重积分第十章第一节二重积分的概念与性质、二重积分的概念二、二重积分的性质三、对称定理08
第十章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质
引言设函数f(x)在[a,bl上有界，在la,bl中任意插入若干个分点：a=x
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假定下面的各性质中列出的定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小I' af (x) + Pg(x)ldx= α " f(x)dx+ βf" g(x)dxI'f(x)+ g(x)ldx-I' f(x)dx+J' g(x)dx.推论1[" kf(x)dx= kf' f(x)dx.推论2设a
高等数学教学部 3 b a f (x)dx b c c a f (x)dx f (x)dx. b a c b c a f (x)dx f (x)dx f (x)dx b a a c b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx
dx= b-a.4 如果在区间[a,b]上,f(x)≥0, 则[f(x)dx ≥0, (a
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" f(x)dx称为函数 f(x)在区间 [a, b)积分学中值定理中，f()=-上的平均值当f(x)>0时，" f(x)dx在几何上表示由曲线 y=f(x)、直线 x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积当f(x)
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二重积分的概念1、曲顶柱体的体积z= f(x,y)给定曲顶柱体：底：xoy 面上的闭区域D顶：连续曲面z=f(x,y)≥0侧面：以D的边界为准线，母线平行于 z 轴的柱面，求其体积。解法：类似定积分解决问题的思想（“分割，取近似求和，取极限”）eoo8个个个高等数学教学部
高等数学教学部 6 D z f (x, y)
1）分割用一组曲线网将 D 任意分为 n个小区域△o,,α2,…·,△,分别以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.2）作近似当这些小区域的直径很小时，z = f(x,y)由于f(x,y)连续，对同一个小区域来说，f(x,J)变化很小，可将小曲顶柱体近似看做小f(5.n)平顶柱体于是，在每个小区域△α,中任取一D点(5i,n;), 则AV, ~ f(5i,n)A0;(5k,nk)(i = 1,2,...,n).001018个个个高等数学教学部不不个
高等数学教学部 7 D z f (x, y) ( , ) i i f ( , ) k k (i 1,2,,n). i i i i V f ( , )
z = f(x,y)-EAV,~Zf(5i,n,)Ao,3)求和：V=f(5.,n.)4）取极限令n个小区域的直径中的最大值（记作）趋于零，取上述和的极限，即D得所求体积(Snk)Z f(si,n,)Ao.V = lim1-0i=l80008个不个高等数学教学部不不个
高等数学教学部 8 lim ( , ) . 1 0 n i i i i V f n i V Vi 1 ( , ) . 1 n i i i i f D z f (x, y) ( , ) i i f ( , ) k k
62、平面薄片的质量设有一平面薄片，占有xov面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为μ(x,y)，假定u(x,J)在D上连续且非负，试计算平面薄片的质量解法：类似定积分解决问题的思想（“分割，取近似，求和，取极限")(5i,n,)y1分割 用一组曲线网将 D 任意分为n个小区域Aoi,Ao.,..",Non.NoiX2） 作近似 当这些小区域的直0径很小时，由于uμ(x,y)连续，对同一个小区域来说，u(x,J)变化很小，可将μ(x,J)近似看成常数，于是，在每个小区域△,中任取一点(si,ni)，则Am, ~ μ(5i,n,)Ao, (i = 1,2,..,n).001018中个个个高等数学教学部不不不
高等数学教学部 9 mi i i i ( , ) (i 1,2,,n). i ( , ) i i x y o
ZAm3)求和：m1(5i,n.)N-WVu(Ei,n;)Ag ;.i=1Noi4）取极限令n个小区域的直径X0中的最大值（记作几）趋于零，取上述和的极限，即得所求质量Em = limμ(i,n;)Ag,1-0i=10010个不不高等数学教学部不不不
高等数学教学部 10 i ( , ) i i x y o ( , ) . 1 n i i i i n i m mi 1 lim ( , ) . 1 0 n i m i i i