验一 一位经济学家对生产电子计算机设备的企业收集了在一年内生产力提高指 数（用 0 到 100 内的数表示）并按过去三年间在科研和开发上的平均花费分为三 类： A1 ：花费少 A2 ：花费中等 A3 ：花费多 生产力提高的指数如下表所示： 生产力提高的指数表 水平 生产力提高指数 A1 7.6 8.2 6.8 5.8 6.9 6.6 6.3 7.7 6.0 A2 6.7 8.1 9.4 8.6 7.8 7.7 8.9 7.9 8.3 8.7 7.1 8.4 A3 8.5 9.7 10.1 7.8 9.6 9.5 请研究以下问题： （1）算出方差分解式； （2）查表检验花费对生产力影响是否显著； （3）估计个均值与总方差； 实验一的 EXCEL 计算过程： :

工作置1-MicrosoftExce文件开始JMP5页面布网公式AcrobatSAS广E常规王美好宋体11AA常视自动换行咖装制计算豪用检查单元格解释性文本粘贴条件格式库车国合并后围中#·%，品馆BII田O.A-安格式刷表格指式字体为方式数字剪贴板样式±12.6AB0DH7.717.68.26.86.96.66361.91927.98726.79.48.68.98.37.18.465. 138.5910.17.89.69.555.25SA=（61.9~2)/9+(65.1*2)/12+(55.2°2)/6日··工作第1-Microsof Excel文开始爽面布周公式数据闯现圈JMPAcrobatSAS满入奶常规国差好未体HAA舰自动行-电复制赛用开新检音单元格多件档式有国会井治居中BII·E4A·要A%推式用费格相式字体对齐方式数字式数贴板.A7XVST=7.628.2*2+9.52-(182.2°2)[27dCGHI.17.68.26.8Se6.96.661766117.98.726.78.19.48.67.88.98.37.18.4659.6o8.59.710.17.89.555182S8= (61. 9°2) /9+(65. 1*2) /12+(55.22)/656ST=7.6°2+8.22+*+9. 5°2-(182.2°2)/289四：多重比较在单因子方差分析中，若拒绝原假设μ=μ==μ，则表明因子的r个水平均值山，山，，μ不全相等，需要却认哪些水平均值有差异，这就是多重比较。五：实验二合成纤维（对成品布）的抗拉强度进行试验，工程师的经验表明：某种合成纤维的抗拉强度与棉花在纤维中所占百分比有关。考虑到成品布的其他质量特性，棉花含量在10%到40%之间为宜。对棉花含量这个因子工程师选定五个水平：A:15%A:20%A:25%A:30%A:35%并决定对每个水平各重复5次试验，共做25次试验。经过对试验次序随机化后，共获得25个试验结果。由于试验结果大多在10以上，为简化计算，把数据都减去10后记录在表2.5.2上，并在表2.5.2上计算各水平的均值与组内平方~3~

~ 3 ~ 四：多重比较 在单因子方差分析中，若拒绝原假设    1 2    r ，则表明因子的 r 个水 平均值 1 2 , , ,   r 不全相等，需要却认哪些水平均值有差异，这就是多重比较。 五：实验二 合成纤维（对成品布）的抗拉强度进行试验，工程师的经验表明：某种合成 纤维的抗拉强度与棉花在纤维中所占百分比有关。考虑到成品布的其他质量特 性，棉花含量在 10%到 40%之间为宜。对棉花含量这个因子工程师选定五个水 平： A1 :15% A2 : 20% A3 : 25% A4 :30% A5 :35% 并决定对每个水平各重复 5 次试验，共做 25 次试验。经过对试验次序随机 化后，共获得 25 个试验结果。由于试验结果大多在 10 以上，为简化计算，把数 据都减去 10 后记录在表 2.5.2 上，并在表 2.5.2 上计算各水平的均值与组内平方

和。合成纤维强度数据水平和均值组内平方和Jg-10A-3-1-0.244.8-351-127288275.439.2A489938As87.617.2958A151291311.627.24-3010.832.8As51T =126S,=161.2J= 5.04用T法对上述5个水平进行多重比较实验二的EXCEL计算过程：由于EXCEL计算过程与上边计算基本类似，只是公式不同，所以本题包括下边实验都不在具体演示EXCEL计算过程。六：实验三在入户推销上有五种方法，某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项试验：从应聘的且无推销经验的人员中随机挑选一部分人，将他们在一个月内的推销额，数据如下：组别推销额（千元）第一组17.921.223.920.016.826.822.4第二组24.921.322.630.229.922.520.7第三组16.020.117.320.922.026.820.8第四组17.520.217.719.116.518.218.4第五组25.526.226.929.330.429.728.21.假定数据满足进行方差分析的假定，对数据进行分析，在α=0.05下，这五种方法在平均月推销额上有无显著差异？2.哪种推销方法的效果最好？试对该种方法一个月的平均推销额求置信水平为0.95的置信区间；3.对五种推销方法在α=0.05下作多重比较。~4~

~ 4 ~ 和。 合成纤维强度数据 水平 yij 10 和 均值 组内平方和 5 4 3 2 1 A A A A A 3 0 1 5 1 9 15 12 9 13 4 8 8 9 9 2 7 2 8 8 3 3 5 1 1     4 58 38 27 1 0.8 11.6 7.6 5.4  0.2 32.8 27.2 17.2 39.2 44.8 T 126 y  5.04 Se 161.2 用 T 法对上述 5 个水平进行多重比较 实验二的 EXCEL 计算过程： 由于 EXCEL 计算过程与上边计算基本类似，只是公式不同，所以本题包括 下边实验都不在具体演示 EXCEL 计算过程。 六：实验三 在入户推销上有五种方法，某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差 异，设计了一项试验：从应聘的且无推销经验的人员中随机挑选一部分人，将他 们在一个月内的推销额，数据如下： 组别 推销额（千元） 第一组 20.0 16.8 17.9 21.2 23.9 26.8 22.4 第二组 24.9 21.3 22.6 30.2 29.9 22.5 20.7 第三组 16.0 20.1 17.3 20.9 22.0 26.8 20.8 第四组 17.5 18.2 20.2 17.7 19.1 18.4 16.5 第五组 25.5 26.2 26.9 29.3 30.4 29.7 28.2 1.假定数据满足进行方差分析的假定，对数据进行分析，在  =0.05 下，这 五种方法在平均月推销额上有无显著差异？ 2.哪种推销方法的效果最好？试对该种方法一个月的平均推销额求置信水 平为 0.95 的置信区间； 3.对五种推销方法在  =0.05 下作多重比较

二：区组设计试验在比较某个因子A的v个水平时，总希望在试验中的其他条件尽可能保持几乎不变，使得比较个水平的统计推断更为可信。有时“其他条件尽可能保持几乎不变”不大可能实现，这时可按某个已知的干扰源（噪声因子）把全部试验单元分为若干个组，使得每个组内的各试验条件尽可能保持几乎不变。这样的组被称为区组。如何建立区组被称为区组设计。在区组设计中因子的水平被称为处理，v个水平就是v个处理。一：随机化完全区组设计统计模型随机化完全区组设计的统计模型是y, =μ+a,+b, +8ui=1,2,..-vj=1,2,...b其中y为第i个处理在第j个区组内的试验结果μ为总均值，是待估参数a为第i个处理的效应，是待估参数，且满足a+a++a,=0b,为第i个区组的效应，是待估参数，且满足b,+b,+.+b,=0为试验误差，诸是相互独立同分布的随机变量，它们的共同分布为N(0,α)，其中为误差方差，是待估参数。利用最小二乘法很容获得各种效应的估计，它们是：a,=T-j,i=1,2,",v由此可得各拟合值与残差bB=+B=,be,=yu,=y-T-B,+由模型可知，第i个处理在第j个区组内的观察值y服从正态分布N(u+a,+b,)，它们涉及vb个正态总体，这些总体的方差都相同，而它们的期望E(y)=μ+a,+b,依赖于处理效应和区组效应。区组效应的设立是为了把它从随机误差中分离出来，以便更准确地估计误差方差。，从而使以后的方差分析结果更为可信。在随机化完全区组设计中我们关心的重点仍在v个处理效应是否彼此相等，即需要检验的一对假设仍是：Ho.a=a,=.=a,=0H:诸a不全为零我们仍然采用方差分析来检验着一对假设。~5~

~ 5 ~ 二：区组设计试验 在比较某个因子 A 的 v 个水平时，总希望在试验中的其他条件尽可能保持几 乎不变，使得比较 v 个水平的统计推断更为可信。有时“其他条件尽可能保持几 乎不变”不大可能实现，这时可按某个已知的干扰源（噪声因子）把全部试验单 元分为若干个组，使得每个组内的各试验条件尽可能保持几乎不变。这样的组被 称为区组。如何建立区组被称为区组设计。在区组设计中因子的水平被称为处理， v 个水平就是 v 个处理。 一：随机化完全区组设计 统计模型 随机化完全区组设计的统计模型是 yij    ai bj  ij i 1,2,  j 1,2, b 其中 ij y 为第 i 个处理在第 j 个区组内的试验结果  为总均值，是待估参数 i a 为第 i 个处理的效应，是待估参数，且满足 1 2 0 v a a a     j b 为第 j 个区组的效应，是待估参数，且满足 1 2 0 b b b b     ij  为试验误差，诸 ij  是相互独立同分布的随机变量，它们的共同分布 为   2 N 0, ，其中 2  为误差方差，是待估参数。 利 用 最 小 二 乘 法 很 容 易 获 得 各 种 效 应 的 估 计 ， 它 们 是 ：               b B y j b a T y i y j j i i , 1,2, , ˆ ˆ , 1,2, , ˆ     由此可得各拟合值与残差： e y y y T B y y a b T B y ij ij ij ij i j ij i j i j             ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 由模型可知，第 i 个处理在第 j 个区组内的观察值 ij y 服从正态分布   2 , N a b    i j ，它们涉及 vb 个正态总体，这些总体的方差都相同，而它们的 期望 E y a b  ij i j      依赖于处理效应和区组效应。区组效应的设立是为了把它 从随机误差中分离出来，以便更准确地估计误差方差 2  ，从而使以后的方差分 析结果更为可信。 在随机化完全区组设计中我们关心的重点仍在 v 个处理效应是否彼此相等， 即需要检验的一对假设仍是： H 诸ai不全为零 H a a a : : 0 1 0 1  2    我们仍然采用方差分析来检验着一对假设

二：实验四硬度计把杆尖压入金属试件后显示的读数就是该金属硬度的测量值。如今要考察4种不同的杆尖在同一台硬度计上是否得出不同的读数。为了减少金属试件间的差异对硬度读数的影响，只取4块金属试件，让每个杆尖在每块试件上各压入一次。这样安排有4个处理（杆尖）和4个区组（金属试件）的随机化完全区组设计。实测数据如下：处理i1324区组110.09.39.49.629.49.39.89.939.29.59.79.449.79.610.010.2（1）计算各类平方和，写出方差分析表，若取显著性水平α=0.05，你从中能得到什么结果？（2）若4种处理方法间有显著差异，作多重比较，从中你能得出什么结果?三：平衡不完全区组设计在随机化完全区组设计中若省去部分试验，只做另一部分试验，就可得到一个不完全区组设计。警如某个因子A有4个处理A,A2,A，A4,又有4个区组，假如每个区组可以放置4个处理（见表3.2.1a），则共做16次试验，这是完全区组设计。假如想省去4次试验，只做其中12次试验，所得不完全区组设计有多种。将v个处理安排到b个区组的一个不完全区组设计称为平衡不完全区组设计，假如该设计满足下列三个条件：每个区组都含k个不同处理，k称为区组大小。每个处理都在r个不同区组中出现，r称为处理重复数。任一对处理在入个不同区组中相遇，入称为相遇数。从这个定义可以看出，一个BIB设计中的个处理可以得到公平的比较，因为每个处理的重复数相同，任一处理与另外v-1个处理可仔相同条件下进行比较的次数是相同。四：统计模型及参数估计平衡不完全组设计只使用于处理和区组间无交互作用的试验问题，因此它的~6~

~ 6 ~ 二：实验四 硬度计把杆尖压入金属试件后显示的读数就是该金属硬度的测量值。如今要 考察 4 种不同的杆尖在同一台硬度计上是否得出不同的读数。为了减少金属试件 间的差异对硬度读数的 影响，只取 4 块金属试件，让每个杆尖在每块试件上 各压入一次。这样安排有 4 个处理（杆尖）和 4 个区组（金属试件）的随机化完 全区组设计。实测数据如下： 处理 i 区组 j 1 2 3 4 1 9.3 9.4 9.6 10.0 2 9.4 9.3 9.8 9.9 3 9.2 9.4 9.5 9.7 4 9.7 9.6 10.0 10.2 （1）计算各类平方和，写出方差分析表，若取显著性水平   0.05 ，你 从中能得到什么结果？ （2）若 4 种处理方法间有显著差异，作多重比较，从中你能得出什么结 果？ 三：平衡不完全区组设计 在随机化完全区组设计中若省去部分试验，只做另一部分试验，就可得到一 个不完全区组设计。譬如某个因子 A 有 4 个处理 1 2 3 4 A A A A , , , ,又有 4 个区组，假 如每个区组可以放置 4 个处理（见表 3.2.1a），则共做 16 次试验，这是完全区组 设计。假如想省去 4 次试验，只做其中 12 次试验，所得不完全区组设计有多种。 将 v 个处理安排到 b 个区组的一个不完全区组设计称为平衡不完全区组设 计，假如该设计满足下列三个条件： 每个区组都含 k 个不同处理， k 称为区组大小。 每个处理都在 r 个不同区组中出现， r 称为处理重复数。 任一对处理在  个不同区组中相遇，  称为相遇数。 从这个定义可以看出，一个 BIB 设计中的 v 个处理可以得到公平的比较，因 为每个处理的重复数相同，任一处理与另外 v -1 个处理可仔相同条件下进行比较 的次数是相同 。 四：统计模型及参数估计 平衡不完全组设计只使用于处理和区组间无交互作用的试验问题，因此它的

统计模型是：,=μ+a,+b,+8ui=1,2,,Vj=1,2,..,b其中。J,为第i个处理在第个区组中的实验结果；·μ为总均值：·a,是第i个处理的效应，且有亡α,=0;·b,是第个区组的效应，且有b,=0;·6为实验误差，诸s是来自正态总体N(0,2)的一个样本。这个模型与随机化完全组设计的模型相同，差别仅在于在BIB设计中不是每个区组都含有所有处理。在BIB设计中人们的注意力集中在V个处理间是否有显著差别，我们设计区组是为排除一些明显的干扰，让人们更清楚地认识V个处理之间的差异。这里我们先寻求处理效应a.的最小二乘估计。考虑到BIB设计是“不完全”的，既不是对一切(i,j)都做试验，这是关联矩阵N(3.2.5)将起到区分作用。其目标函数为2n,(-μ-a,-b,p=i=lj=l对其求偏导数，另其为零，就可以得正规方程组，再利用个效应的约束条件和关联矩阵的性质，可简化正规方程组如下：nμ=TZn,b, =T, i=1,2,vrμ+ra,+j=lku+Znga, +kb, =B, j= 1,2,.,bi=l其中n= bk=vrT=Zny(第i个处理的r次重复之和)j=1B,=nuyu(第J个区组内个处理的数据之和)1=1bbVT =ZZnjy=T=B(数据总和）1-1台合1-1由（3.2.10）中第1个方程可得μ的最小二乘估计a=T/n~7~

~ 7 ~ 统计模型是： yij    ai  bj   ij i 1,2,  ,v j 1,2,  ,b 其中  yij为第i个处理在第j个区组中的实验结果；  为总均值；    v i i ai a i 1 是第 个处理的效应，且有 0；    b j 1 bj是第j个区组的效应，且有 b j 0；   ij为实验误差，诸 ij是来自正态总体N(0, 2 )的一个样本。 这个模型与随机化完全组设计的模型相同，差别仅在于在BIB设计中不是每 个区组都含有所有处理。 在BIB设计中人们的注意力集中在  个处理间是否有显著差别，我们设计区 组是为排除一些明显的干扰，让人们更清楚地认识  个处理之间的差异。 这里我们先寻求处理效应 i a 的最小二乘估计。考虑到BIB设计是“不完全” 的，既不是对一切 i j ,  都做试验，这是关联矩阵 N3.2.5 将起到区分作用。其目 标函数为   2 1 1          i b j ij ij ai bj n y 对其求偏导数，另其为零，就可以得正规方程组，再利用个效应的约束条件和关 联矩阵的性质，可简化正规方程组如下：                        k n a k b B j b r ra n b T i n T j j i ij i b j i ij j i 1,2, , 1,2, , 1 1        其中       b i ij ij j j ij ij i 1 b b i ij ij j i i j j n bk r T n y i r B n y j k T T n y B                        1 1 1 1 1 第 个处理的 次重复之和 第 个区组内 个处理的数据之和 数据总和 由（3.2.10）中第1个方程可得  的最小二乘估计  ˆ  T / n

由第3个方程解出b，，再代入其第2个方程可得++ [I[B, -ki-Zn,a. =T,j=li=l若令b1 Q,=TZn,Bi = 1,2,.,vk它被称为第i个处理的调整和，它等于第个处理的未调整总和工减去包含第i个处理区组总和的均值。利用の,可把原式改写，并注意到之n=r，可得j=l1h4+/p++,)1,ra,b-n= k,上式还可改写为62再考虑到Zn,=1alj=lj=l[r(k-1]+a]a, /k=O,i=1,2,..,v由于r（k-1)=2（v-1)，立即可得a.的最小二乘估计KOa, =i=12....,V,Av由此可得调整后的处理均值A, =a+a, i=12,..,v最后用诸处理效应的估计值，可得各区组效应的估计：--nj=1,2,...,bk五：实验五某种薄膜电阻是安装在陶瓷平板上的电阻器。设计了四种几何形状不同的、但电阻值相同的薄膜电阻，现要菌窥宜流噪声的影响是否有显著差异。由于一块陶瓷平板上只能安装3呆薄膜电上故采闯电，选用的参数如下：r=3(每种形状的重复数）此BIB设计共需电阻4(秉板快数所列数据y是电流噪声测量值的对数，这样可得更近似的正态分布的数捐遇数）~8~

~ 8 ~ 由第3个方程解出 j b ，再代入其第2个方程可得 i i j ij i b j i ij B k n a T k r ra n                 1 1 ˆ 1 ˆ 若令 b i i ij j j Q T n B i , , , k       1 1 1 2 它被称为第i个处理的调整和，它等于第i个处理的未调整总和 Ti 减去包含第i个 处理区组总和的均值。利用 Qi 可把原式改写，并注意到 n r b j  ij  1 ，可得     1,2, , 1 1 1 2 2 1         n n a n a n a Q i k ra j j j i b j i ij 再考虑到 , , 1 1 1 2 n r n n i k kj b j ij b j ij b j nij            上式还可改写为 rk 1 ai / k  Qi i 1,2,  , 由于 rk 1   1 ，立即可得 i a 的最小二乘估计   ˆ  Q i  1,2,, v k ai i ， 由此可得调整后的处理均值  ˆ i   ˆ  a ˆ i i 1,2,  , 最后用诸处理效应的估计值，可得各区组效应的估计： n a j b k k B b v i ij i j j ˆ 1,2, , 1 ˆ ˆ 1         ， 五：实验五 某种薄膜电阻是安装在陶瓷平板上的电阻器。设计了四种几何形状不同的、但电 阻值相同的薄膜电阻，现要考察它们对电流噪声的影响是否有显著差异。由于一 块陶瓷平板上只能安装 3 只薄膜电阻，故采用 BIB 设计，选用的参数如下： 2( ) 4( ) 3( ) 3( ) 4( ) 相遇数 平板块数 每种形状的重复数 每块平板上可安装的电阻数 四种几何形状        b r k 此 BIB 设计共需电阻 n=12 只。下表所列数据 ij y 是电流噪声测量值的对数，这样 可得更近似的正态分布的数据