重积分第十章第二节二重积分的计算法，利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分0
第十章 重积分 第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分1、两类平面区域D:p(x)≤y≤p,(x),a≤x≤b.X 型区域y= P2(x)Vy= P2(x)VDDy=@(x)y=p(x)0abx0ab x特点：多穿过区域D的内部且平行于y轴的直线与D的边界不多于两个交点.000个不个高数学教学部不不个
高等数学教学部 2 : ( ) ( ), . D 1 x y 2 x a x b x y O a b ( ) y 1 x ( ) y 2 x D x y O a b ( ) y 1 x ( ) y 2 x D
Y型区域D:y.(y)≤x≤y,(y),c≤y≤d.yJddV2(y)x=W.(y)DEy2(y)Xx=业XDCC0b0x特点：穿过区域D的内部且平行于x轴的直线与D的边界不多于两个交点.200不不不高等数学教学部不不个
高等数学教学部 3 : ( ) ( ), . D 1 y x 2 y c y d x y O c d ( ) 1 x y ( ) 2 x y D d y O c b ( ) 1 x y ( ) 2 x y D
2、计算公式由二重积分的几何意义知，二重积分[f(x,y)do的值等于以 D 为底、以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积，即 V=J f(x,y)do.0下面应用定积分中计算“平z=f(x,Jy)Z4行截面面积已知的立体的体积”y=02(X）的方法求这个曲顶柱体的体积，假定D为X型区域：A(x)P(x)≤y≤P2(x),a≤x≤b.y=P(X)过区间[a,b]上任一点x且垂0直于x轴的平面截曲顶柱体所得Xbxa0（x截面的面积为 A(x)=f(x, y)dy,0x0008个个个高等数学教学部不不个
高等数学教学部 4 z y o a x b x A(x) z f(x, y) ( ) 1 y x ( ) 2 y x ( , ) . D V f x y d ( ) ( ), . 1 x y 2 x a x b ( ) ( , ) , ( ) ( ) 2 1 x x A x f x y dy
Sz=f(x,y)Z.如图所示，以D为底、以曲面z= f(x,y)为顶的曲顶柱体的y=(P2()体积为 V=' A(x)dxA(x)-'10(m f(x, )dy]axy=p(x)-I'dx n() (x,y)dy,0axbx[J f(x, y)do =I' dx [o(m) f(x, )dy.可得上式右端称为先对y、后对x的二次积分同理，若D为型区域：D:yi(y)≤x≤2(y),c≤y≤d,J f(x,y)do =I' dym) f(x, y)dx.可得上式右端称为先对x、后对的二次积分0008个不不高等数学教学部不不
高等数学教学部 5 z y o a x b x A(x) z f(x, y) ( ) 1 y x ( ) y 2 x b a V A(x)dx b a x x [ f (x, y)dy]dx ( ) ( ) 2 1 ( , ) , ( ) ( ) 2 1 b a x x dx f x y dy ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 D b a x x f x y d dx f x y dy : ( ) ( ), , D 1 y x 2 y c y d ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 D d c y y f x y d dy f x y dx
说明（1）将二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键，1应先画出积分区域D的图形．若D为X型区域，可先在x轴上取一点并过该点作轴的平行线，则该直线与D的边界的两个交点的纵坐标便为y的积分限，而D内点的最小横坐标、最大横坐标便为x的积分限，二重积分可以化为先对y、后对x的二次积分同样地，若D为Y型区域，可先在轴上任取一点y并过该点作x轴的平行线，则该直线与D的边界的两个交点的横坐标便为x的积分限，而D内点的最小纵坐标、最大纵坐标便为的积分限，二重积分可以化为先对x、后对的二次积分(2）如果积分区域 D 既不是X 型的，也不是 Y 型的.可用 x轴或轴的平行线将D分割成若干小区域，使每个小区域属于X型的或Y型的，使用（1)的方法计算出每个小区域上的二重积分，再相加即可0010个不不高数学教学部不不不
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新(3）交换积分次序的一般方法：I'axn() (x,)dy-JJ (x,y)do -"'d) (x, )dx,其中D:P,(x)≤y≤P,(x),a≤x≤b.'mo) (x,y)dx -IJ (x, )do -I'dx() f(x, )d,其中D:,(y)≤x≤,(y),c≤y≤d.yy=P2(x)yay.(y)x=Dxt(V,(y)y=p(x)Dc0ab x0x001018个不不高等数学教学部不不
高等数学教学部 7 ( , ) , ( ) ( ) 2 1 b a x x dx f x y dy D f (x, y)d d c y y dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , ) D f (x, y)d b a x x dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) ( , ) , ( ) ( ) 2 1 d c y y dy f x y dx x y O c d ( ) 1 x y ( ) 2 x y D x y O a b ( ) y 1 x ( ) y 2 x D
3、例题分析例 1 计算[[xydo，其中 D 是由直线 y=1,x=2,及y=x 所围的D闭区域y=x2J xdo -I'ae ixyly解一-Th,a-r-a-X0x21808个不个高等数学教学部不不不
高等数学教学部 8 x y 2 1 1 y x o 2 x D xyd 2 1 dx x ydy 2 1 dx 2 1 3 ] 2 1 2 1 [ x x dx . 8 9 1 ] 2 1 [ 2 x xy 1 x
例 1 计算[[ xyd，其中 D 是由直线 y=1,，x=2,及y=x 所围的D闭区域t1y=xJxydo-f'ofiryde解二21-"5x'yl, y -'12y-2yly -X012000个不个高等数学教学部不不个
高等数学教学部 9 D xyd x y 2 1 1 y x o 2 y 2 1 dy xydx 2 1 dy 2 2] 2 1 [ y x y 2 1 3 ] 2 1 [2 y y dy . 8 9 y 2
例 2 计算[[xydo,其中 D 是由抛物线y2=x和直线 y=x-2 所围的D12闭区域.V解抛物线和直线的交点坐标为y(1,-1)、(4,2),福0+24 xJ rydo - ayd-1y=x- 2L'5+ypdy -+lv(y+2)-y'my45800810不不不高数学教学部不不不
高等数学教学部 10 D y x 2 y x 2 2 1 4 o y x y D xyd xydx 2 1 dy 2 y y 2 2 1 2 2 ] 2 2 1 [ x y d y y y 2 1 2 5 [ ( 2) ] 2 1 y y y dy . 8 45