习题14.5场论初步1，设a=3i+20j-15k，对下列数量场f(x,y,2)，分别计算gradf和div(fa) :(1) (x,y,3)=(r2 +y2 +2);(2) J(x,y,2)= x2 +y2 +22;(3) f(x,y,2)= ln(x? +y2 +2)。解（1)grad f =-(x?+y2+≥2)(xi+yj+zk),div(fa)= -(x2 + y2 +22) (3x + 20y-152)。(2)grad f =2(xi+yi+zk),div(fa)=2(3x +20y-152) 。(3) grad f = 2(x2 + y2 +z)-'(xi+yj+ zk),div(fa)= 2(x2 + y2 + z2)- (3x +20y-152) 。2.求向量场a=xi+y2j+2k穿过球面x2+y2+2=1在第一卦限部分的通量，其中球面在这一部分的定向为上侧。解设:x2+y2+=2=1(x≥0,y≥0,z≥0)，方向取上侧，则所求通量为[[ x'dydz + y' dzdx + 2'dxdy ,Fdel'r'dr="由于[22dxdy=[[(1-x-y)dxdy=8元同理可得「x2dydz=Ly?dzdx=83所以[[x°dydz +y'dzdx +2dxdyT83.设r=xi+yi+zk，r=rl，求：（1）满足divLf(r)r)=0的函数f(r)；（2）满足div[gradf(r)=0的函数f(r)。解（1）经计算得到x2a(f(r)x) = f(r)+ f(r)axa(()= f(r)+ f(r)bdyAa(= f(r)+ F()=Oz所以div[f(r)r)=3f(r)+rf'(r) 。1
习 题 14.5 场论初步 1．设 ，对下列数量场 ，分别计算 和 ： a = 3i + 20 j −15k f x( , y,z) grad f div( fa) （1） f x( , y,z) = + (x y + z ) − 2 2 2 1 2 ； （2） f x( , y,z) = + x 2 2 y + z 2 ； （3） f x( , y,z) = + ln(x 2 2 y + z 2 )。 解（1）grad ( ) ( ) 2 3 2 2 2 f = − x + y + z xi + yj + zk − ， div( ) ( ) (3 20 15 ) 2 3 2 2 2 f = − x + y + z x + y − z − a 。 （2） grad f = 2(xi + yj + zk)， div( fa) = 2(3x + 20y −15z)。 （3）grad f = 2(x 2 + y 2 + z 2 ) −1 (xi + yj + zk)， div( fa) = 2(x 2 + y 2 + z 2 ) −1 (3x + 20y −15z) 。 2．求向量场 穿过球面 在第一卦限部分 的通量，其中球面在这一部分的定向为上侧。 a i j k 2 2 2 = x + y + z x y z 2 2 2 + + = 1 解 设 : 1 ( 0, 0, 0)，方向取上侧，则所求通量为 2 2 2 Σ x + y + z = x ≥ y ≥ z ≥ ∫∫ Σ x dydz + y dzdx + z dxdy 2 2 2 ， 由于 4 8 (1 ) 1 0 3 2 0 2 2 2 π θ π π = − − = − = ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ Σ Σ z dxdy x y dxdy d r dr xy ， 同理可得 8 2 2 π = = ∫∫ ∫∫ Σ Σ x dydz y dzdx ， 所以 π 8 2 2 2 3 + + = ∫∫ Σ x dydz y dzdx z dxdy 。 3．设r = xi + yj + zk ，r =|r |，求： （1）满足div[ f (r)r] = 0的函数 f r( )； （2）满足div[grad f (r)] = 0的函数 f r( )。 解（1）经计算得到 r x f r f r x f r x 2 ( ) ( ) ( ( ) ) = + ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) , ( ( ) ) 2 r y f r f r y f r y = + ′ ∂ ∂ r z f r f r z f r z 2 ( ) ( ) ( ( ) ) = + ′ ∂ ∂ ， 所以 div[ f (r)r] = 3 f (r) + rf ′(r)。 1
由divf(r)rl=0，得3f(r)+rf(r)=0，解此微分方程，得到f(r)=其中c为任意常数。-(r),(2）由()，(_=f(r)，得到axaxaxx2.2-xar-f'(r)f'(r)+(n),axa(yf(r)r-yVf'(r)+f"(r)aylr14r?--2-af'(r)f(r)+f"(r),0z0r3所以div[grad f(r)] = 22f'(r)+f"(r)。由div[gradf(r)]=0，得2f(r)+rf"(r)=0，解此微分方程，得到f(r)={+c2,7其中c,c,为任意常数。4.计算gradc.rIn(c其中c是常矢量，r=xi+yi+zk，且c·r>0。解设 c=(c,C2,c)，u=c./In(c.r)，则2uououC,C2C= C, +C, +=C+ax-2(c.r)"ay2(c.r)oz2(c-r)所以1cIn(c.grad-2c.r25．计算向量场a=grad arctan沿下列定向曲线的环量：x（1）圆周（x-2)2+(y-2)2=1,z=0，从=轴正向看去为逆时针方向；（2）圆周x2+y2=4,z=1，从z轴正向看去为顺时针方向。解经计算，可得arctana = grad-(-y,x,0) ,x+V2
由div[ f (r)r] = 0，得3 f (r) + rf ′(r) = 0，解此微分方程，得到 3 ( ) r c f r = ， 其中c为任意常数。 （2）由 ( ) ( ) f r r x x f r = ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) f r r x x f r = ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) f r r x x f r = ′ ∂ ∂ ，得到 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 f r r x f r r r x f r r x x ′ + ′′ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 f r r y f r r r y f r r y y ′ + ′′ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ， ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 f r r z f r r r z f r r z z ′ + ′′ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ∂ ∂ ， 所以 2 div[grad f (r f )] (r) f "( ) r = ′ + r 。 由div[grad f (r)] = 0，得2 f ′(r) + rf ′′(r) = 0，解此微分方程，得到 1 2 ( ) c f r c r = + ， 其中c1 ,c2为任意常数。 4. 计算 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ + ln( ⋅ ) 2 1 grad c r c r 其中c是常矢量，r = xi + yj + zk ，且c ⋅r > 0。 解 设 c = (c1 ,c2 ,c3 ) ， ln( ) 2 1 u = c ⋅r + c ⋅r ，则 2( ) , 2( ) , 2( ) 3 3 2 2 1 1 c r c r c ⋅r = + ∂ ∂ ⋅ = + ∂ ∂ ⋅ = + ∂ ∂ c c z c u c y c u c x u ， 所以 c r c c r c r c ⋅ = + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⋅ + ⋅ 2 1 ln( ) 2 1 grad 。 5. 计算向量场 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y a grad arctan 沿下列定向曲线的环量： （1）圆周( ) x y − + 2 2 2 2 ( − ) = 1, z = 0，从 轴正向看去为逆时针方向； 1 z （2）圆周 x y 2 2 + = 4, z = ，从 z 轴正向看去为顺时针方向。 解 经计算，可得 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y a grad arctan 2 2 1 ( , y x,0 x y = − + )， 2
ijkaaa=0,rota=azaxay-yx0x?+y2x+y2它在除去=轴的空间上是无旋场。（1）设L=((x,y,=)(x-2)+(y-2)=1,==0)，从=轴正向看去为逆时针方向；Z=((x,,=)(x-2)+(y-2)≤1,z=0)，方向取上侧。由于z轴不穿过曲面，根据Stokes公式，[a-ds = [[rot a.ds = 0 。（2）令x=2cos0,y=2sino,z=0，则Ja. ds =[ xdy- ydx _d0=-2元。1 x2+y26.计算向量场r=xyz(i+j+k)在点M(1,3,2)处的旋度，以及在这点沿方向n=i+2j+2k的环量面密度。解由ikjaaarotr:=x(z-y)i+ y(x-z)j+z(y-x)k,Ozaxayxyzxyzxyz可得rotr(M)=-i-3j+4k。向量场r=xyz(i+j+k)在点M(1,3.2)沿方向n的环量面密度为n11lim[r- dr = rot r(M) ..n3°2-M m(2) 7.设a=ai+aj+a.k向量场，f(x,y,z)为数量场，证明：（假设函数ar,a,,a.和具有必要的连续偏导数）(1) div(rot a)=0 ;(2) rot(grad f)=0;(3) grad(diva)-rot(rot a)=Aa 。(aa.oa,.aada.aaaa.证(1)rota:y)zx)Laxay设ar,a,a.二阶偏导数连续，则3
2 2 2 2 rot 0 y z y x x y x y ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ − + + 0 i j k a = x ， 它在除去 z 轴的空间上是无旋场。 （1）设 { } 2 2 L x = − ( , y,z) (x 2) + ( y − 2) =1,z = 0 ，从 轴正向看去为逆时针 方向； z { } 2 2 Σ = ( , x y,z) (x − 2) + ( y − 2) ≤ 1,z = 0 ，方向取上侧。由于 轴不 穿过曲面 ，根据 Stokes 公式， z Σ d rot d 。 L Σ ⋅ = ⋅ = ∫ ∫∫ a s a S 0 （2）令 x y = = 2cosθ , 2sinθ ,z = 0，则 2 2 d L L xdy ydx x y − ⋅ = + ∫ ∫ a s 2 0 d 2 π = − θ = − π ∫ 。 6. 计算向量场r = xyz(i + j + k) 在点 M( , 1 3,2) 处的旋度，以及在这点沿 方向n = i + 2 j + 2k 的环量面密度。 解 由 rot x(z y) y(x z) z( y x) x y z xyz xyz xyz ∂∂∂ = = − + − + ∂ ∂ ∂ i j k r i j − k ， 可得 rot r (M ) = −i − 3j + 4k 。 向量场r = xyz(i + j + k)在点 M( , 1 3,2) 沿方向n的环量面密度为 ⋅ = Σ ∫ ∂Σ Σ→ r dr M m( ) 1 lim rot r (M ) 3 1 ⋅ = n n 。 7. 设 向量场， 为数量场，证明：（假设函数 和 具有必要的连续偏导数） a = ax i + ay j + azk f x( , y,z) a a x y , ,az f （1）div(rot a) = 0； （2）rot (grad f ) = 0； （3）grad(diva) − rot(rot a) = ∆a 。 证（1） rot z y y x x z a a a a a a y z z x x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ⎛ = − ⎜ ⎟ + − + ⎜ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎝ ∂ ∂ a i ⎞ ⎟ ⎠ j k 。 设ax , ay , az 二阶偏导数连续，则 3
aa,(a:aa(a,(oaxdaadardiv(rot a)=0。Ozaxayay(azaz( axaxdy~kjaaa(2) rot(grad f):0。ax02ayafafafax02ay（3）由adivaadivaadivagrad(diva):-1-j+Kaxdyazaa,a'aaaaaa'a.a'aTax2axdyaxozaxdyOy2Oyozaayoaxa'a:az2dyozaxoz以及da,da.da,a.da.daxrotaaxOzOzdyaxay(oaya'axaa.a'arrot(rot a)ay2axay0z2axoza'aa'a,(a'a.a'axa'ar_a'a_a'aoa,1ax?z2ayozaxay)axozax?ay2Oyoz得到grad(diva)-rot(rot a)= Aa,i+Aa,j+ Aa.k =Aa 。8.位于原点的点电荷q产生的静电场的电场强度为qE=(xi+i+zk)，其中r=x2+y2+2，为真空介电常数。4元80m求rotE。()()33=-0，解.4r43zx,3zx()-()=0r4+r4a33=0a(y%()axr4所以rotE=0,(x,y,z)+0。4
div(rot ) = 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = y a x a x z a z a z y a y a x z y x z y x a 。 （2）rot (grad f ) y z fff x y z ∂∂∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 x i j k 。 （3）由 k a j a i a a x y ∂z ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = div div div grad(div ) i j ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = y z a y a x y a x z a x y a x a z x y z x y 2 2 2 2 2 2 2 2 k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + 2 2 2 2 z a y z a x z a z x y ， 以及 a i j k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = y a x a x a z a z a y az y x z y x rot ， rot(rot a) = i ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ x z a z a y a x y a x x z y 2 2 2 2 2 2 j k ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + y z a y a x a x z a x y a x a z a y z a y x x z z y y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ， 得到 grad(diva) − rot(rot a) = ∆ax i + ∆ay j + ∆azk = ∆a 。 8. 位于原点的点电荷 q 产生的静电场的电场强度为 ( ) 4 3 0 E xi yj zk r q = + + πε ，其中r x = + y + z 2 2 2 ，ε 0为真空介电常数。 求rot E 。 解 0 3 3 3 3 4 4 ⎟ = − + = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ r yz r yz r y r z z y ， 3 3 x z z r x r ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 3 3 0 zx zx r r − + = ， 3 3 y x x r y r ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 4 3 3 0 xy xy r r − + = ， 所以 rot , E 0 = ≠ (x y, ,z) 0。 4
9.设a为常向量，r=xi+yi+zk，验证：(1) -(axr)=0;(2) Vx(axr)=2a;(3) -(r-r)a)=2r.aoaaaaxayaz证（1)-(axr)=axaya.Xy1(a,=-a.y) , a(ax-a=)+ o(axy-a,x)=0axayOzikjaaa(2)Vx(axr)=axOzaya,z-ayax-azay-a,x=2(ai+a,j+a,k)=2ao(ax)+a(a,y)+2(a:)=2r.a。V.(r·r)a)= (3)axdyOz10.求全微分(x2-2yz)dx+(y2-2xz)dy+(22-2xy)dz的原函数。解记 a=(x2-2yz)i+(y2-2xz)j+(=2_2xy)k，由于,--2y, --2-aa: =-2x3州zOzayaxaxoy所以向量场a=(x2-2yz)i+(y2-2xz)j+(=2-2xy)k是一个无旋场，其原函数为AE(x2-2yz)dx+(y-2xz)dy+(2-2xy)dz+CU(x,y,z)= [(0.0.0)I(x + y* +2)-2xy2+C 。J x2dx+f' y'dy+ fi(2 -2xy)dz =2x-yx+y11.证明向量场a=j（x>0)是有势场并求势函数。x2 + y2x? + y?证当x>0时，小()dx-yOvl x? + y?所以向量场a是有势场，其势函数为() (x-y)dx+(x+ y)dy +CV(x,y)=-U(x,y)=-[ox2 + y+dy+C=-arctan=-↓ln(r*+y")+C。Jox?+yx212.证明向量场a=(2x+y+2)yzi+(x+2y+2)zxj+(x+y+2z)xyk是有势场，5
9. 设a为常向量，r = xi + yj + zk ，验证： （1）∇ ⋅(a × r) = 0 ； （2）∇ × (a × r) = 2a ； （3）∇ ⋅((r ⋅r)a) = 2r ⋅ a 。 证（1） x y z a a a x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅(a × r) = 0 ( ) ( ) ( ) = ∂ ∂ − + ∂ ∂ − + ∂ ∂ − = z a y a x y a x a z x a z a y y z z x x y 。 （2） ( ) y z z x x y x y z a z a y a x a z a y a x ∂ ∂ ∂ ∇ × × = ∂ ∂ ∂ − − − i j k a r 2( ) x y z = + a a i j + a k = 2a 。 （3） 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (( ) ) 2 x y z a x a y a z x y z ∂ ∂ ∂ ∇ ⋅ ⋅ = + + = ⋅ ∂ ∂ ∂ r r a r a 。 10. 求全微分( ) x y 2 2 − + 2 2 z dx ( ) y − xz dy + (z 2 − 2xy)dz的原函数。 解 记 a ( 2 )i ( 2 ) j ( 2 )k ，由于 2 2 2 = x − yz + y − xz + z − xy y a z x a x a y z a z a x y az y x z y x ∂ ∂ = − = ∂ ∂ ∂ ∂ = − = ∂ ∂ ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 2 , 2 , 2 ， 所以向量场 是一个无旋场，其原函 数为 a ( 2 )i ( 2 ) j ( 2 )k 2 2 2 = x − yz + y − xz + z − xy ( , , ) 2 2 2 (0,0,0) ( , , ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) x y z U x y z = x − yz dx + y − + xz dy z − + xy dz C ∫ 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 ( 2 ) ( ) 2 3 x y z = + x dx y dy + z − xy dz = x + y + z − xyz C ∫ ∫ ∫ + 。 11.证明向量场 ( 0) 2 2 2 2 > + + + + − = x x y x y x y x y a i j 是有势场并求势函数。 证 当 x > 0时， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∂ ∂ = + − − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x xy x y x y y ( ) ， 所以向量场a是有势场，其势函数为 ( , ) 2 2 (1,0) ( ) ( ) ( , ) ( , ) x y x y dx x y dy V x y U x y C x y − + + = − = − + + ∫ 2 2 2 2 1 0 1 arctan ln( ) 2 x y dx x y y dy C x y C x x y x + = − − + = − − + + + ∫ ∫ 。 12.证明向量场a = (2x + y + z) yzi + (x + 2y + z)zxj + (x + y + 2z)xyk 是有势场， 5
并求出它的势函数。证设a=ai+a,j+a,k，则oa =? +2x(y+2)dayda,=aay2 +2y(x+z)ayOzOzaxa, =2 +2(x+ ) =daxaxdy所以向量场a是有势场。设原函数为U=U(x,y,2)，则dU=(2x+y+2)yzdx+(x+2y+z)zxdy+(x+y+2z)xydz= [yzdx? + x (zdy + ydz)]+[y(zdx + xdz)+ zxdy? ]+[=?(ydx + xdy) + xydz]=d(x2yz)+d(xy22)+d(xyz)= d[xyz(x+ y+z)],所以势函数为V(x, y,z)=-U(x, y,z)= -xyz(x+ y+z)+C o13.验证：（1）u=3-3x2为平面R2上的调和函数：(2）u=ln(x-a)2+(y-b)为R/((a,b))上的调和函数；1(3)u为R31(0,0,0))上的调和函数。x?+y?+2解（1）因为% =3y2 - 3x3 0a'uOu = -6xy,=6y,ax?Oy2axay所以a'u.a'u1=0ax?oy?即u=y3-3x2y为平面R2上的调和函数。（2）因为ououy-bx-aax"(x-a) +(y-b)y"(x-a)+(y-b)2"u (y-b)? -(x-a)?au(x-a)2-(y-b)2ax?[(x-a)? +(y-b)"2[(x-a)? +(y-b)?2ay?所以0'u+0'u=0,ax?ay?即u=ln/(x-a)?+(y-b)?为R2/((a,b)上的调和函数。(3）记r=/x2+y+2，则a"uou1 x1xxxr3ax?r3axr2rr4r6
并求出它的势函数。 证 设a = ax i + ay j + azk ，则 x a y y x z z a z a x x y z y az y x z ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ 2 ( ) , 2 ( ) 2 2 ， y a z z x y x ay x ∂ ∂ = + + = ∂ ∂ 2 ( ) 2 ， 所以向量场a是有势场。设原函数为U U= ( , x y,z)，则 dU = + (2x y + z) yzdx + (x + 2y + z)zxdy + (x + y + 2z)xydz [ ( )] [ ( ) ] 2 2 2 2 = yzdx + x zdy + ydz + y zdx + xdz + zxdy [ ( ) ] 2 2 + z ydx + xdy + xydz ( ) ( ) ( ) [ ( )] 2 2 2 = d x yz + d xy z + d xyz = d xyz x + y + z ， 所以势函数为 V ( , x y z, ) = −U ( , x y z, ) = −xyz(x + y + z) + C 。 13.验证： （1）u y = −3 3x 2 y 为平面 2 R 上的调和函数； （2） 2 2 u = ln (x − a) + ( y − b) 为R2 \ {(a,b)}上的调和函数； （3） 2 2 2 1 x y z u + + = 为R3 \ {(0,0,0)}上的调和函数。 解（1）因为 y y u y x u y x y u xy x u 6 , 3 3 , 6 , 6 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ ， 所以 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u ， 即u y = −3 3x 2 y 为平面 2 R 上的调和函数。 （2）因为 2 2 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) x a y b y b y u x a y b x a x u − + − − = ∂ ∂ − + − − = ∂ ∂ ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ] ( ) ( ) , [( ) ( ) ] ( ) ( ) x a y b x a y b y u x a y b y b x a x u − + − − − − = ∂ ∂ − + − − − − = ∂ ∂ ， 所以 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u ， 即 2 2 u = ln (x − a) + ( y − b) 为R2 \ {(a,b)}上的调和函数。 （3）记 2 2 2 r = x + y + z ，则 2 3 1 r x r x x r u = − = − ∂ ∂ ， 5 2 2 3 4 3 2 3 1 3 1 r x r r x r x x r u = − + = − + ∂ ∂ ， 6
a'uOu..+31y-y+3y33Oy?ay-rrrau1au12.Z1+33+3三230z2.3r3Ozr2rr4 r所以o'u.o'u.a"u*--号+32++=0,13ax20y2+0zr51即u=为R1((0,0,0)上的调和函数。Jx2 + y2 +2214.设u(x,y)在R2上具有二阶连续偏导数，证明u是调和函数的充要条件为：对于中任意光滑封闭曲线C，成立[uds=0，au为沿c的Conan外法线方向的方向导数。证必要性。设C是R?中任意光滑封闭曲线，由ou _ ou cos(n,x) +QuuOucos(n, y) = cOs(t,y)-cos(t,x),anaxOyaxoy其中n、t分别是曲线C上点(xy)处的单位外法向和单位切向，得到oudxou ds= ]ou dy--ayconox由green公式，得到uu[u ds = ]dxdy = 0 。Baxay2onu(xo, o)+u(x, ) 0,充分性。如果存在点M。(xo,Jo)，使得ax2ay2不妨设其大于零。由于u(x,y)具有二阶连续偏导数，所以存在s>0，使得在D=O(M。,)上，成立a"u+a"u>0,ax?* ay?于是uauouds =Jdxdy>0n"Oy2Bax2与条件矛盾，所以u是调和函数。15.设u=u(x,)与v=(x,y)都为平面上的调和函数。令F=u2+v。证明当p≥2时，在F+0的点成立△(FP)≥0 。证由OFP= P-= pFP-2(u +w)axF7
2 3 u 1 y y r r r ∂ = − = − ∂ y ， 2 2 2 3 4 3 1 1 3 3 u y y y r r r r r ∂ = − + = − + ∂ 5 y ， 2 3 u z 1 z r r r ∂ = − = − ∂ z ， 2 2 2 3 4 3 1 1 3 3 u z z z r r r r r ∂ = − + = − + ∂ 5 z 所以 3 0 3 5 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 = + + = − + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ r x y z z r u y u x u ， 即 2 2 2 1 x y z u + + = 为R3 \ {(0,0,0)}上的调和函数。 14.设u( , x y)在 2 R 上具有二阶连续偏导数，证明 是调和函数的充要条 件为：对于 u 2 R 中任意光滑封闭曲线C ，成立 = 0 ∂ ∂ ∫ C ds n u ， n u ∂ ∂ 为沿C 的 外法线方向的方向导数。 证 必要性。设C 是 2 R 中任意光滑封闭曲线，由 cos( , ) cos( , y) y u x x u u n n ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ n cos( , ) cos( , x) y u y x u τ τ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ， 其中n、τ分别是曲线C 上点(x, y)处的单位外法向和单位切向，得到 ∫ ∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ C C dx y u dy x u ds u n 。 由 green 公式，得到 ∫ ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ C D dxdy y u x u ds n u 2 2 2 2 = 0。 充分性。如果存在点M 0 (x0 , y0 ) ，使得 0 ( , ) ( , ) 2 0 0 2 2 0 0 2 ≠ ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x y x u x y ， 不妨设其大于零。由于u( , x y)具有二阶连续偏导数，所以存在δ > 0， 使得在 ( , ) D = O M0 δ 上，成立 2 2 2 2 y u x u ∂ ∂ + ∂ ∂ > 0， 于是 ∫ ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ C D dxdy y u x u ds n u 2 2 2 2 > 0， 与条件矛盾，所以u是调和函数。 15.设u u = ( , x y)与v v = ( , x y)都为平面上的调和函数。令 2 2 F = u + v 。证 明当 p ≥ 2时，在 F ≠ 0的点成立 ∆( ) F p ≥ 0。 证 由 ( ) 1 2 x x p x x p p pF uu vv F uu vv pF x F = + + = ∂ ∂ − − 7
和aFP= pFp-I uu, + w,pFp-2(uu,+)ayF得到?(FP)= p(p-2)F p-4(uux +r) + pFP-2(u +v + uux +wxx)ax2和?(FP)=p(-2)FP-4(uu, +,)2 + pFP-2(u, +v +uuy+V),ay2所以A(FP) =p(p-2)Fp-4[(uux +x) +(uu, +v,)]+ pFp-2(u2 +v? +u, +v)≥0 。16.设B=(x,y,2)/x2+y2+21)，F(x,,2)：R→R为具有连续导数的向量值函数，且满足Fl=(0,0,0)，V.Fl,=0。证明：对于任何R上具有连续偏导数的函数g(x,J,2)成立JJVg ·Fdxdydz= 0 。证由V·(gF)=Vg·F+gV·F及Gauss公式，得到[[/Vg -Fdxdydz = [|/v-(gF)dxdydz - [[[ g-FdxdydzBgF.ds-[[gV.Fdxdydz = 0,最后一个等式利用了条件F=(0,0,0)，V·Fl=0。17.设D=((x,y)eR2[x2+y2<1)，u(x,y)在D上具有连续二阶偏导数。进一步，设u在D上不恒等于零，但在D的边界aD上恒为零，且在D上成立au.au=Au（为常数）。ax2oy?证明J lgradul dxdy + aJJu2 dxdy = 0 。0D证由green公式QuouauuOOudx+udxdy一-10dy14ar2axoyavOxayanouOu由于在aD上u(x,J)恒为零，所以「-dy=0，另一方面，在DdxaxayaD8
和 1 2 ( ) p p p y y y y F uu vv pF pF uu y F − − ∂ + = = ∂ + vv ， 得到 ( 2) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 2 x x xx xx p x x p p p p F uu vv pF u v uu vv x F = − + + + + + ∂ ∂ − − 和 ( 2) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 2 y y yy yy p y y p p p p F uu vv pF u v uu vv y F = − + + + + + ∂ ∂ − − ， 所以 ∆( ) = p F p( p − 2)F p−4 [(uux + vvx ) 2 + (uuy + vvy ) 2 ] + pF p−2 (ux 2 + vx 2 + u 2 y + v 2 y ) ≥ 0。 16.设 ， ： 为具有连续导数的 向量值函数，且满足 {( , , ) | 1} 2 2 2 B = x y z x + y + z ≤ F(x, y,z) 3 3 R → R ≡ (0,0,0) ∂B F ，∇ ⋅ ≡ 0 B F 。 证明：对于任何 3 R 上具有连续偏导数的函数 g(x, y,z)成立 ∇ ⋅ = 0 ∫∫∫ g dxdydz B F 。 证 由∇ ⋅(gF) = ∇g ⋅F + g∇ ⋅F 及 Gauss 公式，得到 ∇ ⋅ = ∫∫∫ g dxdydz B F ∇ ⋅ − ∫∫∫ g dxdydz B ( F) g dxdydz ∫∫∫ ∇ ⋅ B F = g ⋅ dS ∫∫ ∂B F g dxdydz ∫∫∫ − ∇ ⋅ B F = 0， 最后一个等式利用了条件 ≡ (0,0,0) ∂B F ，∇ ⋅ ≡ 0 B F 。 17.设D ={(x, y) ∈ R2 | x 2 + y 2 < 1}，u(x, y)在D上具有连续二阶偏导数。进 一步，设u在D上不恒等于零，但在D的边界∂D上恒为零，且在 上成立 D u y u x u = λ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 （λ 为常数）。 证明 grad 0 2 2 ∫∫ + ∫∫ = D D u dxdy λ u dxdy 。 证 由 green 公式， D u u u dx u dy y x ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∫ dxdy y u x u u y u x u D ∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 。 由于在∂D上u(x, y)恒为零，所以 D u u u dx u dy y x ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∫ = 0，另一方面，在D 8
a'ua'u上成立=u，所以ax2oy2[ou2+ou2+udxdy=0axDL即[Jlgrad ul dxdy + a[ u dxdy = 0 。118.设区域2由分片光滑封闭曲面2所围成，u(xy=)在豆上具有二阶连续偏导数，且在豆上调和，即满足+=00x2+0y2+0z?（1）证明u ds =0,Jan其中n为的单位外法向量；（2）设(x。Jo,=。)eQ为一定点，证明cos(r,n)1ouu(xo, yo,zo) =Ar2r on4元其中r=(x-x,-yo,z-z),rr。证（1）设n=(cosα,cosβ,cos)，由方向导数的计算公式及Gauss公式，得到OuOuffrouOuds=cosβ+cosr)dscosα+JanayQzaxJieutouta'u)dxdydz=0。a22Qy2Ox2Our.n=(gradu)·n，于是(2）由于cos(r,n)=onr1 ou1cos(r,n)[[ Pdydz +Odzdx + Rdxdy,ds=r2r on4元4元(y- yo)u+r?uy(z-zo)u+ru其中 p=(x-xo)u+ruxR-r3r3r3经计算得到-3(x-x0)2ap_uuxr5axrr(y-yo)?aQUyuu+r5dy9
上成立 u y u x u = λ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 ，所以 ( ) ( ) 0 2 2 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∫∫ u dxdy y u x u D λ ， 即 grad 0 2 2 ∫∫ + ∫∫ = D D u dxdy λ u dxdy 。 18.设区域Ω 由分片光滑封闭曲面Σ 所围成，u(x, y,z) 在Ω 上具有二阶 连续偏导数，且在Ω上调和，即满足 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u 。 （1）证明 = 0 ∂ ∂ ∫∫ Σ dS n u ， 其中n为Σ 的单位外法向量； （2）设(x0 , y0 ,z0 ) ∈Ω 为一定点，证明 ∫∫ Σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + dS n u r r u x y z u cos( , ) 1 4 1 ( , , ) 0 0 0 2 r n π ， 其中 ( , , ) 0 0 0 r = x − x y − y z − z ，r =| r |。 证（1）设n = (cosα, cos β, cos γ ) ，由方向导数的计算公式及 Gauss 公式， 得到 ∫∫ ∫∫ Σ Σ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ dS z u y u x u dS n u ( cosα cos β cosγ ) ( ) 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫∫∫ Ω dxdydz z u y u x u 。 （2）由于 r r ⋅ n cos(r,n) = ， = ⋅ n ∂ ∂ (gradu) n u ，于是 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∫∫ + Σ dS n u r r u cos( , ) 1 4 1 2 r n π ∫∫ Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 4π 1 ， 其中 3 2 0 ( ) r x x u r u P − + x = ， 3 2 0 ( ) r y y u r u Q − + y = ， 3 2 0 ( ) r z z u r u R − + z = 。 经计算得到 r u u r x x r u x P xx + − = − ∂ ∂ 5 2 0 3 ( ) 3 ， r u u r y y r u y Q yy + − = − ∂ ∂ 5 2 0 3 ( ) 3 ， 9
aRu(2-20)u4+r5Ozr3所以OP+OR=0。axayz现在取一个以(xo,o,=。)为中心，8>0为半径的球面S，使得S。CQ，并设n为S。的单位外法向量，然后在≥与S.所围的区域Q'上应用Gauss公式，得到. cos(r,n), 1 ou)1ap00.OR1.JIrds)dxdydz=0,ur2Oz4元≤+=s）rn4元axay从而cos(r,n) , 1 ou)cos(r,n)10u1dsds14Pron4元ron47S.注意r=8 为常数, cos(r,)=1与 Jr%dS=0, 则Sgancos(r,n), 1 ou11ds =u(x,y,z)ds?4元824元ronS利用积分中值定理并令→0，即得1cos(r,n)1ou)dsu(xo,yo,zo)=1412ron4元10
r u u r z z r u z R zz + − = − ∂ ∂ 5 2 0 3 ( ) 3 ， 所以 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z R y Q x P 。 现在取一个以(x0 , y0 ,z0 )为中心，δ > 0为半径的球面S0，使得 S0 ⊂ Ω，并设n 为S0的单位外法向量，然后在Σ 与 所围的区域 上 应用 Gauss 公式，得到 S0 Ω′ 0 2 ( ) 1 cos( , ) 1 1 ( ) 4 4 S u P Q R u dS dx π π r r n x y z Σ+ − Ω′ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜ ⎟ + = + + ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∫∫∫ r n dydz = 0， 从而 2 1 cos( , ) 1 4 u u dS π r r n Σ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∂ ∫∫ r n 0 2 1 cos( , ) 1 4 S u u d π r r n ⎛ ⎞ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∫∫ r n S 。 注意r = δ 为常数，cos(r n, ) =1与 0 0 = ∂ ∂ ∫∫ dS n u S ，则 2 1 cos( , ) 1 4 u u dS π r r n Σ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∂ ∫∫ r n ∫∫ = 0 ( , , ) 4 1 2 S u x y z dS πδ ， 利用积分中值定理并令δ → 0，即得 ∫∫ Σ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + dS n u r r u x y z u cos( , ) 1 4 1 ( , , ) 0 0 0 2 r n π 。 10