第二节 第六章 定积分在儿何学上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长
二、体积 第二节 一、 平面图形的面积 三、 平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六章
一、平面图形的面积 1.直角坐标情形 设曲线y口f(x)(口0)与直线 yt yf(x) x□a,x☐b(a☐b)及x轴所围曲 边梯形面积为A,则 dA☐f(x)dx Oa x b xdx (x)dx
一、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 设曲线 与直线 及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
例1.计算两条抛物线y2口x,y口x2在第一象限所围 图形的面积 得交点(0,0)，1,1) 0A口(xx2)dk 3 o2x3d
例1. 计算两条抛物线 在第一象限所围 图形的面积 . 解: 由 得交点
例2.计算抛物线y2口2x与直线y口x☐4所围图形 的面积 解：由 02x 得交点 y口x☐4 y22x,4 y□dy (2,☐2)，(8,4) 为简便计算，选取y作积分变量， x☐4 则有 (2,2) 10a(y4吗y2dy 0y204y☐gy34018
例2. 计算抛物线 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 所围图形 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有
例3.求椭圆 63 口1所围图形的面积 解：利用对称性，有dA☐yd A☐4ydx 利用椭圆的参数方程 xx☐dyax (0□t☐2π) 应用定积分换元法得 A☐4 bsintasint0dt口4 absin2tdi o4ab季□rab 当a=b时得圆面积公式
例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有 利用椭圆的参数方程 应用定积分换元法得 当 a = b 时得圆面积公式
2.极坐标情形 设口O)口C[口，口]，□(O)口0，求由曲线r口口(O)及 射线口口口，口口☐围成的曲边扇形的面积 在区间口，口]上任取小区间[口，口口d▣] 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为 1ooa如
2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 所求曲边扇形的面积为
例4.计算阿基米德螺线r口a口(a口0)对应口从0 到2口所围图形面积. 变 解：A口a)d 2元a 2 L3c2π d 2 B 3
对应 从 0 变 例4. 计算阿基米德螺线 解: 到 2 所围图形面积 . 阿基米德
例5.计算心形线r口a(1□cos☐)(a☐0)所围图形的 面积 心形线 解：42a1co0ydn (利用对称性 2 令1明 2a 《 ☐8a2 costdt 勒南·第卡尔 克里斯订
例5. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性) 心形线 勒内·笛卡尔 克里斯汀
例5.计算心形线r口a(1□cos☐)(a☐0)所围图形的 面积 心形线 解：A口2 (利用对称性) ☐a24cos 2 令1唱 ☐8a2 3
例5. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: (利用对称性 ) 心形线
例6.计算心形线r☐a1☐cos☐)(a□0)与圆rUa 所围图形的面积。 解：利用对称性，所求面积 4a22 元1 2 24 1 -元a ☐a 2 2 L☐a 22 ra? 2a2
例6. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积