习题12.6无条件极值讨论下列函数的极值：1.(1)f(x,J)=x4 +2y4-2x2-12y2 +6;(2) f(x,y)=x4 +y4-x? -2xy- y :(3) f(x,y,2)= x2 + y2 -22;(4) f(x,y)=(y-x)(y-x);(5）(c)=y++，其中常数a>0.b>0;x"y(6) (x,y,2)=x++三+2(x,y,z>0 )。xyz解（1）先求驻点。由[f =4x3-4x=0[U,=8y -24y=0解得x=0,±1; y=0,±V3,即函数有9个驻点。再由=4(3x2-1)，f，=0，J,=24(y2-1)，可知H = 96(3x2 -1)(y2 -1) 。应用定理12.6.2。驻点(0.0)，(1.V3)，(1-V3)，(-1V3)，(-1-V3)满足H>0，所以是极值点，而其余驻点不是极值点。再根据F的符号，可知函数在(0,0)点取极大值6；在(1,V3)，(1-V3)，(-1,V3)，(-1,-V3)四点取极小值-13。注本题可使用配方法得到f(x, y) =(x2 -1)2 + 2(y2 - 3)2 -13 ,由此易知(1,V3)，(1,-V3)，(-1,V3)，(-1,-V3)四点为函数的最小值点，最小值为-13，函数无最大值，（0.0)点为函数的极大值点，极大值为6。（2）先求驻点。由145
习题 12.6 无条件极值 1． 讨论下列函数的极值： （1） f (x, y) = x 4 + 2y 4 − 2x 2 −12y 2 + 6； （2） f (x, y) = x 4 + y 4 − x 2 − 2xy − y 2 ； （3） f (x, y,z) = x 2 + y 2 − z 2 ； （4） f (x, y) = ( y − x 2 )( y − x 4 )； （5） y b x a f x y xy 3 3 ( , ) = + + ，其中常数a > 0, b > 0； （6） y z z x y f x y z x 2 ( , , ) = + + + （ x, y,z > 0）。 解 (1) 先求驻点。由 3 3 4 4 0 8 24 x y f x x f y y ⎧⎪ = − = ⎨ ⎪ = − = ⎩ 0 ， 解得 x y = ± 0, 1; = ± 0, 3 ， 即函数有 9 个驻点。再由 2 4(3 1) xx f = x − ， 0 xy f = ， 2 24( 1) yy f = y − ，可知 2 2 H x = − 96(3 1)( y −1)。 应用定理 12.6.2。驻点(0,0) ，(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)满 足H > 0，所以是极值点，而其余驻点不是极值点。再根据 xx f 的符号， 可知函数在(0,0) 点取极大值6；在(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)四 点取极小值−13。 注 本题可使用配方法得到 2 2 2 2 f x( , y) = − (x 1) + 2( y − 3) −13， 由此易知(1, 3)，(1,− 3)，(−1, 3)，(−1,− 3)四点为函数的最小值点， 最小值为−13，函数无最大值，(0,0) 点为函数的极大值点，极大值为6。 （2）先求驻点。由 145
[f,=4x -2x-2y=0[U,=4y3-2x-2y=0两式相减，可解得x=y=0,±1，即驻点为(0,0)，(1,1)，（-1,-1)三点。再由fx=12x2-2，J,=-2，J,=12y2-2，可知H = 4(6x2 -1)(6y2 -1)-4 。应用定理12.6.2。驻点(1,1)，(-1,-1)满足H>0，所以是极值点，再根据f的符号，可知函数在(1,1)，(-1,-1)两点取极小值-2。在(0,0)点，有H=0，且f(0,0)=0。由于f(x,x)=2x(x2-2)，f(x,-x)=2x，可知函数在(0,0)点附近变号，所以(0,0)不是极值点。（3）先求驻点。由[f =2x= 0f,=2y=0,[J.=-22=0解得(0,0,0)是唯一的驻点。由f(0,0,0)=0，f(x,y,0)=x+y2，f(0,0,2)=-22，可知函数在(0,0,0)点附近变号，即(0,0,0)不是极值点，所以函数无极值点。注对于二次多项式f(x)，xeR"，它的Hesse矩阵H是常数矩阵，我们有如下结论：设x为f(x)的驻点，则由f(x)-f(x)=(x-xo)）H(x-x)可知（a）f(x)为最小值的充分必要条件是H为半正定矩阵；（b）f(x)为最大值的充分必要条件是H为半负定矩阵；（c）f(x）不是极值的充分必要条件是H为不定矩阵。本题由于函数f(x,y,2)的Hesse矩阵为不定矩阵，所以(0,0,0)不是f(x,y,z)的极值点。146
3 3 4 2 2 4 2 2 x y f x x y f y x y ⎧⎪ = − − = ⎨ ⎪ = − − = ⎩ 0 0 ， 两式相减，可解得 x y = = 0,±1，即驻点为(0,0) ，(1,1)，(−1,−1)三点。再 由 f xx = − 12x 2 2， f xy = −2， 2 12 2 yy f = y − ，可知 2 2 H x = − 4(6 1)(6y −1) − 4。 应用定理 12.6.2。驻点(1,1)，(−1,−1)满足 ，所以是极值点，再 根据 H > 0 xx f 的符号，可知函数在(1,1)，(−1,−1)两点取极小值−2。 在 (0,0) 点，有 H = 0 ， 且 f (0,0) = 0 。由于 f x( , x) = − 2x 2 2 (x 2) ， 4 f ( , x x − =) 2x ，可知函数在(0,0) 点附近变号，所以(0,0) 不是极值点。 （3）先求驻点。由 2 0 2 0 2 0 x y z f x f y f z ⎧ = = ⎪ ⎨ = = ⎪ ⎩ = − = ， 解 得 (0,0,0) 是唯一的驻点。由 f (0,0,0) = 0 ， 2 ( , ,0) 2 f x y = + x y ， 2 f (0,0,z) = −z 0 ) ，可知函数在 点附近变号，即( 不是极值点， 所以函数无极值点。 (0,0,0) 0,0,0) 注 对于二次多项式 ， ，它的 Hesse 矩阵 H 是常数矩 阵，我们有如下结论： f (x) n x ∈ R 设 x0为 f (x)的驻点，则由 f f (x) − = (x0 0 ) ( ) x x − T H (x x − 可知 （a） f (x0 )为最小值的充分必要条件是 H 为半正定矩阵； （b） f (x0 )为最大值的充分必要条件是 H 为半负定矩阵； （c） f (x0 )不是极值的充分必要条件是 H 为不定矩阵。 本题由于函数 的 Hesse 矩阵为不定矩阵，所以 不是 的极值点。 f x( , y,z) (0,0,0) f x( , y,z) 146
（4）先求驻点。由[f, = 2x(3x4 -2yx2 - J) = 0J, =2y-x2-x=0+1￥3即驻点为(0,0)，(1,1)，(-1,1)，解得x=y=0;x=±l,y=l;x=±V8五点。再由J=30x*-12yz-2y，J,=-2x-4x，和(-2828Jg=2，可知H = 2(30x4-12yx2-2y) -(2x+4x3)2。应用定理12.6.2。驻点(号3),(-.)满足H>0，所以是极值点，，（2828再根据的符号，可知函数在(，（)取极小值-六642828在(1,1)，(-1,1)点H0，再根据.的符号，147
（4）先求驻点。由 4 2 2 4 2 (3 2 ) 0 2 0 x y f x x yx y f y x x ⎧⎪ = − − ⎨ ⎪ = − − = ⎩ = ， 解得 x y = = 0 ; x = ± = 1, y 1 ; 1 , 2 8 x = ± y = 3 ，即驻点为(0,0) ，(1,1)，( 1− ,1) ， ) 8 3 , 2 2 ( 和 ) 8 3 , 2 2 (− 五点。再由 4 2 30 12 2 xx f x = − yx − y ， 3 2 4 xy f = − x − x ， f yy = 2，可知 4 2 H x 2(30 12yx 2y) 3 2 = − − − + (2x 4x ) 。 应用定理 12.6.2。驻点 ) 8 3 , 2 2 ( ， ) 8 3 , 2 2 (− 满足 ，所以是极值点， 再根据 H > 0 xx f 的符号，可知函数在 ) 8 3 , 2 2 ( ， ) 8 3 , 2 2 (− 取极小值 1 64 − 。 在(1,1)，( 1− ,1) 点H 0，再根据 xx f 的符号， 147
b?q2-可知函数在）点取极小值3ab。bq（6）先求驻点。由=0f =x2=0,yx12=0厂2[2,2,2]。由于函数在[2,2,2)解得唯一的驻点|点的Hesse矩阵2元011-22-2-1是正定的，所以函数在(2422,24)取极小值4.24272-102.设f(x,y,2)=x2+3y2+2z2-2xy+2xz，证明函数f的最小值为0。证先求驻点。由f,=2x-2y+2z=0f,=6y-2x=0(J.=4z+2x=0-22是解得唯一驻点(0.0.0)，由于函数在(0.0.0)点的Hesse矩阵60024正定的，所以函数在(0,0,0)点取极小值f(0,0,0)=0。注本题可使用配方法得到1:(x-2y)2 +(x+22)2 +f(x,y,2)=n由此可知函数在(0,0,0)点取最小值f(0,0,0)=0。3.证明函数f(x,y)=(1+e")cosx-ye有无穷多个极大值点，但无极小值点。证由[f(x,y)=-(1+e'")sinx=0f,(x,y)=e"cosx-(1+y)e"=0"148
可知函数在( , ) 2 2 a b b a 点取极小值3ab。 （6）先求驻点。由 2 2 2 1 0 1 0 1 2 0 x y z y f x z f x y f y z ⎧ ⎪ = − = ⎪ ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎪ ⎪ = − = ⎩ ， 解得唯一的驻点 1 1 3 4 2 4 2 ,2 ,2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟ 。由于函数在 1 1 3 4 2 4 2 ,2 ,2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 点的 Hesse 矩阵 3 1 4 2 1 1 2 4 1 1 1 4 2 2 0 2 2 2 0 2 2 − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ − ⎟是正定的，所以函数在(2 ,2 ,2 ) 4 3 2 1 4 1 取极小值 1 4 4 2⋅ 。 2．设 f (x, y,z) = x 2 + 3y 2 + 2z 2 − 2xy + 2xz，证明函数 f 的最小值为0。 证 先求驻点。由 2 220 6 2 0 4 2 0 x y z f x y z f y x f z x ⎧ =−+ = ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎩ = + = ， 解得唯一驻点 ，由于函数在( 点的 Hesse 矩阵 是 正定的，所以函数在 点取极小值 (0,0,0) 0,0,0) 2 2 2 2 6 0 2 0 4 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (0,0,0) f (0,0,0) = 0。 注 本题可使用配方法得到 1 1 2 2 ( , , ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 1 2 2 f x y z = −x y + x + z + y ， 由此可知函数在(0,0,0)点取最小值 f (0,0,0) = 0。 3. 证明函数 有无穷多个极大值点，但无极小值 点。 y y f (x, y) = (1+ e )cos x − y e 证 由 ( , ) (1 e )sin 0 ( , ) e cos (1 ) e 0 y x y y y f x y x f x y x y ⎧⎪ = − + = ⎨ ⎪ = − + = ⎩ ， 148
解得x=k元，y=cosk元-1，所以驻点为(k元,cosk元-1)，k=0,±1,±2,...。由fa=-(1+e")cosx，J,=-e'sinx，J,=e'cosx-(2+y)e'，可知在驻点（k元，cosk元-1)处，H = cos kπ(l+e')e",所以当k为奇数时H0，再由f.0，根据闭区域上连续33″2函数的性质，可知函数的最大值为-，最小值为=0。25.在[0,1]上用怎样的直线=ax+b来代替曲线y=x2，才能使它在平方误差的积分J(a,b) = [(y-) dx为极小意义下的最佳近似。解 J(a,b)=I'(cx2-ax-b)d=1-号+(a2 -2b)+ab+b523(2是a,b的二次多项式，它的Hesse矩阵3是正定的，所以有最小(12)值（见第1题（3）的注）。对参数a,b求导，149
解得 x k = π , y = cos kπ −1，所以驻点为 ( , kπ cos kπ −1) ，k = 0,± ± 1, 2,"。 由 f xx = −(1+ ey ) cos x， sin y xy f = −e x， e cos (2 ) e y y yy f = −x + y ，可知在 驻点( , kπ cos kπ −1) 处， cos (1 ) y y H k = π + e e ， 所以当 k 为奇数时H 0，再由 0 xx f 0，根据闭区域上连续 函数的性质，可知函数的最大值为 2 3 3 fmax = ，最小值为 fmin = 0。 5．在[0,1]上用怎样的直线ξ = ax + b 来代替曲线 ，才能使它在平 方误差的积分 2 y = x ∫ = − 1 0 2 J (a,b) ( y ξ) dx 为极小意义下的最佳近似。 解 1 2 2 0 J a( ,b) = − (x ax −b) dx ∫ 1 1 2 2 ( 2 ) 523 a = − + a b − + ab + b 是a,b的二次多项式，它的 Hesse 矩阵 2 1 3 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ 是正定的，所以有最小 值（见第 1 题（3）的注）。对参数a,b求导， 149
2+b=0J-a.231J=a+2b-≤03得到a=1,b=-}，即(1,-是唯一的驻点，所以必定是最小值点。因66此最佳直线为5=x-。66．在半径为R的圆上，求内接三角形的面积最大者。解设圆内接三角形的各边所对的圆心角为α,α2,α，则三角形的面积为R2R2S=sinα,+sinα,+sina-[sina,+sin-sin(,+,]22=α,时面积最大，这时圆内接三角形为正三角由第4题知α=α,33ER2。形，Smax =47．要做一圆柱形帐幕，并给它加一个圆锥形的顶。问：在体积为定值时，圆柱的半径R，高H，及圆锥的高h满足什么关系时，所用的布料最省？Rh，得到H=_1h解由帐幕的体积V=元R?H+h，于是帐幕的元R23表面积为S=2元RH+#RVR+-_2元Rh+RVR+。R3对R与h求偏导数，得到as2元R元Rh-0ah3R?+h?元R2as2V2元h+元R?+hOORR23VR?+h?V5V5再将R：由第一个方程，得到Rh与V=元RH+-二元R2h代入第h.223150
2 1 0 3 2 2 2 0 3 a b J a b J a b ⎧ = − + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + − = ⎪⎩ ， 得到 1 1, 6 a b = = − ，即 1 1, 6 ⎛ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟是唯一的驻点，所以必定是最小值点。因 此最佳直线为 6 1 ξ = x − 。 6．在半径为R 的圆上，求内接三角形的面积最大者。 解 设圆内接三角形的各边所对的圆心角为 1 2 3 α , , α α ，则三角形的面 积为 2 2 1 2 3 1 2 1 [sin sin sin ] [sin sin sin( )] 2 2 R R S = + α α α + = α + α − α +α 2 ， 由第 4 题知 1 2 2 3 3 π α =α = =α 时面积最大，这时圆内接三角形为正三角 形， 2 max 4 3 3 S = R 。 7．要做一圆柱形帐幕，并给它加一个圆锥形的顶。问：在体积为定 值时，圆柱的半径R ，高H ，及圆锥的高 满足什么关系时，所用的 布料最省？ h 解 由帐幕的体积 2 1 3 V R = + π H π R2 h ，得到 2 1 3 V H h π R = − ，于是帐幕的 表面积为 2 2 2 2 2 2 3 V Rh S RH R R h R R h2 R π = + π π + = − +π + 。 对R 与h求偏导数，得到 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 2 2 0 3 S R Rh h R h S V h R R h R R R h π π π π π ⎧∂ = − + = ⎪ ⎪ ∂ + ⎨ ∂⎪ = − − + + + = ⎩ ⎪∂ + 。 由第一个方程，得到 5 2 R = h，再将 5 2 R = h与 2 1 3 V R = + π H π R2 h代入第 150
h，所以当=-时，布料最省。二个方程，得到H=！151228.求由方程x2+2xy+2y2=1所确定的隐函数y=(x)的极值。解由y=-*=0,x+2y得到x+y=0，再代入x2+2xy+2y2=1得到,2=1，由此可知隐函数y=y(x)的驻点为x=±1，且当x=±1时有y=l。由于在驻点有J"=-*+(*+)(1+2y)=-x+2y(x+2y)y根据y"(+l)的符号可知y=y(x)在x=-1取极大值1,在x=1取极小值-1。注本题也可由x2 +2xy+2y2 =(x+y)*+y2 =1,得到-1≤y≤1，由此可知y=y(a)在x=-1取极大值1，在x=1取极小值-1。9.求由方程2x2+2y2+z2+8yz-z+8=0所确定的隐函数z=2(x,J)的极值。解由4xOz0ax1-2z-8y0=_ 4(y+22))=0[Qy1-22-8y得到x=0与y+2z=0，再代入2x2+2y2+22+8yz-z+8=0，得到8722+z-8=0即z=1-由此可知隐函数z=z(x,y)的驻点为(0,-2)与16.(O,151
二个方程，得到 1 2 H = h，所以当 5 1 2 R H h = = 时，布料最省。 8．求由方程 x 2 + 2xy + 2y 2 = 1所确定的隐函数 y = y(x)的极值。 解 由 0 2 ' = + + = − x y x y y , 得到 x + y = 0 , 再代入 x 2 + 2xy + 2y 2 = 1得到 y 2 = 1，由此可知隐函数 y = y(x)的驻点为 x = ±1，且当 x = ±1时有 y = ∓1。 由于在驻点有 2 1 ' ( ) 1 '' (1 2 ') 2 ( 2 ) y x y y y x y x y y + + = − + + = − + + ， 根据 y"(±1)的符号可知 y = y(x)在 x = −1取极大值1，在 x =1取极小值−1。 注 本题也可由 2 2 2 x x + + 2 2 y y = (x + y) + y =2 1 1 ， 得到− ≤1 y ≤ ，由此可知 y = y(x)在 x = −1取极大值1，在 取极小值 。 x =1 −1 9．求由方程 所确定的隐函数 的极 值。 2 2 8 8 0 2 2 2 x + y + z + yz − z + = z = z(x, y) 解 由 4 0 1 2 8 4( 2 ) 0 1 2 8 z x x z y z y z y z y ⎧∂ = = ⎪ ⎪∂ − − ⎨∂ + ⎪ = = ⎪⎩∂ − − , 得到 x = 0与 y + 2z = 0 , 再代入2x 2 + 2y 2 + z 2 + 8yz − z + 8 = 0，得到 7 8 0 2 z + z − = 即 8 1, 7 z = − 。由此可知隐函数 z z = ( , x y)的驻点为(0,−2) 与 16 (0, ) 7 。 151
由8248==0,4azax2"1-2z-8v-1-22-8yaxoyOy2可知在驻点(0,-2)与(0.1)有 H>0 。==元>0,在(0,-2)点，z=1，因此所以(0,-2)为极小值点，ax?158=-<0，所以(0.号极小值为=1；在(0.1)点，==16为因此ax?15111极大值点，极大值为=-%，注1原方程可以改写为2x +2(y+2z)* =(z -1)(7z +8) ,由左边非负可得(-1)(72+8)≥0，即=≤-号或者≥≥1。注2在三维空间中，方程的图像是双叶双曲面，由两个不相连的部分组成。其中之一开口向上，最小值≥=1，另一个开口向下，最大值=-810.在0xy平面上求一点，使它到三直线x=0，y=0，和x+2y-16=0的距离的平方和最小。解平面上点（x.")到三直线的距离平方和为D(x, )= x +y*+(++2y-16) 。5对x,y求偏导数，D,=2x+(x+2y-16)=054D, =2y+=(x+2y-16)=0,816所以函数只有一个驻点(%1)得到x=SJ555152
由 2 2 4 1 2 8 z x z y ∂ = ∂ − − ， 2 0 z x y ∂ = ∂ ∂ ， 2 2 4 1 2 8 z y z ∂ = ∂ − − y ， 可知在驻点(0,−2) 与 16 (0, ) 7 有H > 0。 在(0,−2) 点， z =1，因此 2 2 4 0 15 z x ∂ = > ∂ ，所以(0,−2) 为极小值点， 极小值为 z =1；在 16 (0, ) 7 点， 8 7 z = − ，因此 2 2 4 0 15 z x ∂ = − < ∂ ，所以 16 (0, ) 7 为 极大值点，极大值为 8 7 z = − 。 注 1 原方程可以改写为 2 2 2 2 x y + + ( 2z) = (z −1)(7z + 8) ， 由左边非负可得( 1 z z − + )(7 8) ≥ 0，即 8 7 z ≤ − 或者 z ≥1。 注 2 在三维空间中，方程的图像是双叶双曲面，由两个不相连 的部分组成。其中之一开口向上，最小值 z =1，另一个开口向下，最 大值 8 7 z = − 。 10．在Oxy平面上求一点，使它到三直线 x = 0，y = 0，和 的距离的平方和最小。 x + 2y −16 = 0 解 平面上点( , x y)到三直线的距离平方和为 2 2 2 16 ( , ) ( ) 5 x y D x yxy + − 2 = + + 。 对x, y求偏导数， 2 2 ( 2 16) 5 4 2 ( 2 16) 0, 5 x y D x x y D y x y ⎧ = + + − = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + + − = ⎪⎩ 0, ， 得到 8 1 , 5 5 x y = = 6 ，所以函数只有一个驻点 8 16 ( , ) 5 5 。 152
由于lim D(x,y)= +o0,(x,y)-8166)有最小值。可知函数D(x,y)在驻点(5′511．证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小。证设圆半径为1，外切三角形的两个顶角为2α与2β，则三角形的面积为S = cota +cot β+cot(=-α-β)=cotα+cotβ+tan(α+β)。2由as=-cscα+sec(α+β)=0,aaas=-cscβ+sec(α+β)=0,aβ得到α=β=-α-β，所以2α=β_6即外切正三角形的面积为最小。12.证明：圆的所有内接n边形中，以正n边形的面积为最大。证设圆半径为1，圆内接n边形的各边所对的圆心角为αk(k=1,2,.,n)，则n边形的面积为S=[sin + in +sin.- -ia + .+ ,) ..由as1-[cosα,-cos(α, +α, +...+α.-)]=0,(k=1,2,...,n-l),dak推出α, =α, =...=α-—=2元-(α, +α, +.+α,-),所以153
由于 |( , )| lim ( , ) x y D x y →∞ = +∞， 可知函数D x( , y)在驻点 8 16 ( , ) 5 5 有最小值。 11．证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小。 证 设圆半径为1，外切三角形的两个顶角为2α 与2β ，则三角形的面 积为 cot cot cot( ) cot cot tan( ) 2 S π = + α β α + − − β = α + β + α + β 。 由 2 2 2 2 csc sec ( ) 0, csc sec ( ) 0, S S α α β α β α β β ⎧ ∂ = − + + = ⎪ ⎪∂ ⎨ ∂ ⎪ = − + + = ⎪⎩∂ ， 得到 2 π α = = β −α − β ，所以 6 π α = β = ， 即外切正三角形的面积为最小。 12．证明：圆的所有内接n边形中，以正n边形的面积为最大。 证 设圆半径为 1 ，圆内接 n 边形的各边所对的圆心 角 为 α k (k = 1,2,", n)，则n边形的面积为 [sin sin sin sin( )] 2 1 S = α1 + α 2 +"+ α n−1 − α1 +α 2 +"+α n−1 。 由 1 1 2 1 1 [cos cos( )] 0 2 n k S α α α α α − ∂ = − + + + ∂ " = ，(k = 1,2,", n −1)， 推出 1 2 1 1 2 1 2 ( n n α α α π α α α ) = =" " = − = − + + + − ， 所以 153
2元(k =1,2,.",n),α:n即内接正n边形的面积为最大。13.证明：当00，于是p(x)严格单调增加。再由limp(x)=e-，得到f(x,y)≤p(x)β>0)。(3-ox-βy)x和(4-βx-2oy)y求使产鱼总量最大的放养数。解鱼总产量为P=(3-αx-βy)x+(4-βx-2αy)y=-αx2-2βxy-2αy2+3x+4y。对x,y求偏导数，[P=-2αx-2βy+3=0,P,=-2βx-4αy+4=0"解得154
2 k n π α = ，( 1 k n = , 2,", ) ， 即内接正n边形的面积为最大。 13．证明：当0 0 ，于是ϕ(x) 严格单调 增加。再由 1 1 lim ( ) x ϕ x e− → − = ，得到 1 f ( , x y) ϕ(x) e− ≤ β > 0 ）。 求使产鱼总量最大的放养数。 解 鱼总产量为 2 2 P x = (3−α β − y)x + (4 − β x − 2α y) y = −αx −−+ 2β xy 2α y 3x + 4y 。 0, 0, 对x, y求偏导数， 2 2 3 2 4 4 x y P x y P x y α β β α ⎧⎪ = − − + = ⎨ ⎪ = − − + = ⎩ ， 解得 154