习题11.3连续函数的性质1.设DcR"，f:D→R"为连续映射。如果D中的点列(x)满足limx,=a，且aeD，证明lim f(x)= f(a) 。证由f在a连续，>0,38>0xx-)，成立If(x)-f(a)ks。又由于limx=a，对于上述s>0，存在K，当k>K时成立Ix-aks,于是当k>K时成立Lf(x)-f(a)ke。所以lim f(x)= f(a) 。2.设f是R”上的连续函数，c为实数。设A,=(xeR"If(x)0，则S>0,Vx(Ix-x。k)，成立If(x)-f(x)ke=c-f(x),即有f(x)cf=(xeR"I-f(x)<-c)为R”上的开集，所以B.为R”上的闭集。3.设二元函数1f(x,y)=(x,y) e D =[0,1)x[0,1) ,1- xy证明：f在D上连续，但不一致连续。证由于f在D上是初等函数，所以连续。但因为当n→+o时，1111(1-115?02n2n7n而11f(1f(l2n2nn91
习 题 11.3 连续函数的性质 1． 设D⊂ n R ， 为连续映射。如果D中的点列{x m f : D → R k}满足 x = a，且 D，证明 →∞ k k lim a∈ lim f (x ) = f (a) →∞ k k 。 证 由f 在a连续，∀ > ε 0,∃δ δ > 0,∀x x (| − a | 0，存在K ，当k > K 时成立 | | k x a − K 时成立 | ( ) ( ) | k f x − f a 0，则∃ > δ 0， 0 ∀ − x x (| x | c f = x ∈ R − x < −c 为 n R 上的开集，所以Bc为 n R 上的闭集。 3． 设二元函数 xy f x y − = 1 1 ( , ) ， (x, y) ∈ D = [0,1) ×[0,1)， 证明： f 在D上连续，但不一致连续。 证 由于 f 在D上是初等函数，所以连续。但因为当n → +∞时， 1 1 (1 ,1 ) 2 2 n n − − − 1 1 (1 ,1 ) 0 n n − − → ， 而 1 1 (1 ,1 ) 2 2 f n n − − − 1 1 f (1 ,1 ) n n − − 91
4n2n2(4n-3)n2-004n-12n-1-(4n-1)(2n-1)所以f在D上不一致连续。4.设A为R"上的非空子集，定义R"上的函数f为f(x)=inf (lx-yll yeA) 。它称为x到A的距离。证明：(1)当且仅当xeA时，F(x)=0;(2)对于任意x,x"ER"，不等式[f(x)- f(x")/≤/x"-x"I成立，从而f在R"上一致连续；（3）若A是紧集，则对于任意c>0，点集(xR"If(x)≤c)是紧集。证（1）假定xeA，则存在A中的点列(x)，满足limx=x，即lim|x-x=0,所以f(x)=0。反之，由f(x)=0可知存在A中的点列(x)，满足lim/x-x=0，即limx=x，所以xeA。（2）不妨假设f(x)≥f(x")。首先对于任意的k，存在x,EA，满足Yf(x)>x"-x1-k'再利用f(x)≤x'-x/两式相减，得到x-xl+!0ly-x/-1。于是Iyly-x|+[x<f(y)+1+M≤c+1+M,即B也有界。所以B为有界闭集，也就是紧集。5．设二元函数f在R2上连续。证明：（1）若，limf(x,y)=+，则在R2上的最小值必定存在；92
2 2 2 4 (4 3) 4 1 2 1 (4 1)(2 1) n n n n n n n n − =−= → + − − − − ∞， 所以 f 在D上不一致连续。 4． 设 A 为 n R 上的非空子集，定义 n R 上的函数 f 为 f (x) = inf {| x − y || y ∈ A}。 它称为 x 到 A 的距离。证明： (1)当且仅当 x ∈ A 时， f (x) = 0 ； (2)对于任意 x′, x′′∈ n R ，不等式 f (x′) − f (x′′) ≤| x′ − x′′ | 成立，从而 f 在 n R 上一致连续； （3）若 A 是紧集，则对于任意 ，点集 ≤ 是紧 集。 c > 0 {x | f (x) n ∈ R c} 证 （1）假定 x ∈ A ，则存在A中的点列{xk}，满足 ，即 ，所以 。反之，由 lim k k→∞ x = x lim 0 k k→∞ | x − x |= f (x) = 0 f (x) = 0 可知存在A中的点列{xk}， 满足lim k 0，即 k→∞ | x − x |= lim k k→∞ x = x，所以 x ∈ A 。 （2）不妨假设 f ( ) x′ ≥ f (x′′)。首先对于任意的 k，存在xk ∈ A ，满足 1 ( ) | k f k x x ′′ > −′′ x | − ， 再利用 ( ) | k f x' ≤ x' − x |， 两式相减，得到 1 1 0 ( ) ( ) | (| ) | k k f f k k − | x | −1。 于是 | | y |≤ −y x | + | x |< f M ( y) +1+ ≤ c +1+ M ， 即 B 也有界。所以 B 为有界闭集，也就是紧集。 5． 设二元函数 f 在 2 R 上连续。证明： （1）若 = +∞，则 在 + →+∞ lim ( , ) 2 2 f x y x y f 2 R 上的最小值必定存在； 92
(2）若,limf(x,y)=0，则f在R2上的最大值与最小值至少存在一个。证（1）任取一点(xo, o)，由，limf(x,)=+，可知存在R>0，当x? +y? >R, 成立 f(x,y)> f(xo,o)。f(x,J)在紧集((x,)/ x? +y? ≤R2) 上必定取到最小值，且此最小值就是它在R2上的最小值。（2）如果f(x,J)=0，则命题显然成立。不然的话，任取(xo,yo)，使得函数值在此点非零。若f(xo,)>0，由,limf(x,y)=0,可知存在R>0，当x2+y2>R2,成立f(x,y)0,当x2+y2>R2成立f(x,y)>f(xo,yo)，则f(x,)在紧集(x,y)x2+yR)上必定取到最小值，且此最小值就是它在R2上的最小值。6.设f是R"上的连续函数，满足(1)当x±0时成立f(x)>0;(2)对于任意x与c>0，成立f(cx)=cf(x)。证明：存在a>0,b>0，使得a|x/≤f(x)≤b[x/。证单位球面是R"上的紧集，设f在单位球面上的最小值和最大值分别为a和b，则有0<a≤f(x)≤b<+0，V/x=1。于是vx*0，由于周-1，所以xf(x) = [x≤bxx同理f(x)≥ax。由于当x=0时不等式显然成立，所以VxeR"，成立a|x/≤f(x)≤b[x/。7.设f:R"→R"为连续映射。证明对于R"中的任意子集A，成立f(A) F(A) 。举例说明f(A)能够是f(A)的真子集。证VxeA，存在A中的点列(x)，满足limx=x，由于映射在x连续,lim f(x)= f(limx)= F(x),所以 f(x)ef(A)，即 f(A)f(A)。93
（2）若 2 lim2 ( , ) = 0，则 在 + →+∞ f x y x y f 2 R 上的最大值与最小值至少存在 一个。 证 （1）任取一点(x0 , y0 )，由 = +∞ + →+∞ lim ( , ) 2 2 f x y x y ，可知存在 ，当 ，成立 。 在紧集 R > 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y > f x y f (x, y) {( , ) } 2 2 2 x y x + y ≤ R 上 必定取到最小值，且此最小值就是它在 2 R 上的最小值。 （2）如果 ，则命题显然成立。不然的话，任取 ，使 得函数值在此点非零。 f x( , y) ≡ 0 ( , ) 0 0 x y 若 f (x0 , y0 ) > 0，由 lim ( , ) 0 2 2 = + →+∞ f x y x y ，可知存在 ，当 ， 成立 ，则 在紧集 R > 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y 0 2 2 2 x + y > R ( , ) ( , ) 0 0 f x y > f x y f (x, y) {( , ) } 2 2 2 x y x + y ≤ R 上必定取到 最小值，且此最小值就是它在 2 R 上的最小值。 6．设 f 是 n R 上的连续函数，满足 (1)当 x ≠ 0时成立 f (x) > 0 ； (2)对于任意 x与c > 0，成立 f (cx) = cf (x)。 证明：存在a > 0, b > 0，使得 a | x |≤ f (x)≤b | x |。 证 单位球面是 n R 上的紧集，设 在单位球面上的最小值和最大值分 别为 和 ，则有 f a b 0 ( < ≤ a f x) ≤ b < +∞ ， ∀ | | x = 1。 于是∀ ≠ x 0，由于 =1 x x ，所以 f ( ) f b ⎛ ⎞ = ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x x x x x , 同理 f ( ) x ≥ a x 。由于当 x = 0时不等式显然成立，所以∀x ∈ n R ，成立 a | x |≤ f (x)≤b | x |。 7．设 f : Rn → Rm为连续映射。证明对于 n R 中的任意子集 A，成立 f (A) ⊂ f (A)。 举例说明 f (A)能够是 f (A)的真子集。 证 ∀ ∈x A ，存在A中的点列{xk}，满足lim k k→∞ x = x，由于映射 在 连 续， f x lim ( ) (lim ) ( ) k k k k →∞ →∞ f x f = x = f x ， 所以 f ( ) x f ∈ (A) ，即 f (A) ⊂ f (A)。 93
取n=2，f(x,J)=e--在R2上连续。令A=R2，则A=A，但f(A)=(x|x>0) , f(A)=(x|x≥0),f(A)是T(A)的真子集。8．设f是有界开区域DcR2上的一致连续函数。证明：（1）可以将f连续延拓到D的边界上，即存在定义在D上的连续函数子，使得。=；（2）f在D上有界。证（1）由于f在DcR2上的一致连续，V>03>0，Vx,x"D(x'-x"k8):If(x)-f(x")k设seaD，任取点列(x）（x,eD，x,→s)，由于(x)为Cauchy点列，对于上述s>0，K，当m,n>时，成立|xm-xk，于是If(xm)-f(x.)k,所以(f(x,))是基本数列，故一定收敛。记该极限为g(s)。在lf(xm)-f(x,)ε中令m→0，得到If(x,)-g(s)。对于VxeD,1x-5k8/2，存在点列(x)中某项x，满足x-5k8/2, 1f(x)-g(5)≤。于是1x-xx-51+[x-5k8,1f(x)-g(5)f(x)-f(x)/+1f(x)-g(5)/<28,所以lim f(x)= g() ,XeD由此可知(f(x,)的极限g(S)只与seaD有关，而与点列(x,)的选取无94
取 n=2， 在 上连续。令 A= ，则 2 2 ( , ) x y f x y e− − = 2 R 2 R A = A，但 f( ) A = {x x| > 0}，f( ) A = {x x| ≥ 0}， f (A)是 f (A)的真子集。 8．设 f 是有界开区域 2 D ⊂ R 上的一致连续函数。证明： （1）可以将 f 连续延拓到D的边界上，即存在定义在D上的连续 函数 f ，使得 ~ f = f D ~ ； （2） f 在D上有界。 证 （1）由于 f 在 2 D ⊂ R 上的一致连续，∀ε > ∃ 0, δ > 0，∀ ∈ x x', " D (| x x '− " | 0，∃K ，当m n, > K 时，成立| | m n x x − < δ ，于是 | ( ) ( ) | m n f f x − x < ε ， 所以{ f (xn )}是基本数列，故一定收敛。记该极限为 g(ς )。 在| ( ) ( ) | m n f f x − x < ε 中令m → ∞，得到 | ( ) ( ) | n f g x − ς ≤ ε 。 对于∀ ∈x x D, | −ζ |< δ / 2，存在点列{xn}中某项 xk ，满足 | | / 2, | ( ) ( ) | k k x − < ζ δ f g x − ζ ≤ ε 。 于是 | | | | k k | x − ≤ x | x −ζ + x −ζ < δ ， | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | k k f g x x − ζ ≤ − f f x + f x − g ζ < 2ε ， 所以 lim ( ) ( ) x x D f g →ζ ∈ x = ζ ， 由此可知{ f (xn )}的极限 g(ζ ) 只与ς ∈∂D有关，而与点列{xn}的选取无 94
关。令xeD,(x)=[(x),(g(x),xeaD.显然，于在D上连续。现只要证明在aD上连续。设seaD，由lim f(x)= g(s)= f(s),TeD可知>08>0xD(x-8)1f(x)-(s)2对于vseaD(ls-sk)，在上式中令x→s'，由limf(x)=(s),XD可知F(s)-(S)≤≤<6:于是得到lim(x)=于(s),这就证明了于在D上连续。换言之，，是定义在D上的连续函数，满足,=f。（2）由于D为有界闭集，即紧集，在D连续保证了7在D有界，从而f在D上有界。95
关。令 ( ), , ( ) ( ), f f g ⎧ ∈ = ⎨ ⎩ ∈∂ D D 。 x x x x x 显然， f 在 上连续。现只要证明 在 ~ D f ~ ∂D上连续。设ς ∈∂D，由 i lim ( ) ( ) ( ) x x D f g f →ζ ∈ x = = ς ς ， 可知∀ > ε 0,∃δ > 0，∀ ∈x D ( | x −ς |< δ ) ： i | ( ) ( ) | 2 f f ε x − ς < 。 对于∀ ∈ ς' ∂D ( | ς '− < ς | δ )，在上式中令 x → ς '，由 i ' lim ( ) ( ') x x D f f →ζ ∈ x = ς ， 可知 i i ( ') ( ) 2 f f ε ς ς − ≤ < ε ， 于是得到 i i lim ( ) ( ) x x D f f →ζ ∈ x = ς ， 这就证明了 f 在~ D上连续。换言之， f 是定义在 ~ D上的连续函数，满 足 f = f D ~ 。 （2）由于 D为有界闭集，即紧集， f ~在 D连续保证了 f ~在 D有界， 从而 f 在D上有界。 95