第七章弯曲变形
第七章 弯曲变形
本章主要内容 1梁的变形分析 2挽曲轴近似傲分方程 3积分法求叟形。 4叠加油求梁的变形 5静不定梁
本章主要内容 1 梁的变形分析 2 挠曲轴近似微分方程 3 积分法求变形。 4 叠加法求梁的变形 5 静不定梁
§7-1粱的变形分析 工程实例 1、齿轮传动 弊端: 多·轮齿不均匀磨损,噪声 增大,产生振动; 2 加速轴承磨损,降低使 7777 用寿命;若变形过大 使传动失效
1、齿轮传动 • 轮齿不均匀磨损，噪声 增大，产生振动； • 加速轴承磨损，降低使 用寿命；若变形过大， 使传动失效。 §7-1 梁的变形分析 一、工程实例 弊端： 1 2 1 2
2、继电器中的簧片 触点 簧片 电磁力 当变形足够大时,可以有效接通电路 当变形不够大时,不能有效接通电路; 工程中,一方面要限制变形,另 方面要利用变形
2、继电器中的簧片 电磁力 当变形足够大时，可以有效接通电路； 触点 当变形不够大时，不能有效接通电路； 簧片 工程中，一方面要限制变形，另一 方面要利用变形
二、梁变形的表示方法 n-n 挠曲轴(连续、光滑 平坦的平面 y↑曲线) 文2z m-m +(1)挠度y:横截面形心在垂直于轴线方向的位移 符号规定:向上为正,向下为负。y=y(x) (2)轴向位移ΔX:横截面形心在轴线方向的位移 小变形情况下,略去不计。 书(3)转角θ:横截面绕中性轴的转过的角度 符号规定:逆时针为正,顺时针为负。=6(x)
x y 挠曲轴 m-m n-n （1）挠度y：横截面形心在垂直于轴线方向的位移 （3）转角θ：横截面绕中性轴的转过的角度 y 符号规定：向上为正，向下为负。 y = y(x) 符号规定：逆时针为正，顺时针为负。 =(x) （2）轴向位移ΔX：横截面形心在轴线方向的位移， 小变形情况下，略去不计。 ΔX x （连续、光滑 平坦的平面 y 曲线） z 二、梁变形的表示方法 θ
三、挠度和转角之间的关系 y 6(×) 一挠曲轴y=y(x) e(×x) y(x X k=tg0= 挠曲轴曲线性质: (1)挠曲轴上任一点的纵坐标等 通常0<1°=00175弧度)于染上该截面的挠度值; (2)挠曲轴上任一点的切线斜率等 O≈tgO=y(x) 于梁上该截面的转角值
(通常θ<1º=0.0175弧度) 挠曲轴曲线性质： 挠曲轴 x y x y(x) o θ(x) θ(x) y = y(x) （2）挠曲轴上任一点的切线斜率等 于梁上该截面的转角值。 （1）挠曲轴上任一点的纵坐标等 于梁上该截面的挠度值； k = tg y (x) dx dy = = tg = y (x) 三、挠度和转角之间的关系
7-2梁变形基本方程 、挠曲轴微分方程 1、中性层曲率表示的弯曲变形公式 M p EI p(x) El 2、数学中的曲率公式 p(1+ 2)32 3、挠曲轴微分方程 X MIx 1+y El
1、中性层曲率表示的弯曲变形公式 EI M = 1 ( ) EI M x x = ( ) 1 ( ) 3 2 2 1 1 y y + = 2、数学中的曲率公式 一、挠曲轴微分方程 ρ M o x y y = y(x) (x) M(x) §7-2 梁变形基本方程 ( ) ( ) EI M x y y = + 3 2 2 1 3、挠曲轴微分方程
4、挠曲轴近似微分方程 M(x 3/2 El (1)在小变形条件下 y=00 0 少≤O (1)线弹性范围 0My保持同号 (2)小变形条件 (3)平面弯曲
4、挠曲轴近似微分方程 弧度 （1）在小变形条件下， 1 0.0175 ' y = = 1 1 2 1 + y 2 y o x y M>0 M<0 0 '' y 0 '' y （2）正负号确定： M与y´´保持同号 ( ) y = M x EI （1）线弹性范围 （2）小变形条件 （3）平面弯曲 适用条件： ( ) ( ) EI M x y y = + 3 2 2 1
二、积分法计算梁的变形 mx y 8 El +c El y=』4MC dx ) dx +Cx +D E C、D为积分常数,由位移边界与连续条件确定 边界条件: 连续条件: (1)固定端约束: 左右 A B y4=0 e4=0 左_右 (2铰支座: B O VB
二、积分法计算梁的变形 y ´ = θ ( ) = dx EI M x ( ) dx dx EI M x y ( ) = ( ) EI M x y = C、D为积分常数，由位移边界与连续条件确定。 边界条件： = 0, A y (2)铰支座： A B C = 0 B y A B （1）固定端约束： 连续条件 ： ＋C +Cx ＋D A = 0 = 0 A y 左 右 C = C 左 右 C C y = y
例1:简支梁AB,弯曲 刚度E常数,受力厢 FA 力偶M=F作用,求y B 6x:并计算B截面的转 角值 解∶1、建立挠曲轴微分方程并积分 A端约束反力FAy=F 梁的弯矩方程:M(x)=Fx 挠曲轴近似微分方程:y)= El XX y=6(x) +c +Cx+D 2EI 6El
例1：简支梁AB，弯曲 刚度 EI为常数，受力F和 力偶M=FL作用，求y(x)， θ(x)；并计算B截面的转 角值。 解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分 A端约束反力 FAy=F 梁的弯矩方程： L B M A FAy F x M (x) = Fx 挠曲轴近似微分方程： C EI Fx y = x = + 2 ' ( ) 2 Cx D EI Fx y = + + 6 3 EI Fx y'' =