第六章电磁场和电磁波 ●历史的回顾 十九世纪四十年代,电磁学的一些在特殊条件下的基本 定律已经相继发现,摆在物理学家面前的课题是把已发现的 各个规律囊括起来,建立电磁现象的统一理论 Maxwel建立电磁场理论的三篇论文 1.1位移电流p4596-1、2、8 电磁场实验定律的总结和推广(见表6.3) 位移电流 问题的提出 穿过以闭合回路L 有介质存在时的安培环路定理 为周界的任意曲面 H·d=∑lo ds (a) (L) (L内)(S) 问题:图示电容器充电、放电电路在非恒定情况上式是否仍 然成立?对于L为周界任取闭合面 S=S,+s 与导线 穿过电容器 相交 两极板之间 d≠0 则有 j。·dS=0 电容器存在破坏了电流的连续性? 非恒定情况下(a)不适用,新的规律是 什么? ●研究电容器充、放电过程 传导电流终止在电容器极板上的同时,极板上积累电荷 q(1)—>E() 根据电流连续性方程jdS (b) 其中S=S1+S2,q(1)是闭合面S所包围的自由电荷 按高斯定理有
1 第六章 电磁场和电磁波 z 历史的回顾 十九世纪四十年代，电磁学的一些在特殊条件下的基本 定律已经相继发现，摆在物理学家面前的课题是把已发现的 各个规律囊括起来，建立电磁现象的统一理论。 Maxwell 建立电磁场理论的三篇论文 1.1 位移电流 p459 6-1、2、8 一. 电磁场实验定律的总结和推广（见表6.3） 二. 位移电流 z 问题的提出 有介质存在时的安培环路定理 ∫ ∑ ∫∫ ⋅ = ⋅ ( ) 0 ( ) 0 ( ) d = d L L S H l I j S 内 （a） 问题：图示电容器充电、放电电路在非恒定情况上式是否仍 然成立？对于 L 为周界任取闭合面 1 2 SS S = + 则有 1 2 0 0 0 0 S S j dS j dS ⋅ ≠ ⋅ = ∫∫ ∫∫ r r r r 电容器存在破坏了电流的连续性？ 非恒定情况下(a)不适用，新的规律是 什么？ z 研究电容器充、放电过程 传导电流终止在电容器极板上的同时，极板上积累电荷 0 q t Et () () → 根据电流连续性方程 t q S d d d = 0 ( ) ∫∫ j0 ⋅ S − (b) 其中 1 2 SS S = + ， 0 q t( ) 是闭合面 S 所包围的自由电荷。 按高斯定理有 穿过以闭合回路 L 为周界的任意曲面 与导线 相交 穿过电容器 两极板之间
手DdS=qo de D 从而有 手D·dS=手 ds (c) dt dt 代入(b)得 fjo dS=-于 Da ds D 手(0+2,) ds=0 (S) D D 或 十 ds (S1) (S2) D 虽然传导电流J终止在电容器极板上,但是在极板间 D 延续了J的作用——J+a是连续的 D D at 与j地位相当,令,它对于任意曲面S的通 量等于电位移通量的变化率—位移电流厂「电位移通量 的变化率 ∫l·ds= aD 小D.dsdy dt 全电流!=+在任何情况下都是连续的。 安培环路定理的推广 非恒定情况下,全电流为 =∑ D ∫0ds=∫JjdS+j「 D ds t 安培环路定理改写成 aD H·l (+-)dS
2 0 ( ) d = q S ∫∫ D⋅ S 从而有 ∫∫ ∫∫ ⋅ ∂ ∂ = ⋅ ( ) ( ) 0 d = d d d d d S S t t t q S D D S （c） 代入(b)得 S D ∫∫ j S ∫∫ ⋅ ∂ ∂ ⋅ − ( ) ( ) 0 d = d S S t ∫∫ ⋅ ∂ ∂ + ( ) 0 ( ) d = 0 S t S D j 或 ∫∫ ∫∫ ⋅ ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ + ( ) 0 ( ) 0 1 2 ( ) ( ) S S t t dS D dS = j D j z 虽然传导电流 0j 终止在电容器极板上，但是 ∂t ∂D 在极板间 延续了 0j 的作用—— ∂t ∂ + D j0 是连续的。 z ∂t ∂D 与 0j 地位相当，令 t D ∂ ∂ = D j ，它对于任意曲面 S 的通 量等于电位移通量的变化率——位移电流 t d dt d t I S S S d d dS D S D d jd dS Ψ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ⋅ = ⋅ = ∂ ∂ = ⋅ = ( ) ( ) z 全电流 0 d I = + I I 在任何情况下都是连续的。 三．安培环路定理的推广 非恒定情况下，全电流为 S D d ( ) ( ) 0 ⋅ ∂ ∂ = + ∑ ∫∫ S S t I I ∫∫ = ⋅ ( ) 0 d S j S S D d ( ) ⋅ ∂ ∂ + ∫∫ S t 安培环路定理改写成 ∫ ∫∫ ⋅ ∂ ∂ ⋅ + ( ) 0 ( ) ( ) L S t dS D H dl = j 电位移通量 的变化率
利用 stocks公式 D H·d=j(xH,dS=/+,S D VXH=Jo+ 微分形式 t 小结 位移电流 传导电流 共同点 激发磁场 激发磁场 实质 变化的电场 自由电荷定向运动 不同点 不产生焦耳热产生焦耳热 ●位移电流与涡旋电场两个假说具有十分重要的意义,不仅 为建立统一的电磁场理论奠定了基础,而且预言了电磁波 的存在
3 利用 stocks 公式 ∫ ∫∫ ∫∫ ⋅ ∂ ∂ ⋅ ∇ × ⋅ = + ( ) 0 ( ) ( ) ( ) L S S t D H dl = H dS j dS ∂t ∂ ∇× + D H j = 0 微分形式 z 小结： 位移电流 传导电流 共同点 激发磁场 激发磁场 实质 变化的电场 自由电荷定向运动 不同点 不产生焦耳热 产生焦耳热 z 位移电流与涡旋电场两个假说具有十分重要的意义，不仅 为建立统一的电磁场理论奠定了基础，而且预言了电磁波 的存在
例题1 [例题141]-平行板电容器的两极板都是半径为50cm的圆导体片,设充电 后电荷在极板上均匀分布,两极板间电场强度的时间变化率为dE/d=20 10Vms.试求:(1)两极板间的位移电流l;(2)两极板间磁感应强度的 分布和极板边缘处的磁感应强度 [解](1)由式(14.10)得两极板间的位移电流为 dy de 1.4A (2)因为两极板为同轴圆片,所以磁场对于两极板的中心联线(轴)具有对 称性。在垂直于该轴的平面上,取以轴点为圆心,以r为半径的圆作为积分环 路。根据对称性,在此积分环路上磁感应强度B的大小相等,方向沿环路的切 线方向,且与电流成右手螺旋,于是,由式(14.12)可得 dE Hd=亠B2πr= r 8 可解得两极板间磁感应强度的分布为 B de ∝r 当r=R时,由上式可得两极板边缘处的磁感应强度为 B(R)=Bodde R一=5.6×10-6T 结果表明,虽然电场强度的时间变化率已经相当大,但它所激发的磁场仍然是很 弱的,在实验上不易测量到
4 例题 1
例题2 例题14.2]试求导体中位移电流与传导电流的比值 解]假定我们在横截面积为S的导体中通以简谐交流电io= Io coso t,且电 流沿横截面均匀分布,则根据欧姆定律的微分形式j=σE,可得 E aS·S 式中P=10是导体的电阻率,由式(14.10)可得导体中位移电流的瞬时值为 dy, du S=S8,60=SE,E0 s dt 8.coP@lo cos(@t+- 于是,导体中位移电流和传导电流的振幅之比为 (14.14) 对于一般的良导体,p≈10-39-m,E1≈1,可得 89×1012×10-8×2兀f/H 6×10-9f/H 结果表明,只要∫<<10°Hz,则比值J。0/J0<<1.因此,尽管只要有电位 移通量的变化就有位移电流存在,但实际上当电场变化的频率不是非常高时,在 导体内位移电流与传导电流相比是微不足道的.例如,当∫=50Hz时,导体 内该比值为ln/l0~10-7 此外,比较以上关于l和io的表达式可以看到,位移电流l在相位上比 传导电流i及电压v超前π12,因此位移电流不消耗功率,即不产生焦耳热
5 例题 2
1.2麦克斯韦方程组 麦克斯韦方程组积分形式 微分形式 DS=∑ V·D B B V×E B=0 B- dS=o D H=Jo fH,d=∑h+0 ds 在有介质时,上述方程组不完备需要补充三个描述介质 性质的方程,对于各向同性介质来说,三个方程为 D=aEe (1) B=104H (2) E (3) ●如果介质以速度v运动,则(3)式应改为 j=G(E+W×B) (3’) ●如果有任何非静电力,则(3)式应改为 jO=O(E+K) (3”) Maxwell方程组 全面总结了电磁场的规律 介质性质的方程 ●方程组加上边界条件的解是唯一的 这种客观条件下所发生的真实的电磁场; 对电磁场,方程组中的电荷、电流应看作是外来的已知量, 它们的分布加上电磁场内介质的分布确定了电磁场的外 部条件; ● Maxwell方程组、洛伦兹力公式以及电荷守恒定律 组成电动力学的基本方程式,与力学定律结合 可解决:运动带电体与电磁场所组成的力学体系的运动规律 可以证明, Maxwell方程组在洛伦兹变换下具有不变性 以上提到的问题今后在电动力学中解决
6 1.2 麦克斯韦方程组 一. 麦克斯韦方程组积分形式 ∫∫ ⋅ = ∑ S S q 内 D dS 0 dS B E dl = ⋅ ∂ ∂ ⋅ − ∫ ∫∫ ∫ L S t B dS = 0 ∫∫ ⋅ S dS D H dl ⋅ ∂ ∂ ⋅ = ∫ ∑ ∫∫ L L S t I ＋ 内 0 z 在有介质时，上述方程组不完备需要补充三个描述介质 性质的方程，对于各向同性介质来说，三个方程为： D = ε 0ε rE （1） B = µ0µrH （2） j = σE. （3） z 如果介质以速度 v 运动，则（3）式应改为 ( + ) j0 =σ E v×B （3’） z 如果有任何非静电力，则（3）式应改为 ( + ) j0 =σ E K （3”） Maxwell 方程组 全面总结了电磁场的规律 介质性质的方程 z 方程组加上边界条件的解是唯一的 ——这种客观条件下所发生的真实的电磁场； z 对电磁场，方程组中的电荷、电流应看作是外来的已知量， 它们的分布加上电磁场内介质的分布确定了电磁场的外 部条件； z Maxwell 方程组、洛伦兹力公式以及电荷守恒定律 ——组成电动力学的基本方程式，与力学定律结合 可解决：运动带电体与电磁场所组成的力学体系的运动规律 z 可以证明，Maxwell 方程组在洛伦兹变换下具有不变性 z 以上提到的问题今后在电动力学中解决 二．微分形式 D = ρe0 ∇⋅ ∂t ∂ ∇× − B E = ∇⋅B = 0 ∂t ∂ ∇× + D H j = 0
1.3边界条件(p407) 要点: 1.界面上介质的性质有一突变,这将导致静电场也会有突 变 2.积分形式的 Maxwel方程在边界上依然成立,可以把不 同介质的场量用积分方程联系起来; 3.方程的微分形式只适用于非边界区域,对于边界突变 处,方程的微分形式已失去意义; 4.通常用积分方程还不能直接求得空间各点场量的分布, 所以常常要将方程的积分形式变换成微分形式。 5.必须考虑用新的形式来给出边界上各物理量的关系,亦 即给出边界条件。 6.实际上边界条件就是把积分方程放到边界突变处得到 的结果 结论: 两种不同介质的分界面上,两部分介质的E、、C不同 相应地有三组边界条件 1.磁介质界面上,B法向连续,H切向连续 n·(B2-B1)=0,n×(H2-H1)=0 2.电介质界面上,D法向连续,E切向连续 n(D2-D1)=0,nx(E2-E1)=0 以上是在界面上没有自由电荷和无传导电流情况下得出 3.导体界面上的边界条件 界面上有自由电荷积累(面密度Oo),设传导电流面密 度为J,则由高斯定理和电流连续性方程可得 对于恒定电流,有 对于高频情况,考虑导体与真空的界面 有n×H外=j (p408) Maxwell方程组的微分形式+介质方程+边界条件 唯一地确定解 数学工具:数学物理方法中的偏微分方程在一定边界条件下 的定解问题
7 1.3 边界条件(p407) z 要点： 1． 界面上介质的性质有一突变，这将导致静电场也会有突 变； 2． 积分形式的 Maxwell 方程在边界上依然成立，可以把不 同介质的场量用积分方程联系起来； 3． 方程的微分形式只适用于非边界区域，对于边界突变 处，方程的微分形式已失去意义； 4． 通常用积分方程还不能直接求得空间各点场量的分布， 所以常常要将方程的积分形式变换成微分形式。 5． 必须考虑用新的形式来给出边界上各物理量的关系，亦 即给出边界条件。 6． 实际上边界条件就是把积分方程放到边界突变处得到 的结果。 z 结论： 两种不同介质的分界面上，两部分介质的ε、 、µ σ 不同 相应地有三组边界条件 1． 磁介质界面上，B 法向连续，H 切向连续 n ⋅ (B2 − B1) = 0，n× (H2 − H1) = 0 2． 电介质界面上，D 法向连续，E 切向连续 n⋅(D2 − D1) = 0 ，n× (E2 − E1) = 0 以上是在界面上没有自由电荷和无传导电流情况下得出 3． 导体界面上的边界条件 界面上有自由电荷积累（面密度σ 0 ），设传导电流面密 度为 0j r ，则由高斯定理和电流连续性方程可得 0 （ 02 01) t ∂σ ⋅ − =− ∂ nj j 对于恒定电流，有 0 （ 02 01) 0 t ∂σ ⋅ − =− = ∂ nj j 对于高频情况，考虑导体与真空的界面 有 nH j × = 外 0 （p408） Maxwell 方程组的微分形式+介质方程+边界条件 ——唯一地确定解 数学工具：数学物理方法中的偏微分方程在一定边界条件下 的定解问题