北京大学：《计算机图形学》第六讲 图形变换

第6讲图形变换 主要介绍 二维几何变换 窗口到视区的变换 三维几何变换 北大计算机系多媒体与人机交互

北大计算机系多媒体与人机交互 1 第6讲 图形变换 主要介绍 二维几何变换 窗口到视区的变换 三维几何变换

变换的数学基础(1/4) 矿矢量 矢量和 LL.+1 U+v=uy+Vy u +y 北大计算机系多媒体与人机交互

北大计算机系多媒体与人机交互 2 变换的数学基础(1/4) 矢量 矢量和           = z y x u u u U           = z y x v v v V           + + + + = z z y y x x u v u v u v U V

变换的数学基础(2/4) 矢量的数乘 k k·U=ku ka 矢量的点积 U·V=1vx+l1vy+l2V 性质U。y=pU U·=0<U⊥V U●U=0<→U7=0 北大计算机系多媒体与人机交互 3

北大计算机系多媒体与人机交互 3 变换的数学基础(2/4) 矢量的数乘 矢量的点积 性质           • = z y x ku ku ku k U x x y y z z U •V = u v + u v + u v U •V =V •U U •V = 0U ⊥V U •U = 0U = 0

变换的数学基础(3/4) 矢量的长度 =√U 单位矢量 矢量的夹角 矢量的叉积 V U j k 北大计算机系多媒体与人机交互

北大计算机系多媒体与人机交互 4 变换的数学基础(3/4) 矢量的长度 单位矢量 矢量的夹角 矢量的叉积 2 2 2 U U U = ux + uy + uz = • U V U V • • cos = x y z x y z v v v u u u i j k U V =

变换的数学基础(4/4) 矿矩阵 m×n阶矩阵 n阶方阵 零矩阵 行向量与列向量 单位矩阵 ●矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 ●矩阵的转置 ●矩阵的逆 北大计算机系多媒体与人机交互

北大计算机系多媒体与人机交互 5 变换的数学基础(4/4) 矩阵 阶矩阵 n阶方阵 零矩阵 行向量与列向量 单位矩阵 矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆 m n

二维基本变换(1/3) 矿平移变换 y T P′=P+T x=x+t y=y+t 北大计算机系多媒体与人机交互

北大计算机系多媒体与人机交互 6 二维基本变换（1/3） 平移变换 P = P +T          = y x P       = y x t t T       = y x P     = +  = + y x y y t x x t

二维基本变换(2/3) 旋转变换 点P(xy)的极坐标表 绕坐标原点旋转角度(逆时针为正,顺时 针为负) y P=R°P P(xy) P(x,y) COS 6 R sin e cos e 北大计算机系多媒体与人机交互

北大计算机系多媒体与人机交互 7 二维基本变换（2/3） 旋转变换 点P(x,y,)的极坐标表示 绕坐标原点旋转角度 （逆时针为正，顺时 针为负）  P = R• P       − =     sin cos cos sin R

二维基本变换(3/3) 放缩变换 y P=S·P 0 S 以坐标原点为放缩参照点 不仅改变了物体的大小和形状,也改变了它 离原点的距离 北大计算机系多媒体与人机交互

北大计算机系多媒体与人机交互 8 二维基本变换（3/3） 放缩变换 以坐标原点为放缩参照点 不仅改变了物体的大小和形状，也改变了它 离原点的距离 P = S •P       = y x s s S 0 0

∥齐次坐标与二维变换的矩阵表示(1/4 为什么需要齐次坐标? 多个变换作用于多个目标 变换合成 变换合成的问题 引入齐次坐标 变换的表示法统一 北大计算机系多媒体与人机交互

北大计算机系多媒体与人机交互 9 齐次坐标与二维变换的矩阵表示 （1/4） 为什么需要齐次坐标？ 多个变换作用于多个目标 变换合成 变换合成的问题 引入齐次坐标 变换的表示法统一

∥齐次坐标与二维变换的矩阵表示(2/4) 齐次坐标 定义 e(xy)点对应的齐次坐标为xb,yh2h) =hx,yh=hy,h≠0 (xy)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线 hx h 北大计算机系多媒体与人机交互

北大计算机系多媒体与人机交互 10 齐次坐标与二维变换的矩阵表示（2/4） 齐次坐标 定义 (x,y)点对应的齐次坐标为 (x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条 直线 (x , y ,h) h h xh = hx, yh = hy,h  0      = = = z h y hy x hx h h h