北京大学：《电磁学》第一章 静电场（1.3）高斯定理

§3高斯定理 习题 p731-14、15、16、17、20

§3.高斯定理 习题 p73 1-14、15、16、17、20

电力线、通量 ■为什么要研究通量、环流? ■对象变导致一系列深刻的变化不仅规律 的形式,而且规律的性质发生变化 研究范畴 对象 规律 规律的性质 牛顿力学质点、刚体、连续体可逆 决定论 热学大量分子构成的群体不可逆性非决定论 引入熵 概率论 表明研究对象变化,规律性质发生变化, 会有相应的数学手段的引入 如牛顿研究引力的同时提出了微积分 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 电力线、通量 ◼ 为什么要研究通量、环流？ ◼ 对象变导致一系列深刻的变化——不仅规律 的形式，而且规律的性质发生变化 研究范畴 对象 规律 规律的性质 牛顿力学 质点、刚体、连续体 可逆 决定论 热学 大量分子构成的群体 不可逆性 非决定论 引入熵 概率论 ◼ 表明研究对象变化，规律性质发生变化， ◼ 会有相应的数学手段的引入 ◼ 如牛顿研究引力的同时提出了微积分

场是一定空间范围内连续分布的客体 ■温度T温度分布—温度场(标量场 ■流速v流速分布—流速场(矢量场) ■电荷产生的场具有什么性质? ■已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布 已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动 物理学家不满足于这些,各种各样的电荷的场分布五 花八门,只是表面现象,其本质是什么? 期望从不同的角度揭示电场的规律性 经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 场是一定空间范围内连续分布的客体 ◼ 温度T 温度分布——温度场（标量场） ◼ 流速v 流速分布——流速场（矢量场） ◼ 电荷产生的场具有什么性质？ ◼ 已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布 ◼ 已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动 ◼ 物理学家不满足于这些，各种各样的电荷的场分布五 花八门，只是表面现象，其本质是什么？ ◼ 期望从不同的角度揭示电场的规律性 ◼ 经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场

流速场 ds 涡线 U d 源 0 0 通量什vdsS=0? 环流pvdl <0 ≠0 ■有源(或汇)、有旋、两者兼而有之 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 流速场 ◼ 有源（或汇）、有旋、两者兼而有之 0 0 0 0 0?  =     =    v S v l S L 通 量 d 环 流 d

类比 流线—电力线 ■流量电通量 通过d的通量c= eds cos e=EdS 物理意义:穿过dS的电力线的根数 ■电通量与电场强度的关系? 定义电力线数密度:单位面积内电力线的根数 令其等于该处电场强度的大小 ■人为定义 dM E dN=EaS"=E·dS=c ds E dS"⊥E 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 类比 ◼ 流线——电力线 ◼ 流量——电通量 通过dS的通量 dE = EdS cos = E dS ◼物理意义：穿过dS的电力线的根数 ◼电通量与电场强度的关系？ ◼定义电力线数密度：单位面积内电力线的根数 令其等于该处电场强度的大小 ◼人为定义 dN EdS E dS d E dS dN E = = =  =    ' ' dS'⊥E

任意曲面 Φn=E·d, 任意闭合曲面=EdS ■规定: 取闭合面外法线方向为正,则 00;日>-,c。<0 2 2 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 任意曲面 ◼ 规定： ◼ 取闭合面外法线方向为正，则   =  S E E d S 任意闭合曲面   =  S E E d S , 0 2 , 0 ; 2  dE   dE     

Gaus面上的场强,是 所有电荷产生的场 高斯定理p22 面内电量的代 数和,与面外 电荷无关 中2=EdS=∑q S内 通过任意 闭合曲面 的电通量 Gauss S 面 d ds ■立体角定义 dn d 2 ds r ds b 2 2(球面度) 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 高斯定理 p22 ◼ 立体角定义  =   =  S内 i S E E dS q 0 1  通过任意 闭合曲面 的电通量 Gauss 面 Gauss面上的场强，是 所有电荷产生的场 面内电量的代 数和，与面外 电荷无关 (球面度） ' ˆ 2 2 r d r dS d r S  = =

证明:从特殊到一般c 兼 ■点电荷q被任意球面包围 设q>0,场具有球对称性 Φg=仟E·dS=EdS=县z5r2 47r E 4丌Er 4兀Er 手s 个点电荷所产生的电场,在以点电荷为 中心的任意球面的电通量等于 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 证明： 从特殊到一般 ◼ 点电荷q被任意球面包围 设q >0，场具有球对称性 2 4 0 1 r q E   = 0 2 0 2 0 4 1 4 1      q dS r q dS r q E d S EdS S S S S E = = =  = =      2 4r ◼ 一个点电荷所产生的电场，在以点电荷为 中心的任意球面的电通量等于 0  q

E 点电荷q被 ds 任意曲面包围 a dsallllyds d2 ● E4兀80 4丌Er 4兀E ■对整个闭合面S有 4丌 手g= 2= S 兀C 0 S 包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于 结果与电力平方反比律分不开x3/s 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 点电荷q被 任意曲面包围 ◼ 对整个闭合面S有  d q r q d r q S d E 0 2 0 2 0 4 ˆ 4 ' 4      =  = = r S 0 0 0 4  4   q d q d q d S S S E = E = = =        4 ◼ 包围一个点电荷的任意曲面上的电通量等于 ◼ 结果与电力平方反比律分不开 0  q −2 f  r

闭合曲面不包围点电荷 ˉ闭合曲面不包围点电荷 dS与ds所对的立体角 c2=-c2 ■则电通量也有 E E 对于闭合面S+S,总通量为①g=0 ■结论:通过不包围点电荷的闭合曲面的 电通量为零 20052 北京大学物理学院王稼军编写

2005.2. 北京大学物理学院王稼军编写 闭合曲面不包围点电荷 ◼ 闭合曲面不包围点电荷 ， dS´与dS所对的立体角 d' = −d ◼ 则电通量也有  E = −E ' ◼ 对于闭合面S’+S，总通量为 E = 0 ◼ 结论：通过不包围点电荷的闭合曲面的 电通量为零