华中科技大学热科学与工程实验室 EP》 HUST Lab of Thermal Science Engineering power 传热学 主讲:许国良 能源与动力工程学院 华中科技大学 20033-2
华中科技大学热科学与工程实验室 EP》 HUST Lab of Thermal Science Engineering powe 第九章流动与传热的数值计算 §9-1数值计算的基本思想 §9-2流动与传热的数值计算 §9-3 Saints2D软件简介 首先,我们以导热问题为例,介绍计算区域离散化的概 念、内节点与边界节点方程式的建立方法、节点方程组的求解 过程,以及非稳态导热问题的显示与隐示差分格式 然后,介绍在上述思想的基础上开发的流动与传热计算软 件 Saints2D,并给出传热问题虚拟实验的计算示例。 20033-2
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华中科技大学热科学与工程实验室 EP》 HUST Lab of Thermal Science Engineering power §9-1数值计算的基本思想 数值求解通常是对微分方程直接进行数值积分或者把微 分方程转化为一组代数方程组再进行求解。这里要介绍的是 后一种方法。 如何实现从微分方程到代数方程的转化又可以采用不同 的数学方法,如有限差分法、有限元法和边界元法等。这里 仅向读者简要地介绍用有限差分析方法从微分方程确立代数 方程的处理过程。 有限差分法的基本思想是把原来在时间和空间坐标中连续 变化的物理量(如温度、压力、速度和热流等),用有限数目 的离散点上的数值集合来近似表达。有限差分的数学基础是用 差商代替微商(导数),而几何意义是用函数在某区域内的平 均变化率代替函数的真实变化率。 》 20033-2
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华中科技大学热科学与工程实验室 EP》 HUST Lab of Thermal Science Engineering the Institute of energy power 在图91中可以看出有限差分表示的温度场与真实温度场 的区别。图中用T、T、T2表示连续的温度场T;4x为步 长,它将区域的方向划分为有限个数的区域,△xn、∠x 4x2,y它们可以相等,也可以不相等。 当Ax相等时,T处的真实变化率可以用平均变化率b、c 或来表示,其中b、c和d分别表示三种不同差分格式下的温 度随时间的变化率 T b为向后差分格式 T d、7(x)-T(x1-△x) dx d c为向前差分格式 d7.7(x+△x)-7(x) d x A 为中心差分格式 △X04X11△X244X3 》 d1T(x1+△x)-7(x1-△x 图91温度场的有限差分表示 dx 20033-2
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华中科技大学热科学与工程实验室 EP》 HUST Lab of Thermal Science Engineering 这种差分格式也可以推广到高阶微商(导数)的情形。对 于二阶导数的差分格式可以在一阶差分格式的基础上得出: d271T(x1+△x)-27(x)+(x1-△x d x ( 采用这样的处理之后,反映温度场随时间、空间连续变化 的微分方程就可以用反映离散点间温度线性变化规律的代数方 程来表示。当利用相应的数学办法求解这些代数方程组之后, 我们就能获得离散点上的温度值。这些温度值就可以近似表示 温度场的连续的温度分布。 从上面的分析不难看出,当我们要对流动与传热问题进行 数值求解时一定要釆取三个大的步骤,即: a)研究区域的离散化; b)散点(节点)差分方程的建立; c)节点方程(代数方程)的求解 20033-2
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华中科技大学热科学与工程实验室 EP》 HUST Lab of Thermal Science Engineering 1时间与空间的离散化 当进行数值求解时,首先要 W 做的事情是在所研究的时间和 空间区域内把时间和空间分割 成为有限大小的小区域。图92 表示了长柱体矩形截面上区域 K1时刻 离散化的情况。 对于给定的空间区域, K时刻 在x方向上的步长为△x,在 y方向上的步长为4y,用它 K+1时刻 们作为空间尺度可以将矩形 图9.2计算区域的离散化 区域划分成纵横交错的网格 系统,计算区域就被这些网格线分隔成一系列的小的区域,称 为控制面积,对于三维情况则为控制体积或控制容积,因而常 在一般意义上称之为控制体;控制体的中心点称为节点。 20033-2
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华中科技大学热科学与工程实验室 EP》 HUST Lab of Thermal Science Engineering 控制体的形状是随着坐标系的不同而改变的,这里的控制 体是一个个的矩形面积。网格的步长在每一个方向上可以均匀 划分,也可以不均匀的划分;所得到网格,相应地被称为均匀 网格或者非均匀网格。 选用不同的步长和不同的划分方法,可以将同一区域划分 出不同大小、不同数目的控制区域,以及不同数目的节点数。 获得每个节点上的温度值,就是导热数值计算的目的。显 然,随着步长的不断减小,节点数目的不断增加,由节点温度 表示的离散的温度场就会更加接近连续的温度场,但计算工作 量也会随之增加。 在时间方向上离散化的步长常用Ar来表示,4r的选取 也是可大可小的,也可以随时间的进程而变化。显然,无限小 的时间步长Δτ亦会使得离散温度变化接近连续的温度改变, 但随之而来的是相应的计算工作量将会增加。 20033-2
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华中科技大学热科学与工程实验室 EP》 HUST Lab of Thermal Science Engineering powe 2节点方程的建立 建立节点差分方程可以采用不同的方法,主要分为两大类: 第一类包括泰勒( Taylor)级数展开法和多项式拟合法,它 偏重于从数学的角度进行推导,其优点是便于对离散方程进行 数学特性分析,但缺点是变步长网格的离散方程形式复杂、导 出过程的物理概念不清晰、不能保证差分方程具有守恒特性。 第二类包括控制体热平衡法和控制容积积分法,其优点是 推导过程的物理概念清晰、离散方程系数具有一定物理意义、 保证差分方程具有守恒特性,但缺点是不便于对离散方程进行 数学特性分析。 下面我们采用控制体热平衡法来建立节点方程。 20033-2
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华中科技大学热科学与工程实验室 EP》 HUST Lab of Thermal Science Engineering power ①内节点方程 控制体热平衡法建立节点方程的过程是将能量守恒方程应用 于控制体,建立该节点与周围节点之间的能量平衡关系式,再利 用傅里叶导热定律,最后获得控制体节点温度与周围节点温度之 间的关系式。 考察图9-2中的节点P及其控制体,由能量平衡关系应有 y+g+ds+Φx+①=△E 式中,Φy、①p、Φ、和Φ分别为邻近节点W、E、S和N通过传 导方式传给节点P的热流量;①为单位时间控制体内热源的发热 量;ΔE为控制体单位时间内热能的增加量。由导热傅里叶定 律,在线性温度分布的假设下,时刻K周围节点传给节点P的热 流量分别为: N w=t(w-Tp)Ay. 1 E =*(TE -TP)Ay.1 w x P K 》 -(7-TA)x104y2r1 20033-2
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华中科技大学热科学与工程实验室 EP》 HUST Lab of Thermal Science Engineering 控制体的发热流量y=9Ay1,其中q为内热源强度,即单位 时间单位体积的内热源发热量。 控制体单位时间的内能增加量为 K+1 C 1或△E=p KPt Ax△y·l 前者为时间上的向前差分,而后者为时间上向后差分。以上 关系式中温度T的上标为所在时刻,下标为所在空间位置。 假设4x=4jy,经整理可以得出二维非稳态导热问题的内节点 的两种差分格式的差分方程,即 a)显式差分格式 △ K T+T+T+T)+(1-4 △ pc 定义网格傅里叶数F0、=x2,其物理意义是表征控制体的导 热性能与热储蓄性能之间的对比关系,反映控制体温度随时间 变化的动态特性。显式差分格式简化为 20033-2
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