概率论与统计学统计
概率论与统计学 ——统计
01 总体与随机样本 目录 02 样本均值的抽样分布 03 样本方差的抽样分布 04 学生t-分布 05 F-分布 06 假设检验 概率论与统计学 2
概率论与统计学 目录 01 总体与随机样本 02 03 样本均值的抽样分布 样本方差的抽样分布 2 学生 𝒕-分布 05 𝓕-分布 04 06 假设检验
前置知识>随机变量X，给定其概率密度函数（PDF）f(x);： 均值 (Mean) : μ= E(X)=J~xf(x)dx方差 (Variance) : α2 =var(X) = J(x-μ)2f(x)dx>如果随机变量X=α，α为常数，则2=0。故方差可以作为不确定性的测度。>例：在金融学中，预期回报和投资组合的风险是衡量投资组合表现的两个重要测度。：如果随机变量X为投资收益率，则均值为预期收益率，方差为相应的风险。P夏普比率（SharpeRatio）：SR=a概率论与统计学
概率论与统计学 ➢ 随机变量 𝑋，给定其概率密度函数（PDF）𝑓 𝑥 ； • 均值（Mean）：𝜇 = 𝐸 𝑋 = ∞− ∞ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 • 方差（Variance）：𝜎 ∞− = �� �𝑎𝑣� = 2 ∞ 𝑥 − 𝜇 2𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ➢ 如果随机变量 𝑋 = 𝑎， 𝑎 为常数，则 𝜎 2 = 0。故方差可以作为不确定性 的测度。 ➢ 例：在金融学中，预期回报和投资组合的风险是衡量投资组合表现的两 个重要测度。 • 如果随机变量 𝑋 为投资收益率，则均值为预期收益率，方差为相应 的风险。 • 夏普比率（ Sharpe Ratio ）：SR = 𝜇 𝜎 。 3 前置知识
前置知识>现实中，随机变量X的概率密度函数（PDF）f（x）未知，故我们无法直接算得u和？，需要用可观测的数据（样本）来推断总体。>样本均值Xn==1X;和总体均值μ的关系？. Xn→μ=E(X)asn→80概率论与统计学
概率论与统计学 ➢ 现实中，随机变量 𝑋 的概率密度函数（PDF）𝑓 𝑥 未知，故我们无法 直接算得 𝜇 和 𝜎 2 ，需要用可观测的数据（样本）来推断总体。 ➢ 样本均值 𝑋ത 𝑛 = 1 𝑛 σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 和总体均值 𝜇 的关系？ • 𝑋ത 𝑛 → 𝜇 = 𝐸 𝑋 as 𝑛 → ∞ 4 前置知识
01总体与随机样本概率论与统计学
概率论与统计学 01 总体与随机样本 5
1.总体与随机样本数据与随机样本>随机样本：假设有 n个随机变量X,.…,Xn，令Xn=（X,…,Xn)，则称Xn是一个样本容量（samplesize）为n的随机样本。>数据集：随机样本Xn的一个实现值称为从随机样本Xn生成的一个数据集（data set）或样本点，Xn 的一个数据集记作 xn=（xi，···，xn)>一个随机样本Xn可生成多个不同的数据集。所有可能的Xn的数据集构成随机样本Xn的样本空间。概率论与统计学
概率论与统计学 ➢ 随机样本: 假设有 𝑛 个随机变量 𝑋1, . ,𝑋𝑛，令 𝑋 𝑛 = (𝑋1, . ,𝑋𝑛)，则称 𝑋 𝑛 是一个样本容量（sample size）为 𝑛 的随机样本。 ➢ 数据集: 随机样本 𝑋 𝑛 的一个实现值称为从随机样本 𝑋 𝑛 生成的一个数 据集（data set）或样本点，𝑋 𝑛 的一个数据集记作 𝑥 𝑛 = (𝑥1, · · · , 𝑥𝑛)。 ➢ 一个随机样本 𝑋 𝑛 可生成多个不同的数据集。所有可能的 𝑋 𝑛 的数据集 构成随机样本 𝑋 𝑛 的样本空间。 6 1. 总体与随机样本 数据与随机样本
1.总体与随机样本例：[抛硬市]>假设抛掷n次硬币。令X；表示抛掷第i次硬币的结果，若正面朝上则Xi=1，否则Xi=0。·Xn=(Xi,,Xn）构成一个随机样本。·抛掷n次硬币后，将获一个实数序列，如xn=（1,1,0,0,1,0,，·,1)。该序列是来自随机样本Xn的一个数据集。：若再次抛掷n次硬币，会获得一个不同的实数序列，如xn=（1，0,01，1，1，···，O），这是来自随机样本Xn的另一数据集。随机样本Xn一共可生成2n个数据集，每个数据集的样本容量均为n。概率论与统计学
概率论与统计学 例: [抛硬币] ➢ 假设抛掷 𝑛 次硬币。令 𝑋𝑖 表示抛掷第 𝑖 次硬币的结果，若正面朝上则 𝑋𝑖 = 1，否则 𝑋𝑖 = 0。 • 𝑋 𝑛 = (𝑋1, . ,𝑋𝑛) 构成一个随机样本。 • 抛掷 𝑛 次硬币后，将获一个实数序列，如 𝑥 𝑛 = (1, 1, 0, 0, 1, 0,· · · , 1)。 该序列是来自随机样本 𝑋 𝑛 的一个数据集。 • 若再次抛掷 𝑛 次硬币，会获得一个不同的实数序列，如 𝑥 𝑛 = (1, 0, 0, 1, 1, 1, · · · , 0) ，这是来自随机样本 𝑋 𝑛 的另一数据集。随机样本 𝑋 𝑛 一共可生成 2 𝑛 个数据集，每个数据集的样本容量均为 𝑛。 7 1. 总体与随机样本
1.总体与随机样本总体（population）与随机样本>若随机变量X1,,Xn互相独立（即f(x1,x2,.,xn）=In=1f(xi）=f(xi)f(x2)..f(xn)），其中每个随机变量Xi具有相同的概率分布f(x），这个概率分布f（x）就称为总体分布。>则称随机变量序列X1…,Xn为来自总体分布为f(x），样本容量为n的独立同分布（IID）的随机样本。概率论与统计学
概率论与统计学 ➢ 若 随 机 变 量 𝑋1, . ,𝑋𝑛 互相独立 （ 即 𝑓 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛 = ς𝑖=1 𝑛 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 . . . 𝑓 𝑥𝑛 ），其中每个随机变量 𝑋𝑖 具有相同的 概率分布 𝑓 𝑥 ，这个概率分布 𝑓 𝑥 就称为总体分布。 ➢ 则称随机变量序列 𝑋1, . ,𝑋𝑛 为来自总体分布为 𝑓 𝑥 ，样本容量为 𝑛 的 独立同分布 (IID) 的随机样本。 8 1. 总体与随机样本 总体 (population) 与随机样本
1.总体与随机样本例：[中国各省级行政区的GDP年增长率】>令X;表示2024年省级行政区i的GDP年增长率，则Xn=（X1,,Xn）构成了一个样本容量n=34的随机样本。·不同省级行政区的GDP年增长率符合IID的前提假设符合现实吗？√不符合。不同省份的地理位置（例如，东西部）、人口规模、发展阶段与发展水平等均存在差异>随机变量的独立同分布仅是统计学中的一个经典假设。·例如，我们可以假设不同随机变量相互独立，但不服从同样的分布。概率论与统计学
概率论与统计学 例: [中国各省级行政区的 GDP 年增长率] ➢ 令 𝑋𝑖 表示 2024 年省级行政区 𝑖 的 GDP 年增长率，则 𝑋 𝑛 = (𝑋1, . , 𝑋𝑛) 构成了一个样本容量 𝑛 = 34 的随机样本。 • 不同省级行政区的 GDP 年增长率符合 IID 的前提假设符合现实吗？ ✓ 不符合。不同省份的地理位置（例如，东西部）、人口规模、发 展阶段与发展水平等均存在差异。 ➢ 随机变量的独立同分布仅是统计学中的一个经典假设。 • 例如，我们可以假设不同随机变量相互独立，但不服从同样的分布。 9 1. 总体与随机样本
1.总体与随机样本>假设Xn=（Xi,,Xn）是一个独立同分布的随机样本，且E(Xi）=μ，var(X,) = α2, i = 1,2, ...,n。总体均值：E(Xi)= J~xif(xi)dxi=μ;总体方差: var(Xi)= J(xi -μ)f(xi)dxi =2;>问题：给定一个数据集xn=（x1，···，xn），如何估计μ和α2？·通过统计量（statistic）。两个最重要的统计量：样本均值、样本方差概率论与统计学10
概率论与统计学 ➢ 假设 𝑋 𝑛 = (𝑋1, . , 𝑋𝑛) 是一个独立同分布的随机样本，且 𝐸 𝑋𝑖 = 𝜇， 𝑣𝑎𝑟 𝑋𝑖 = 𝜎 2 ，𝑖 = 1,2，. , 𝑛。 ∞− = �𝑋� ��:总体均值• ∞ 𝑥𝑖𝑓 𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑖 = 𝜇； ∞− = �𝑋� �𝑎𝑣�:总体方差• ∞ 𝑥𝑖 − 𝜇 2𝑓 𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑖 = 𝜎 2； ➢ 问题：给定一个数据集 𝑥 𝑛 = (𝑥1, · · · , 𝑥𝑛)，如何估计 𝜇 和 𝜎 2？ • 通过统计量（statistic） • 两个最重要的统计量：样本均值、样本方差 10 1. 总体与随机样本