《量子力学》第三章 量子力学中的力学量（3.11）粒子数表象中的谐振子

3-1粒子数表象中的谐振子 ■算符解法 ■系统常用量子光学,固体

3-11粒子数表象中的谐振子 ◼ 算符解法 ◼ 系统常用量子光学，固体

谐振子 H=2 (p2+C2x2) =(aa+aa+)/2 1c、1/2 (x十 2左 p) 2左

谐振子 ) (ˆ ˆ) 2 ( ) (ˆ ˆ) 2 ( ( )/ 2 ( ˆ ) 2 1 1/ 2 1/ 2 2 2 2 p i a x p i a x a a aa H p x        = − = + = + = + + + +   

方 x=( )2(a+a+) 20 1方 1/2 i 2ua

) ( ) 2 ( 1 ) ( ) 2 ( 1/ 2 1/ 2 + + = − = + a a i p x a a    

玻色代数 a=O 粒子数算符N

玻色代数 ◼ 粒子数算符N + + + + + + = − = = = =  a N a a N a a a a a a a N a a [ , ] [ , ] [ , ] 0 [ , ] 0 [ , ] 1

H=(N+no ■能量本征态〉粒子数本征态

◼ 能量本征态〉粒子数本征态 ) 2 1 H = (N +

粒子数本征态 內x=叫x KOo> 727 ≥|z><

粒子数本征态 , 1 0 ! 1 0 0 1 4, 3, 0 2, 1 1, 0 min = = = = =  =  =  + m n n n a n n Normalization n n n N n n n m n n 

矩阵元 00O N=o02 mn)=√n+16 刀n+1 000

矩阵元               = = +                 = + + + . . . . 0 2 0 . 1 0 0 . 0 0 0 0 1 . . . . . . . . . . 0 0 2 . . 0 1 0 . . 0 0 0 . . , 1 a m a n n N  m n

能级 En=(n Hn)=n(N+1/2)hon =(n+1/2O 000 0300 H=ho0050 0007

能级                 = = + = = + . 0 0 0 7 0 0 5 0 0 3 0 0 1 0 0 0 2 1 ( 1/ 2) ( 1/ 2)       H n En n H n n N n

常用矩阵元 mxn)=(-)y2(√m+1nn+√n+16mm) e )2(√m+16n √n+1nn1) 0 20 0√20√3 2 0√30

常用矩阵元                         = = + − + = + + + + + + + . . . . . 0 0 3 0 . 0 2 0 3 . 1 0 2 0 . 0 1 0 0 . 2 ( ) ( 1 1 ) 1 ( ) ( 1 1 ) 1/ 2 1, , 1 1/ 2 1, , 1 1/ 2           x m n i m p n m x n m n m n m n m n m n

00 1/2 方uO 20 2

                − − −       = . . . . . . 0 0 3 0 . 0 2 0 3 . 1 0 2 0 . 0 1 0 0 . 2 1 1/ 2  i p