§5交流电概述 P330 各种形式的交流电 交流电路:如果电源电动势e(t)随时间作周期性变化,则 各段电路中的电压u(t)和电流i(t)均随时间作周期性变 化,这种电路叫做交流电路。 1几几 a)简谐波 (b)锯齿波 )矩形脉冲 )尖脉冲 f)调频 ∧,傅 g)小提琴 *简谐交流电: e(t)、u(t)、i(t)随时间变化的关系是正弦或余弦函 数的波形。 1)任何非简谐式的交流电都可分解为一系列不同频率的简 谐成分。 2)不同频率的简谐成分在线性电路中彼此独立、互不干扰。 叠加 同频简谐量 微商 简诸量 积分 所以当有不同频率的简谐成分同时存在时,可以一个一个 地单独处理
7-1 §5 交流电概述 P330 一. 各种形式的交流电 交流电路： 如果电源电动势 e(t)随时间作周期性变化，则 各段电路中的电压 u(t)和电流 i(t)均随时间作周期性变 化，这种电路叫做交流电路。 *简谐交流电： e(t)、u(t)、i(t)随时间变化的关系是正弦或余弦函 数的波形。 1) 任何非简谐式的交流电都可分解为一系列不同频率的简 谐成分。 2) 不同频率的简谐成分在线性电路中彼此独立、互不干扰。 叠加 同频简谐量 微商 简谐量 积分 所以当有不同频率的简谐成分同时存在时，可以一个一个 地单独处理
g(r (b)sin(2xfx g(r)l ()+323+3u2x5)(前10项叠加的结果 二.简谐交流电的特征量 直流 交流 元件 R R、L、C 电动势 E(常数)e(1)=E0cos(o+q) 电压 U(常数)(1)=U0cos(ot+n) 电流 I(常数) i(t=lo cos(ot +o) *三个特征量 1)频率与周期 f:单位时间内交流电作周期性变化的次数 T:周,T/表示作一次变化所需要的时间; O:圆频率; O、fT三者的关系为O=2m-2z 只要知道其一,另两个即可求得 7-2
7-2 二. 简谐交流电的特征量 直流 交流 元件 R R、L、C 电动势 ε （常数） ( ) cos( ) 0 e e t = ε ωt +ϕ 电压 U（常数） ( ) cos( ) 0 u u t = U ωt +ϕ 电流 I （常数） ( ) cos( ) 0 i i t = I ωt +ϕ *三个特征量 1)频率与周期 f：单位时间内交流电作周期性变化的次数 T：周期， f T 1 = 表示作一次变化所需要的时间 ； ω ：圆频率； ω、f、T 三者的关系为 T f π ω π 2 = 2 = 只要知道其一，另两个即可求得
注意 、f、T三者的值取决于电源的频率,交流电路中各部 分的电压和电流的频率均与交流电源的频率相等,属于 同频简诸交流电 Q、f、T都是描述简诸变量随时间变化快慢的物理量, 但是它们的单位不同, 周期T的单位是秒(s); 频率的单位为赫兹Hz(或周/秒,简称周,用c表示) 圆频率的单位是弧度每秒(rad.s)。 例如: 我们日常使用的市电的频率为50Hz,即f=50s,其周期 T和角频率分别为 T==0.02,0=2mf 100rrad.s 2)峰值和有效值 e(D)=Ecos(o+92):交变电动势 u(t=o cos(ot +Pu) 交变电压 的瞬时值 i(1)=lcos(ot+q):交变电流 U0和l分别是交变电压和交变电流的峰值。 实际测量的 是它们的有效值。 峰值与有效值是什么关系? ●有效值定义: 如果交变电流i通过电阻R时,在一个周期T内产生 的焦耳热与某一直流电流Ⅰ通过该电阻R在同样时间T内 产生的热量相等,那么交变电流i的有效值在数值上等于直 流电流I。按照上述表述,有 Ridt= RiT
7-3 注意： z ω、f、T 三者的值取决于电源的频率，交流电路中各部 分的电压和电流的频率均与交流电源的频率相等，属于 同频简谐交流电。 z ω、f、T 都是描述简谐变量随时间变化快慢的物理量， 但是它们的单位不同， 周期 T 的单位是秒（s）； 频率的单位为赫兹 Hz(或周/秒，简称周，用 c 表示)； 圆频率的单位是弧度每秒（rad.s-1）。 例如： 我们日常使用的市电的频率为 50Hz,即 f=50s-1,其周期 T 和角频率分别为 1 100 . 2 0.02 , 2 1 − = = = = = rad s T s f f T π π ω π 2) 峰值和有效值 ( ) cos( ) 0 e e t = ε ωt +ϕ ： 交变电动势 ( ) cos( ) 0 u u t = U ωt +ϕ ： 交变电压 的瞬时值 ( ) cos( ) 0 i i t = I ωt +ϕ ： 交变电流 0 0 U 和I 分别是 交变电压和交变电流的峰值。 实际测量的 是它们的有效值。 峰值与有效值是什么关系？ z 有效值定义： 如果交变电流 i 通过电阻 R 时，在一个周期 T 内产生 的焦耳热与某一直流电流 I 通过该电阻 R 在同样时间 T 内 产生的热量相等，那么交变电流 i 的有效值在数值上等于直 流电流 I。按照上述表述，有 Ri dt RI T T 2 0 2 = ∫
由此可得出交变电流的有效值为 上式适用于周期性变化的量,但不能用于非周期量 以简诸交流电,(D)= I cos(ot+q)代入有效值定义式 有 1 cos(at +o, )dt 相应的电压有效值为 0=1.nh=1+9Mh 同理也有 即简谐变量的有效值是其峰值的1√2 例:通常的交流电压表、电流表等都是按有效值刻度的 例如说民用电电压为220伏是指有效值,此时其峰值为311 伏。峰值:瞬时值随时间变化的幅度。 3)相位、初相位 交流各表达式电中的 (o+)、(ot+qn)、ot+q 是交流电动势、电压和电流的相位; q,是它们的初相位; 它们具有角度的量纲 是描述交流电的瞬时变化状态的重要物理量 为什么? ●简谐变量的特点是: 在一个周期内不同时刻的运动状态皆不同, 而相位相差2丌的整数倍的两个状态完全相同
7-4 由此可得出交变电流的有效值为 ∫ = T i dt T I 0 1 2 上式适用于周期性变化的量，但不能用于非周期量。 以简谐交流电， ( ) cos( ) 0 i i t = I ωt +ϕ 代入有效值定义式 有 2 cos ( ) 1 0 0 2 2 0 I I t dt T I T = + i = ∫ ω ϕ 相应的电压有效值为 2 cos ( ) 1 1 0 0 2 2 0 0 2 U U t dt T u dt T U T u T = = + = ∫ ∫ ω ϕ 同理也有 2 0 ε ε = 即 简谐变量的有效值是其峰值的1 2 。 例：通常的交流电压表、电流表等都是按有效值刻度的， 例如说民用电电压为 220 伏是指有效值，此时其峰值为 311 伏。峰值：瞬时值随时间变化的幅度。 3) 相位、初相位 z 交流各表达式电中的 ( ) e ωt +ϕ 、( ) u ωt +ϕ 、 i ωt +ϕ 是交流 电动势、 电压 和 电流的相位； ϕ e、 ϕ u 、 ϕ i 是它们的初相位； 它们具有角度的量纲， 是描述交流电的瞬时变化状态的重要物理量。 为什么？ z 简谐变量的特点是： 在一个周期内不同时刻的运动状态皆不同， 而相位相差 2π 的整数倍的两个状态完全相同
●描述方法 简谐变量的各个时刻的瞬时状态完全可以用一个周期 T时间内,相位在0-27之间的变化反映出来。 实际上相位描述的实质仍是时间, 只是并非以秒为单位,而是以角度为单位 好处 可以比较明确地表示交流电的瞬时状态, 便于比较不同简谐量变化的步调; 旦交流电变量的相位和初相位确定,便可确定该时 刻交流电变量(如电压或电流)的大小以及其变化趋势。 例题: 已知简谐交变电流i(1)=lcos(ot+91)的相位值 q=ot+依次为0、丌/2、丌、3n/2、2丌,画出该电流的 瞬时值随相位变化的曲线。 解:对电流(=lcos(ot+91)求关于时间的导数,得到电 流随时间的变化率为t=- LoOsin(on+g),据此可列 出给定相位值所对应的电流值及该瞬时的变化趋势为: 相位值(1)dh() 变化趋势 正的峰值 <0由正值向负值 变化 负的峰值 0 0由负值向正值 变化 以相位为横坐标,电流瞬时值 为纵坐标,可以依据上表数据,画出电流的相位从0到2的 个周期内所对应的瞬时状态如图所示。 在处理交流电问题的实际过程中,我们更关心的 75
7-5 z 描述方法 简谐变量的各个时刻的瞬时状态完全可以用一个周期 T 时间内，相位在0 − 2π 之间的变化反映出来。 实际上相位描述的实质仍是时间， 只是并非以秒为单位，而是以角度为单位。 z 好处 可以比较明确地表示交流电的瞬时状态， 便于比较不同简谐量变化的步调； 一旦交流电变量的相位和初相位确定，便可确定该时 刻交流电变量（如电压或电流）的大小以及其变化趋势。 例题： 已知简谐交变电流 ( ) cos( ) 0 i i t = I ωt +ϕ 的相位值 i ϕ = ωt +ϕ 依次为0、π / 2、π 、3π / 2 、2π ，画出该电流的 瞬时值随相位变化的曲线。 解：对电流 ( ) cos( ) 0 i i t = I ωt +ϕ 求关于时间的导数，得到电 流随时间的变化率为 sin( ) ( ) 0 i I t dt di t = − ω ω +ϕ ，据此可列 出给定相位值所对应的电流值及该瞬时的变化趋势为： 以相位为横坐标，电流瞬时值 为纵坐标，可以依据上表数据，画出电流的相位从 0 到2π 的 一个周期内所对应的瞬时状态如图所示。 在处理交流电问题的实际过程中，我们更关心的 相位值 i(t) dt di(t) 变化趋势 0 0 I 0 正的峰值 2 π 0 0 由负值向正值 变化
是两个交流电的相位差,因为相位差可以反映不同简谐量 的步调是否一致,如图 12 b)12=w (p,吗x2 §6交流电中的基本元件p3935-34、36、37 几点说明 1)似稳条件 首先假设以下所讨论的交流电路满足似稳条件。 当电源电动势变化时,电路上各部分的电荷分布和电 场分布将随之改变,从而导致电流的变化,这一变化是通 过电路周围的电磁场以光速c传播的,在一个周期T内电 磁场变化传播的距离等于波长λ=c/∫,而传遍整个电路 (设电路的几何尺寸为L)所需时间为t=L/c。 若电源频率很高,有λT,则电路中各部 分电磁场、电流、电荷变化将按距离远近而不同,所以同 一时刻、同一条无分支的导线上,也会由于电源的频率变 化而引起有不同的电流,此种情况下基尔霍夫第一定律不 成立;此外频率高了,电路中到处都产生较强的涡旋电场 (有旋场),“电压”的概念也不成立,基尔霍夫第二定
7-6 是两个交流电的相位差，因为相位差可以反映不同简谐量 的步调是否一致，如图 §6 交流电中的基本元件 p393 5-34、36、37 一. 几点说明 1） 似稳条件 首先假设以下所讨论的交流电路满足似稳条件。 当电源电动势变化时，电路上各部分的电荷分布和电 场分布将随之改变，从而导致电流的变化，这一变化是通 过电路周围的电磁场以光速 c 传播的，在一个周期 T 内电 磁场变化传播的距离等于波长λ = c / f ，而传遍整个电路 （设电路的几何尺寸为 L）所需时间为 t = L / c 。 若电源频率很高，有 λ > T ，则电路中各部 分电磁场、电流、电荷变化将按距离远近而不同，所以同 一时刻、同一条无分支的导线上，也会由于电源的频率变 化而引起有不同的电流，此种情况下基尔霍夫第一定律不 成立；此外频率高了，电路中到处都产生较强的涡旋电场 （有旋场），“电压”的概念也不成立，基尔霍夫第二定
律也就不适用了。如若电源变化的频率较低,则较长, 在电路尺寸L不太大时,电源的变化几乎同时传到整个电 路,即电路中电流将随电源电动势同步地作缓慢的变化, 每一时刻两者的关系和直流电路情况相同,此时,可以认 为电路是似稳的,似稳条件为 L >>L或 <T 似稳条件确保了在同一条无分支的电路中,瞬时电流处处 相等,满足电流连续性方程即基尔霍夫第一方程;同时由 于电源的频率较低,在电路中因电流变化引起的磁场的变 化率OB/O很小,由此产生的涡旋电场可以忽略不计,因而 依然可以引进电压的概念,满足基尔霍夫第二定律。所以 在上述似稳条件下,可以依据基尔霍夫定律来分析电路, 大大简化了对交流电路问题的讨论。电工技术中遇到的电 路大部分属于似稳电路,例如:常用市电频率为50Hz, 个周期内电磁场传播的距离约为A=CT=3×100m,远大 于通常的实验仪器尺寸(数量级为几十cm),完全满足似 稳条件。 本章只讨论似稳电路。 2)集中元件、集中参量 严格地说,要用基尔霍夫定律来处理交流电路,除了 要 求电路满足似稳条件以外,还要求电路中的元件为集中元 件。这是因为传导电流中断在电容器极板上,电容器内部 集中了较强的电场,而变化的电场延续了传导电流,其作 用不可忽略(实际上就是第六章中引进的位移电流,它总 是与导线中的传导电流相等),因而在电容器内部,基尔 霍夫第一定律遭到破坏;另一方面,电感线圈内部集中了 较强的磁场,其中磁通变化引起的涡旋电场不可忽略,因 而其中基尔霍夫第二定律不成立。 但是一般电路中,电容和电感元件在电路中只占据极
7-7 律也就不适用了。如若电源变化的频率较低，则 λ 较长， 在电路尺寸 L 不太大时，电源的变化几乎同时传到整个电 路，即电路中电流将随电源电动势同步地作缓慢的变化， 每一时刻两者的关系和直流电路情况相同，此时，可以认 为电路是似稳的，似稳条件为 λ >> L 或 T c L t = << 似稳条件确保了在同一条无分支的电路中，瞬时电流处处 相等，满足电流连续性方程即基尔霍夫第一方程；同时由 于电源的频率较低，在电路中因电流变化引起的磁场的变 化率∂B ∂t 很小，由此产生的涡旋电场可以忽略不计，因而 依然可以引进电压的概念，满足基尔霍夫第二定律。所以 在上述似稳条件下，可以依据基尔霍夫定律来分析电路， 大大简化了对交流电路问题的讨论。电工技术中遇到的电 路大部分属于似稳电路，例如：常用市电频率为 50Hz，一 个周期内电磁场传播的距离约为 cT m6 λ = = 3×10 ，远大 于通常的实验仪器尺寸（数量级为几十 cm），完全满足似 稳条件。 本章只讨论似稳电路。 2） 集中元件、集中参量 严格地说，要用基尔霍夫定律来处理交流电路，除了 要 求电路满足似稳条件以外，还要求电路中的元件为集中元 件。这是因为传导电流中断在电容器极板上，电容器内部 集中了较强的电场，而变化的电场延续了传导电流，其作 用不可忽略（实际上就是第六章中引进的位移电流，它总 是与导线中的传导电流相等），因而在电容器内部，基尔 霍夫第一定律遭到破坏；另一方面，电感线圈内部集中了 较强的磁场，其中磁通变化引起的涡旋电场不可忽略，因 而其中基尔霍夫第二定律不成立。 但是一般电路中，电容和电感元件在电路中只占据极
小的体积,对于电容器,似稳条件将维持电容器两极板的 电荷等量异号同步变化,因此,可以将变化的电场的影响 限于电容器内部,撇开内部空间,只从外部看一个电容器, 向电容器一端流入的电流恒等于从另一端流出的电流,使 外部电流仍然保持连续性,即满足基尔霍夫第一定律;同 样只要涡旋电场集中在元件内部,只在电感元件外部取积 分路径,电场的功仍近似与路径无关,即还可以引进“电 压”的概念。整个电路依然满足基尔霍夫第二定律。 上述类型的电容和电感元件分别把电场和磁场集中在 自己内部很小的范围内,所以称为集中元件,它们的电路 参量(电容C和电感L)称为集中参量。 此外,除了以集中元件形式出现的电感和电容以外, 电路各部分(包括连接导线)也具有一定的电容和电感的 性质,称为分布电容和分布电感,相应的参量称为分布参 量。这些分布参量的影响常常被忽略或用等效的集中参量 来代替。 另外还假定电路中的元件是单纯的。所谓单纯元件就 是忽略了次要特性的元件,如纯电阻、纯电感、纯电容, 这是对实际元件的理想化的抽象。实际的元件可以看成单 纯元件串、并联的组合。 3)线性电路 所谓线性元件即要求元件的参量R、L、C为常数,由 元件本身性质决定,与电流无关。由线性元件和交流电源 组成的电路称为线性电路,线性电路所满足的方程是线性 的。以后可以看到,交流电路的线性方程包含了对同频简 谐量的叠加、微商或积分等线性运算,其结果仍然是同 频率的简谐量,于是使简谐交流电路问题处理和运算特别 简单。不仅如此,还由于不同频率的简谐成分在线性电路 中彼此独立、互不干扰。因此当电路中有不同频率的简谐 成分同时存在时,可以一个一个地单独处理后再叠加,这 就是解非简谐交流电路的基本思路。 上述三个假设是对实际的交流电路的合理简化,在此
7-8 小的体积，对于电容器，似稳条件将维持电容器两极板的 电荷等量异号同步变化，因此，可以将变化的电场的影响 限于电容器内部，撇开内部空间，只从外部看一个电容器， 向电容器一端流入的电流恒等于从另一端流出的电流，使 外部电流仍然保持连续性，即满足基尔霍夫第一定律；同 样只要涡旋电场集中在元件内部，只在电感元件外部取积 分路径，电场的功仍近似与路径无关，即还可以引进“电 压”的概念。整个电路依然满足基尔霍夫第二定律。 上述类型的电容和电感元件分别把电场和磁场集中在 自己内部很小的范围内，所以称为集中元件，它们的电路 参量（电容 C 和电感 L）称为集中参量。 此外，除了以集中元件形式出现的电感和电容以外， 电路各部分（包括连接导线）也具有一定的电容和电感的 性质，称为分布电容和分布电感，相应的参量称为分布参 量。这些分布参量的影响常常被忽略或用等效的集中参量 来代替。 另外还假定电路中的元件是单纯的。所谓单纯元件就 是忽略了次要特性的元件，如纯电阻、纯电感、纯电容， 这是对实际元件的理想化的抽象。实际的元件可以看成单 纯元件串、并联的组合。 3） 线性电路 所谓线性元件即要求元件的参量 R、L、C 为常数，由 元件本身性质决定，与电流无关。由线性元件和交流电源 组成的电路称为线性电路，线性电路所满足的方程是线性 的。以后可以看到，交流电路的线性方程包含了对同频简 谐量的叠加、微商或积分等线性运算，其结果仍然是同一 频率的简谐量，于是使简谐交流电路问题处理和运算特别 简单。不仅如此，还由于不同频率的简谐成分在线性电路 中彼此独立、互不干扰。因此当电路中有不同频率的简谐 成分同时存在时，可以一个一个地单独处理后再叠加，这 就是解非简谐交流电路的基本思路。 上述三个假设是对实际的交流电路的合理简化，在此
前提下得出的结论只适合于由集中元件组成的、似稳的 线性电路。通常在电工技术上只要制定满足上述三个假设 的技术条件,则交流电路的问题就可以大大简化。由此可 见这些技术性条件对于交流电路是很基本的。 交流电路中的元件 讨论元件上电压、电流之间的关系 1)电路中有R、L、C三种元件,互相制约、互相配合,比 直流电复杂 2)简谐电压、电流之间不仅有量值(峰值或有效值)大小 的关系,还有相位关系,反映某一元件上u(t)与i(t)关 系需要两个量: 阻抗 Z 不随时间变化,不是简诸量 导纳 Y 阻抗的倒数 *电压与电流的相位差 p=pu Z与q合起来代表元件本身的性质。 *电阻R 似稳条件下,欧姆定律仍然成立,对于电阻元件有 i()≈l() U. cos(ot+ R R lo cos(at +o,) ZR=R,卯R=9-=0,电压与电流同步 e(9 b)电阻上(与的相位关系 电容C设电压初相为零q=Cu= O. cos ot
7-9 前提下得出的结论只适合于由集中元件组成的、似稳的、 线性电路。通常在电工技术上只要制定满足上述三个假设 的技术条件，则交流电路的问题就可以大大简化。由此可 见这些技术性条件对于交流电路是很基本的。 二．交流电路中的元件 讨论元件上电压、电流之间的关系 1)电路中有 R、L、C 三种元件，互相制约、互相配合，比 直流电复杂； 2)简谐电压、电流之间不仅有量值（峰值或有效值）大小 的关系，还有相位关系，反映某一元件上 u(t) 与 i(t) 关 系需要两个量： *阻抗 I U I U Z = = 0 0 不随时间变化,不是简谐量 *导纳 Z Y 1 = 阻抗的倒数 *电压与电流的相位差 ϕ = ϕ u i −ϕ Z 与ϕ合起来代表元件本身的性质。 *电阻 R 似稳条件下，欧姆定律仍然成立，对于电阻元件有 = + = = R U t R u t i t u ( ) cos( ) ( ) 0 ω ϕ cos( ) 0 i I ωt +ϕ = , = − = 0 Z R R ϕ R ϕu ϕi ，电压与电流同步 *电容 C 设电压初相为零 q Cu Q cosωt = = 0
i(t)=9=(C cos at)=-a2o sin ot Co cos(ot +o=lo cos(ot+o) u(t)=Uo cos(at+u)==cos(t+u) Uo 0/C 丌 Io @Qo @C 9c=卯n-卯 高频短路、直流开路,电压落后电流x。 a() e(9 C十 燮虚毛路 b)电容上(与母的相位关系 *电感L设电流初相为零 dh (=-e(0=L=L(o cos at)=-OLlo sin at 丌 =OLlo coS(at+o=o cos(at +u) 0O/0L L qL=94-q1 阻高频、通低频,电压超前电流z 710
7-10 Q t Q t dt d dt dg i(t) = = ( 0 cosω ) = −ω 0 sinω ) cos( ) 2 cos( 0 0 i Q t I ωt ϕ π = ω ω + = + ( ) cos( ) cos( ) 0 0 u u t C Q u t =U ωt +ϕ = ω +ϕ ， Q C Q C I U ZC ω ω / 1 0 0 0 0 = = = ，ϕ ϕϕ π C ui = − =− 2 ， 高频短路、直流开路，电压落后电流π 2 。 *电感 L 设电流初相为零 I t LI t dt d L dt di u(t) = −e(t) = L = ( 0 cosω ) = −ω 0 sinω ) cos( ) 2 cos( 0 0 u LI t U ωt ϕ π = ω ω + = + L I I L I U ZL ω ω = = = 0 0 0 0 2 π ϕL = ϕu −ϕi = ， 阻高频、通低频，电压超前电流π 2
