第3章单向复合材料的刚度分析3.1.单层板的应力-应变关系3.2.单层板材料任意方向的应力-应变关系3.3.拉剪耦合效应3.4.工程弹性常数及其变换3.5.单层板刚度的分析和预测（细观力学方法）分析方法F01&力学模型M01
第3章 单向复合材料的刚度分析 3.1. 单层板的应力-应变关系 3.2. 单层板材料任意方向的应力-应变关系 3.3. 拉剪耦合效应 3.4. 工程弹性常数及其变换 3.5. 单层板刚度的分析和预测（细观力学方法） 分析方法F01 & 力学模型M01 1
3.1.正交各向异性单层板的应力-应变关系单向复合材料：纤维沿同一方向整齐排列的（非均匀性和各向异性）。取RVE为包含纤维和基体的适当大小的体积单元，则材料2中各处元素的性质相同，即Lamina宏观上是均质材料各向异性：Lamina有两个正交的对称平面，LZ面和TZ面3称为（正交各向异性材料orthotropicmaterial)。L、T、Z轴（或1、2、3轴）称为材料主轴。L(longitudinal）表示纤维方向，T(transverse)表示与纤维相垂直的方向。13 ZZ:perpendicular72坐标为什么这么选取？纤维基体
3.1. 正交各向异性单层板的应力-应变关系 1. 单向复合材料：纤维沿同一方向整齐排列的（非均匀性 和各向异性）。 2. 取RVE为包含纤维和基体的适当大小的体积单元，则材料 中各处元素的性质相同，即Lamina宏观上是均质材料。 3. 各向异性: Lamina有两个正交的对称平面，L Z面和T Z面。 称为 (正交各向异性材料orthotropic material)。L、T、Z轴 （或1、2、3轴）称为材料主轴。L(longitudinal) 表示纤维方 向，T(transverse)表示与纤维相垂直的方向。 坐标为什么这么选取？ L Z T Z: perpendicular 2
单层复合材料：厚度很小的一种Lamina对单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小，因此一般按平面应力状态进行分析，只考虑单层板面内应力，不考虑面K上应力，即认为它们很小，可忽略。= 0, T23 = 0, T3, = 0只有三个应力分量o1，02，t12不为零，柔度矩阵可简化为：0S12Su180120S22S126202S0012T12&g = S130, + S230,31 = Y23 = 02023/2/15
单层复合材料：厚度很小的一种Lamina 1 2 3 只有三个应力分量1 ， 2 ， 12不为零， 柔度矩阵可简化为： 3 23 31 = 0, = = 0, 0 对单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸 相比较小，因此一般按平面应力状态进行 分析，只考虑单层板面内应力，不考虑面 上应力，即认为它们很小，可忽略。 6 1 11 12 1 2 12 22 6 12 2 12 0 0 0 0 S S S S S = 2023/2/15 3 13 1 23 2 31 23 0 S S = + = = 3
平面应力状态与平面应变状态3O3 = 0 T23 = 0 T31 = 028, =0 23 =0 Y31=0322023/2/15
平面应力状态与平面应变状态 1 3 2 3 1 2 3 = 0 2 3 = 0 3 1 = 0 3 = 0 2 3 = 0 3 1 = 0 2023/2/15 4
图3-1单向纤维强化板图3-2交织纤维强化板图3-3短纤维强化板T.单层复合材料一般不单独使用，而是作为层合板结构的基本单元使用。在实际应用中，复合材料，特别是FRP，基本上是以平板或壳体形式出现的，厚度方向和其它方向尺寸相比，一般是很小的，单层板更是如此。在讨论单层复合材料的力学性质时，可假设为平面应力状态，即O3 = T23 = T31 = 0
图3-1 单向纤维强化板 图3-2 交织纤维强化板 图3-3 短纤维强化板 单层复合材料一般不单独使用，而是作为层合板结构的基 本单元使用。在实际应用中，复合材料，特别是FRP，基本上 是以平板或壳体形式出现的，厚度方向和其它方向尺寸相比， 一般是很小的，单层板更是如此。在讨论单层复合材料的力学 性质时，可假设为平面应力状态，即 3 = 2 3 = 3 1 = 0 5
除了宏观上的均匀性假设以及平面应力状态假设之外，还认为单层板的变形是小变形，月符合线弹性，则沿材料主轴方向的应力和应变之间存在下面的关系（本构方程）：S.1001S1281S210S22&2二02(3.1)00S66T12Y12式中的S.称为柔度系数（compliancecoefficient），它们与工程弹性常数之间的关系是"，Sn"，So=SH(3.2)V12-V21231S13.=:S12 = S21S1二E.E,V物理意义：α单独作用引起的应变之比值（-8/）：Va：0单独作用引起的应变之比值（-8/）
除了宏观上的均匀性假设以及平面应力状态假设之外，还认 为单层板的变形是小变形，且符合线弹性，则沿材料主轴方向的 应力和应变之间存在下面的关系（本构方程）： 66 1 1 11 12 2 21 22 2 12 12 0 0 0 0 S S S S S = （3.1） 式中的Sij称为柔度系数（compliance coefficient），它们与工程弹 性常数之间的关系是 11 22 66 1 2 12 1 31 23 13 2 2 21 1 1 2 3 3 2 2 21 , 1 1 1 , S , S , S E E G S S E S E S E E = − = = = = = = − = − − 12物理意义：1单独作用引起的应变之比值（-2 /1）； 21：2单独作用引起的应变之比值（-1 /2）。 （3.2） 6
将（3.1）式求逆，得到由应变求应力的公式0a.Q.Q1261610=[Q"]Q2262Q216202002Q66T12Yi2Y1222Q称为折减刚度系数(reduced stiffness)，它们与工程弹性常数之间有：Q1 = S22 /(St,S22 - S2) = E, /(1 - Vi2V21) = Cu1 - C2 /C2Q22 = St1 /(S,S22 - S%2) = E2 /(1 - V12V21) = C2 - C23 /C212 = -S12 /(StiS22 - S2) = V12E2 /(1 - Vi2V21)= C12 -Cl2C23 /C2Q12 = Vi2Q22 = V21Q11 = Q2= 2Q6O66Q66 = 1/S66 = G12 = C66Qi=QiDECT1-Vi2V21 >0
将（3.1）式求逆，得到由应变求应力的公式 1 11 12 1 * 66 1 2 21 22 2 2 12 12 12 0 0 =[ ] 0 0 2 2 2 Q Q Q Q Q Q = Qij称为折减刚度系数(reduced stiffness)，它们与工程弹性常数之 间有： 2 11 22 11 22 12 2 22 11 11 22 12 2 12 12 1 1 12 21 2 12 21 12 2 11 12 22 2 22 23 22 12 12 23 22 66 12 12 22 21 11 21 * 1 22 12 2 12 66 66 12 21 ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) 1 ij C C C C C C C C C C E E E Q S S S S Q S S S S Q S S S S Q S Q C Q G Q Q Q = − = − = = − = − = = − − = − = = = − = = − = = − * 66 66 2 = = Q Q Q ij Q C ij ij 12 21 1 0 − 7
可见，正交各向异性薄板的弹性常数有：Ei，E2，Gi2，V2和V12因为存在功的互等定理V12 = V21E,E,所以独立的弹性常数有四个（可实验测定）对正交各向异性材料，泊松比的取值范围是EE1 - Vi2 V21 > 0EE
可见，正交各向异性薄板的弹性常数有：E1，E2，G12， 21和12。 因为存在功的互等定理 所以独立的弹性常数有四个（可实验测定）。 12 21 1 2 = E E 对正交各向异性材料，泊松比的取值范围是 1 12 2 2 21 1 E E E E 12 21 1 0 − 8
进一步简化的情况：若将单向复合材料叠层起来制成较厚的层合板，如图3-4所示，2方向和3方向的性能相同，2-3面内材料呈各向同性，称为横观各向同性（transverselyisotropic）。描述该材料的弹性行为还需要V23（=V32）G23（=G32）两个弹性常数，但它们之间存在下面的关系E2G23 = 2(1+V23)T.2Z.3所以实际上增加一个常数，独立的弹性常数是五个。（想一想）：L.1如果横向（3方向），如何？图3-4横观各向同性T23 = G23/ 23T31 = Gi2Y31
进一步简化的情况：若将单向复合材料叠层起来制成较厚的层 合板，如图3-4所示，2方向和3方向的性能相同，2-3面内材料呈 各向同性，称为横观各向同性（transversely isotropic）。描述该 材料的弹性行为还需要 23 32 ( ) = ( ) G23 = G32 两个弹性常数，但它们之间存在下面的关系 2 23 23 2(1 ) E G = + 图3-4 横观各向同性 所以实际上增加一个常数，独立的 弹性常数是五个。 (想一想)： 如果横向(3方向)，如何？ 23 23 23 31 12 31 G G = = 9
（建议练练：计算之）表3.1几种单层CM的工程弹性常数材料型号纤维含量（%）E,(GPa)E,(GPa)G12(GPa)V1218510.57.370碳/环氧0.28T300/5280B (4)5.750硼/环氧20818.90.2315505394.245S10028.40.26玻璃/环氧765.60.342.360芳纶/环氧K-49/EP表3.2几种单层CM的柔度系数（单位：GPa）材料（型号）Su =1/E,S66 = 1/G12S22 = 1/ E2S12 = -V12 / E,碳/环氧（T）0.00540.09520.137-0.0015硼/环氧（B）0.00480.05290.1750.0011玻璃/环氧（S）0.02560.11900.238-0.0067芳纶/环氧（K）0.4350.01320.17860.004510
材 料 型 号 E1 (GPa) E2 (GPa) 12 G12(GPa) 纤维含量(%) 碳/环氧 T300/5280 185 10.5 0.28 7.3 70 硼/环氧 B（4） /5505 208 18.9 0.23 5.7 50 玻璃/环氧 S1002 39 8.4 0.26 4.2 45 芳纶/环氧 K-49/EP 76 5.6 0.34 2.3 60 11 1 S = 1/ E 22 2 S = 1/ E 12 12 1 S E = − / 66 12 材料（型号） S = 1/G 碳/环氧（T） 0.0054 0.0952 －0.0015 0.137 硼/环氧（B） 0.0048 0.0529 －0.0011 0.175 玻璃/环氧（S） 0.0256 0.1190 －0.0067 0.238 芳纶/环氧（K） 0.0132 0.1786 －0.0045 0.435 表3.1 几种单层CM的工程弹性常数（建议练练：计算之） 表3.2 几种单层CM的柔度系数（单位：GPa ） 10