第二节 第十章 二重积分的汁算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第十章
预备知识：平面区域类型及表示 类型I(X型)：D由直线x=a,x=b与曲线 y=p1(x)和Jy=02(x)所围成，即 D={(x,y)川a≤x≤b,p1(x)≤y≤p2(x)} y=02(x) y=P2(x) y=P1(x) M 1() b x 特点：用垂直于x轴的直线由下至上穿过D时， 与D的边界最多只有两个交点。 HIGH EDUCATION PRESS
类型I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线 { ( , ) | , ( ) ( ) } 1 2 D = x y a x b x y x D x y 0 a b x y 0 D a b x M 1 M 2 x M 1 M 2 · · · · 和 所围成，即 预备知识：平面区域类型及表示 特点：用垂直于x轴的直线由下至上穿过 D 时， 与 D 的边界最多只有两个交点
类型I(Y型)：D由直线y=c,y=d与曲线 x=41(y)和x=必2(y)所围成，即 D={(x,y)|c≤y≤d,Ψ1(y)≤x≤Ψ2(y)} y d =Ψ2(y =(y x=2(y） 0 特点：用垂直于y轴的直线自左往右穿过D时， 与D的边界最多只有两个交点。 HIGH EDUCATION PRESS
类型II （Y 型）：D由直线 y = c , y = d 与曲线 { ( , ) | , ( ) ( ) } 1 2 D = x y c y d y x y x y 0 c d M 2 x y d c 0 M 1 M 2 D · · D · · 和 所围成，即 特点：用垂直于y 轴的直线自左往右穿过 D 时， 与 D 的边界最多只有两个交点
一、利用直角坐标计算二重积分∬f(x,y)dxdy D X型：D={(x,y)川a≤x≤b,p1(x)≤y≤p2(x)} f(x,y)≥0， 三f(x,y) V=∬f(x,y)dxdy 4(x) D =∫A)ax y=0b(x) 曲边梯形A(x)的面积为 4=87f,d西 V=P(x yaxy=图，a]a✉ GH EDUCATION PRESS
x y z 0 a x b = b a A( x) d x = D V f ( x, y) d x d y = ( ) ( ) 2 1 ( ) ( , ) x x A x f x y d y 曲边梯形 A(x)的面积为 一、利用直角坐标计算二重积分 X 型: { ( , ) | , ( ) ( ) } 1 2 D = x y a x b x y x f ( x , y ) 0， D f ( x, y) d x d y = b a x x f x y d y d x ( ) ( ) 2 1 ( , ) D f ( x, y) d x d y
>X型：D={(x,Jy)川a≤x≤b,p1(x)≤y≤p2(x)} fs=jga,n时a: -dxifay ·上式右端的积分称为先对y后对x的二次积分 ·对y积分时，将x看作常数，积分结果为x的 函数A(x),然后将A(x)对x积分。 ·如果去掉条件f(x,y)≥0，上述等式仍然成立 HIGH EDUCATION PRESS
D f ( x, y) d x d y = b a x x f x y d y d x ( ) ( ) 2 1 ( , ) • 上式右端的积分称为先对 y 后对 x 的二次积分 • 对 y 积分时，将 x 看作常数，积分结果为 x 的 函数 A ( x ) ，然后将 A ( x ) 对 x 积分。 = b a x x d x f x y d y ( ) ( ) 2 1 ( , ) { ( , ) | , ( ) ( ) } 1 2 D = x y a x b x y x • 如果去掉条件 f ( x , y ) 0，上述等式仍然成立 ➢X 型:
>X型：D={(x,y)川a≤x≤b,p1(x)≤y≤p2(x)} ∬naxy=g图，na]x xfdy >Y型：D={(x,y川c≤y≤d,y1(y)≤x≤y2(y)} 则了 nx,nddy=ay0fx,dx ·二次积分的几何直观：俗称“穿线法” HIGH EDUCATION PRESS
➢Y 型: 2 1 ( ) ( ) ( , ) d y y f x y x d d c y 则 • 二次积分的几何直观：俗称 “穿线法” { ( , ) | , ( ) ( ) } 1 2 D = x y c y d y x y D f ( x, y) d x d y = b a x x f x y d y d x ( ) ( ) 2 1 ( , ) = b a x x d x f x y d y ( ) ( ) 2 1 ( , ) { ( , ) | , ( ) ( ) } 1 2 ➢X 型: D = x y a x b x y x
例1.计算7=川奶xdo,其中D是直线y=1,x=2,及 y=x所围的闭区域 解法1，将D看作X-型区域，则D:1≤x≤21≤y≤x 7=ddyf[w]a =x2-]m-8 0 1 x2x 解法2.将D看作Y-型区域，则D:1≤y≤2y≤x≤2 1-dx-i-a,-y小- HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
x y 2 1 1 y = x o 2 = 2 1 dy 例1. 计算 d , = D I xy 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1. 将D看作X–型区域, 则 D : I = 2 1 d x xyd y = 2 1 d x = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 = 1 2 2 1 x xy 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : I = xyd x 2 1 d y y x y 2 2 2 1 = − 2 1 3 2 1 2y y dy 8 9 = y 1 x y 2 1 x 2 1 y x 1 y 2 y x 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2计算 川W+x2-ydo,其中D是由直线=1、x=-1 D 及=x所围成的闭区域. 分析：X型区域：D:-1≤x≤1，x×1, 有 ∬+2-da=4i+2-, Y型区域：D:-1y1,-1≤x≤y, ∬Wi+×-g=f,+x-h 提问：哪个二次积分容易计算？ HIGH EDUCATION PRESS
分析: X型区域: D: −1y1, −1x<y. D: −1x1, xy1. Y型区域: 及y=x所围成的闭区域. 例 2 计 算 y x y d D + − 2 2 1 , 其 中 D 是由直线 y=1、x=−1 − − + − = + − 1 1 1 2 2 2 2 1 1 y D y x y d ydy x y d x . 提问: 哪个二次积分容易计算？ 于是有 + − = + − − 1 2 2 1 1 2 2 1 1 x D y x y d d x y x y d y
例2计算川W1+x2-ydo,其中D是由直线1、x=-1 D 及=x所围成的闭区域. 解： X型区域：D:-1≤x≤1，x必1. 有 ∬W+r-ydo=小Ni+2-y 0÷2-d=0x-1a -x-= ∫W1+x2-yd =-+2-d0+x2-y) HIGH EDUCATION PRESS
及y=x所围成的闭区域. 例 2 计 算 y x y d D + − 2 2 1 , 其 中 D 是由直线 y=1、x=−1 − − =− + − =− − 1 1 3 1 1 2 1 3 2 2 (| | 1) 3 1 [(1 ) ] 3 1 x y dx x dx x 2 1 ( 1) 3 2 1 0 3 = − − = x d x . − − =− + − =− − 1 1 3 1 1 2 1 3 2 2 (| | 1) 3 1 [(1 ) ] 3 1 x y dx x dx x 1 (1 ) 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 x y d x y y x y dy x x = − + − + − + − 解: X型区域: D: −1x1, xy1. 于是有 + − = + − − 1 2 2 1 1 2 2 1 1 x D y x y d d x y x y d y
例3.计算∬Dxdo,其中D是抛物线y2=x及直线 y=x-2所围成的闭区域： 解：将D看作Y型区域， 则D:-1≤y≤2，y≤x≤y+2 y=X-2 fo-Fopdx =xy]2=0+22-1 >+22-名12图 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页 下页返回结束
例3. 计算 d , D xy 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: D : xy d x D xyd − = 2 1 dy − + = 2 1 2 2 2 1 x y 2 dy y y − = + − 2 1 2 5 [ ( 2) ] d 2 1 y y y y D y = x 2 y = x − 2 2 −1 4 o y x y 2 2 −1 y 2, y x y + 2 y y + 2 及直线 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将D看作Y–型区域