第四章 导热问题 的数值解法
第四章 导热问题 的数值解法
1、重点内容: ①掌握导热问题数值解法的基本思路; ②利用热平衡法和泰勒级数展开法建立 节点的离散方程 2、掌握内容:数值解法的实质。 3、了解内容:了解非稳态导热问题的两 种差分格式及其稳定性
1 、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路； ② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立 节点的离散方程。 2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两 种差分格式及其稳定性
求解导热问题实际上就是对导热微分方程在 定解条件下的积分求解,从而获得分析解。随着 计算机技术的迅速发展,对物理问题进行离散求 解的数值方法发展得十分迅速,这些数值解法主 要有以下几种: (1)有限差分法 (2)有限元方法 (3)边界元方法
求解导热问题实际上就是对导热微分方程在 定解条件下的积分求解，从而获得分析解。随着 计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求 解的数值方法发展得十分迅速，这些数值解法主 要有以下几种： （1）有限差分法 （2）有限元方法 （3）边界元方法
分析解法与数值解法的异同点: 相同点:根本目的是相同的,即确定④ t=f(x,y,z);② 不同点:数值解法求解的是区域或时间空 间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温 度场;分析解法求解的是连续的温度场的分 布特征,而不是分散点的数值
分析解法与数值解法的异同点： • 相同点：根本目的是相同的，即确定 ① t=f(x ， y ， z) ； ② 。 • 不同点：数值解法求解的是区域或时间空 间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温 度场；分析解法求解的是连续的温度场的分 布特征，而不是分散点的数值
数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括 为:把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的 场,如导热物体的温度场等,用有限个离散点上的 值的集合来代替,通过求解按一定方法建立起来的 关于这些值的代数方程,来获得离散点上被求物理 量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理 量的数值解
• 数值解法的实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括 为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的 场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的 值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的 关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理 量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理 量的数值解
§4-1导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立 建立控制方程及定解条件确定节点(区域离散化) 物理问题的数值求解过程 设立温度场的迭代初值建立节点物理量的代数方程 匚求解代数方程 改进初场 是否收敛否 是 解的分析
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立 建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化） 设立温度场的迭代初值 建立节点物理量的代数方程 求解代数方程 是否收敛 解的分析 改进初场 是 否 物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程 1
2例题条件 二维矩形域内稳态无内热 源,常物性的导热问题 x (a)
0 t y 3 f h t 2 f h t 1 f h t x 二维矩形域内稳态无内热 源，常物性的导热问题 2 例题条件 （a）
3基本概念:控制容积、网格线、节点、 界面线、步长 二维矩 形城内 稳态无 内热源 常物性 △ 的导热 问题 △x (b)
（b） x y x y n m (m,n) M N 3 基本概念：控制容积、网格线、节点、 界面线、步长 二维矩 形域内 稳态无 内热源， 常物性 的导热 问题
如图(a)所示二维矩形内无内热源、稳态 常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下: (1)建立控制方程及定解条件 针对图示的导热问题,它的控制方程(即 导热微分方程)为:
如图（a）所示二维矩形域内无内热源、稳态、 常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下： （1）建立控制方程及定解条件 针对图示的导热问题，它的控制方程（即 导热微分方程）为： 2 2 2 2 0 t t x y + =
(2)区域离散化(确立节点) 用一系列与坐标轴平行的网格线把求 解区域划分成若干个子区域,用网格线的 交点作为需要确定温度值的空间位置,称 为节点(结点),节点的位置用该节点在 两个方向上的标号m,n表示。 相邻两节点间的距离称步长。 如图(b)所示
（2）区域离散化（确立节点） 用一系列与坐标轴平行的网格线把求 解区域划分成若干个子区域，用网格线的 交点作为需要确定温度值的空间位置，称 为节点 ( 结点 ) ，节点的位置用该节点在 两个方向上的标号 m ， n 表示。 相邻两节点间的距离称步长。 如图 (b) 所示