§3.元件的串联、并联矢量图解法p338 根据交流元件的联结形式不同,也将交流电路区分为 简单交流电路与复杂交流电路。类似于直流电路,元件最 简单的联结方式为串联和并联,而凡是能够通过运用元件 串、并联的计算法将电路化为一个单回路的交流电路称为 简单交流电路;反之,不能将交流元件的联结方式归并为 串、并联的电路,称为复杂交流电路 同频交流简谐量的叠加p3945-38、40、43 这里讨论的是由简 Z1中1 诸交流电源与集中元件 z1中Z2中2 联结而成的线性的简单 交流电路,在似稳条件 下,整个电路满足电流连 b并联 续性方程,且能够引进电压的概念,因此,与直流电路中 电阻的串、并联一样,交流串、并联电路中,元件上的交 流电压、电流在任意时刻的瞬时值之间的关系也比较简单 以图示的两个元件的串、并联电路为例,串联电路中,通 过各元件的电流的瞬时值处处相等,电路两端的电压瞬时 值等于各元件上分压瞬时值之和,有 i(1)=i1(t)=12(1),l(t)=u1(t)+2(t); 因此求电路中总电压的瞬时值将归结为求两个同频简谐量 的叠加。设: l1()=U10cos(ot+910),l2(1)=U20cos(ot+20) 则总电压为 u(t)=u,(0)+u2(t)=Uo cos(@t+1o)+U20 cos(ot +p2o) 利用三角函数和差化积公式,可得叠加结果仍为同频简谐 量,即 u(o=Uo cos(at+oo) 总电压峰值及其初相位为 010+020+201oU20 cos(o20-91o)
7-5 §3. 元件的串联、并联 矢量图解法 p338 根据交流元件的联结形式不同，也将交流电路区分为 简单交流电路与复杂交流电路。类似于直流电路，元件最 简单的联结方式为串联和并联，而凡是能够通过运用元件 串、并联的计算法将电路化为一个单回路的交流电路称为 简单交流电路；反之，不能将交流元件的联结方式归并为 串、并联的电路，称为复杂交流电路。 z 同频交流简谐量的叠加 p394 5-38、40、43 这里讨论的是由简 谐交流电源与集中元件 联结而成的线性的简单 交流电路，在似稳条件 下，整个电路满足电流连 续性方程，且能够引进电压的概念，因此，与直流电路中 电阻的串、并联一样，交流串、并联电路中，元件上的交 流电压、电流在任意时刻的瞬时值之间的关系也比较简单。 以图示的两个元件的串、并联电路为例，串联电路中，通 过各元件的电流的瞬时值处处相等，电路两端的电压瞬时 值等于各元件上分压瞬时值之和,有 ( ) ( ) ( ) 1 2 i t = i t = i t ， ( ) ( ) ( ) 1 2 u t = u t + u t ； 因此求电路中总电压的瞬时值将归结为求两个同频简谐量 的叠加。设： ( ) cos( ) 1 = 10 ω +ϕ10 u t U t ， ( ) cos( ) 2 = 20 ω +ϕ 20 u t U t 则总电压为 ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) = 1 + 2 = 10 ω +ϕ10 + 20 ω +ϕ 20 u t u t u t U t U t 利用三角函数和差化积公式，可得叠加结果仍为同频简谐 量，即 ( ) cos( ) = 0 ω +ϕ 0 u t U t 总电压峰值及其初相位为 2 cos( ), 10 20 20 10 2 20 2 U0 = U10 +U + U U ϕ −ϕ
Po = tan U1o sino +U20 sin 2o U1 + coS pro tU 20C 可见,两分电压的初相差出现在总电压的峰值表达式中 电路总电压峰值(或有效值)一般不等于分电压的峰值(或 有效值)之和, U0≠U1+U2或U≠U1+U 对于并联电路,各元件两端的电压瞬时值是共同的,而 总电流瞬时值等于各元件上分电流瞬时值之和,有 l(t)=l1(1)=l2(t),i(t)=i1(t)+2(t) 同样,电路总电流峰值(或有效值)一般也不等于分电压 的峰值(或有效值)之和,有 120或I≠l1+l2 如何解决峰值和有效值的叠加问 题? ∠矢量图解法 两种简便方法 水平轴 复数解法 矢量图解法 用旋转矢量U在x轴上的分量代替简诸量 总电压为 l()=l1()+l2(t 水平 Ulo cos(ot+1o)+u2 cos(at+o2o U0=V0+U20+200U2co(2-n0 Uo sin 1o+U20 sin 2o Po tar cos p
7-6 10 10 20 20 1 10 10 20 20 0 cos cos sin sin tan ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ U U U U + + = − 可见，两分电压的初相差出现在总电压的峰值表达式中， 电路总电压峰值（或有效值）一般不等于分电压的峰值（或 有效值）之和， U0 ≠ U10 +U20 或 U ≠ U1 +U2 对于并联电路,各元件两端的电压瞬时值是共同的，而 总电流瞬时值等于各元件上分电流瞬时值之和，有 ( ) ( ) ( ) 1 2 u t = u t = u t ， ( ) ( ) ( ) 1 2 i t = i t + i t 同样，电路总电流峰值（或有效值）一般也不等于分电压 的峰值（或有效值）之和，有 0 10 20 I ≠ I + I 或 1 2 I ≠ I + I 如何解决峰值和有效值的叠加问 题？ 矢量图解法 两种简便方法 复数解法 一．矢量图解法 用旋转矢量 U 在 x 轴上的分量代替简谐量 总电压为 cos( ) cos( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 20 20 1 2 = ω + ϕ + ω + ϕ = + U t U t u t u t u t 2 cos( ), 10 20 20 10 2 20 2 U0 = U10 +U + U U ϕ −ϕ 10 10 20 20 1 10 10 20 20 0 cos cos sin sin tan ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ U U U U + + = −
(一)串联电路 R、C串联 *电流: 电压: i(1)=i2(t)=1(t) l()=l2(t)+l2() U=0+U *矢量长度:可以对应峰 值,也可以对应有效值, 有效值与峰值的关系为 U 2 画图:依据R、L、C上电 压与电流的相位关系 计算UR=IR,U=1 OC U Z. OCR U=VU2+UR=IR2+Z2=IR U R ta tan OCR 表明:1)U≠UR+Ue 2)分电压有效值的分配与各元件的阻抗成正比 2.R、L串联(自学) i(t) Ra2() u(t) Ip=I 矢量图 (a)RL串联电路
7-7 （一） 串联电路 1． R、C 串联 *电流： *电压： i(t) i (t) i (t) = R = c u(t) u (t) u (t) = R + c ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ R c I = I = I U = U R + U c *矢量长度：可以对应峰 值，也可以对应有效值， 有效值与峰值的关系为 2 2 0 0 I I U U = = *画图：依据 R、L、C 上电 压与电流的相位关系 *计算 Z CR Z U U C I U IR U IZ R c R c R c c ω ω 1 = , = = , = = 2 2 2 2 2 2 1 = + = + = + C U UC UR I R ZC I R ω 2 2 1 = = + C R I U Z ω U CR U R C ω ϕ 1 tan tan −1 −1 = = 表明：1）U ≠ U R + Uc ； 2）分电压有效值的分配与各元件的阻抗成正比。 2. R、L 串联(自学)
*计算 U=IR. U=IZ E lOL U=VUB+U=1√R+z2=1√R2+(oL) R2+oL), =tan"OL=tan 二)并联电路 1.R、C并联 *电流()=i2()+1(t)*电压:l(1)=l2(t)+l(1) IR+I U RD,I=-=UOC Cr C =√l2+12=U1(C)2+ Z P=-tan"(OCR) 表明 L=Ue千 1)1≠lR+l; 西b)矢量图 2)分电流有效值的分配与各元件的阻抗成反比。 2.R、L并联(自学) ,1=0 R I=√l2+12=U
7-8 *计算 R L Z Z U U U IR U IZ I L R L R L R L L ω = , = = ω , = = ( ) 2 2 2 2 2 2 U = UL + UR = I R + ZL = I R + ωL ( ) 2 2 R L I U Z = = + ω ， R L U U R L ω ϕ 1 1 tan tan − − = = （二） 并联电路 1.R、C 并联 *电流 i(t) i (t) i (t) = R + c *电压：u(t) u (t) u (t) = R + c ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ R c I = I + I U = U R = Uc CR Z Z I I U C Z U I R U I C R R c c R c ω ω = = = , = = 2 2 2 2 1 ( ) R I = IC + I R = U ωC + , tan ( ) 1 ( ) 1 1 2 2 CR R C I U Z ϕ ω ω − = − + = = 表明： 1） R c I ≠ I + I ； 2）分电流有效值的分配与各元件的阻抗成反比。 2. R、L 并联（自学） L R Z Z I I L U I R U I R L R L R L ω ω = , = , = = 2 2 2 2 1 1 = + = + R L I I L I R U ω
0=如 R tan a) 例题:已知Z=∠C=R,求下列矢量之间的相位差 1)U与I iif) 2)I。与IR 3)U与U 全() C R 4)U与I 解:题目给出了Z1=Z=R (a)RC并联再与L串联 画矢量图要严格按比例画 选基准线 一般可选电路中最小单元 中的电阻上的电压或电流 对应的矢量最小单元是R、 C并联,可以lR为基准线 根据条件估计矢量长度,并 IR 作图 (b)矢量图 +1=√2Aa1=2=an1=z L与最小单元串联,L1=,U1=1Z1=√2l2R=√2U 所以 U=U+U R Ul‖Io R
7-9 2 2 1 1 1 + = = R C I U Z ω L R U U R L ω ϕ 1 1 tan tan − − = = 例题:已知 ZL = ZC = R ,求下列矢量之间的相位差 1) Uc与 IR 2) Ic 与 IR 3) UR与 UL 4) U 与 I 解：题目给出了ZZR L C = = *画矢量图要严格按比例画 *选基准线： 一般可选电路中最小单元 中的电阻上的电压或电流 对应的矢量最小单元是 R、 C 并联，可以 RI 为基准线 *根据条件估计矢量长度，并 作图 c R C R R C I I Z Z I I = = 1⇒ = ， C R R I I I 2I 2 2 = + = , 4 tan 1 1 1 π ϕ = = = − R c I I ， L 与最小单元串联， I I L = ， L L R R U R U = IZ = 2I = 2 所以 U = U R + U L , U || I C 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) U = UL −UC = UR −UR = UR
结论: 1)U与I同相位△=0;2)L超前LA=; 3)U落后于A-4;4)U超前IA。 3丌 ●小结 1.对于由元件串并联构成的简单交流电路,根据元件的 特征和串联、并联的性质,利用矢量表示简谐量、矢量 和表示同频简诸量之和的方法,可以画出该电路全部电 流以及电压(简谐量)的矢量图。 矢量大小 代表相应电压电流的大小 矢量夹角 两相应简谐量的相位差 (无论电压还是电流) 矢量图集中了串并联电路的全部重要信息,并把其间的 关系表示成几何关系—一目了然,十分直观 2.对于单纯的串联或单纯并联电路,各矢量之间的关 系不是超前x/2,就是落后 丌/2,或者同相位,因此图 IRa=lc 上旋转矢量构成的几何图 形是直角三角形,利用勾股 弦定律易于求解电路;只有 两、l= 在既并又串的电路中,矢量 图才会出现斜三角形,此时 需要用余弦定理来计算,比较麻烦。例如上述例题中,如 果未给出条件ZL=Zc=R,那么就无法估计各矢量的长度 从相应的矢量图可以看到,只能定性地画出各简谐量对应 的矢量长度,给出了各矢量的几何关系。显然该矢量图能 定性地、直观地反映出了各量之间的相位关系,但计算比 较麻烦。更复杂的串、并联电路,比如有多个串、并联单 元组合起来的电路,计算起来更为烦琐。在下一节中,我 们将介绍简单交流电路的复数解法,用复数解法求解这类 问题更为简单
7-10 结论： 1）Uc与 IR 同相位 ∆ϕ = 0；2) Ic超前 IR 2 π ∆ϕ = ； 3) UR落后于 UL 4 3π ∆ϕ = − ；4) U 超前 I 4 π ∆ϕ = 。 z 小结： 1． 对于由元件串并联构成的简单交流电路，根据元件的 特征和串联、并联的性质，利用矢量表示简谐量、矢量 和表示同频简谐量之和的方法，可以画出该电路全部电 流以及电压（简谐量）的矢量图。 矢量大小 —— 代表相应电压电流的大小 矢量夹角 —— 两相应简谐量的相位差 （无论电压还是电流） 矢量图集中了串并联电路的全部重要信息，并把其间的 关系表示成几何关系—— 一目了然，十分直观。 2． 对于单纯的串联或单纯并联电路，各矢量之间的关 系不是超前π 2，就是落后 π 2，或者同相位，因此图 上旋转矢量构成的几何图 形是直角三角形，利用勾股 弦定律易于求解电路；只有 在既并又串的电路中，矢量 图才会出现斜三角形，此时 需要用余弦定理来计算，比较麻烦。例如上述例题中，如 果未给出条件 ZL = ZC = R ，那么就无法估计各矢量的长度， 从相应的矢量图可以看到，只能定性地画出各简谐量对应 的矢量长度，给出了各矢量的几何关系。显然该矢量图能 定性地、直观地反映出了各量之间的相位关系，但计算比 较麻烦。更复杂的串、并联电路，比如有多个串、并联单 元组合起来的电路，计算起来更为烦琐。在下一节中，我 们将介绍简单交流电路的复数解法，用复数解法求解这类 问题更为简单