第六章扩散 Diffusion ◆在固体中,原子或分子的迁移只能靠扩散 来进行,因而研究扩散特别重要。物质内 部的原子依靠热运动使其中能量高的部分 脱离束缚跳迁至新的位置,发生原子迁移 大量的原子迁移造成物质的宏观流动称做 扩散。扩散是物质中原子(或分子)的迁 移现象,是物质传输的一种形式
第六章 扩散 Diffusion 在固体中，原子或分子的迁移只能靠扩散 来进行，因而研究扩散特别重要。物质内 部的原子依靠热运动使其中能量高的部分 脱离束缚跳迁至新的位置，发生原子迁移。 大量的原子迁移造成物质的宏观流动称做 扩散。扩散是物质中原子（或分子）的迁 移现象，是物质传输的一种形式
第一节扩散第一定律 Fick's first law 、扩散现象 两块不同浓度的金属焊在一起,在高温下保温,过一段时间, 发现浓度分布发生变化。 C2>C1 C=C2 C=CI 浓度 原始状态 距离x
第一节 扩散第一定律 Fick’s First Law 一、扩散现象 两块不同浓度的金属焊在一起，在高温下保温，过一段时间， 发现浓度分布发生变化。 浓度 距离x x C=C2 C=C1 C2>C1 C1 C2 原始状态
二、菲克第一定律(Fik-1855 菲克(A.Fick)于1855年通过实验得出了关于稳定态扩散的 第一定律,即在扩散过程中,在单位时间内通过垂直于扩散方向 的单位截面积的扩散流量J与浓度梯度dCω成正比。其数学表达 式为 C J=-D dx 式中:]为扩散流量:D为扩散系数;dCO为体积浓度梯度; 负号表示物质的扩散流方向与浓度梯度的方向相反
二、菲克第一定律（Fick –1855） 菲克（A. Fick）于1855年通过实验得出了关于稳定态扩散的 第一定律，即在扩散过程中，在单位时间内通过垂直于扩散方向 的单位截面积的扩散流量J与浓度梯度dC/dx成正比。其数学表达 式为： 式中：J为扩散流量；D为扩散系数；dC/dx为体积浓度梯度； 负号表示物质的扩散流方向与浓度梯度的方向相反。 dx dC J = −D
第二节扩散的原子模型 Diffusion model 如图,设1面和2面的横截面积均为A,分别含溶质原子n和h2, 原子跳动频率均为v,1、2之间晶面间距为a,而且由晶面1跳到 晶面2及由晶面2跳到晶面1的几率P相同,(如对简单立方P=1/6) 则在时间间隔d内由晶面1跳到晶面2及由晶面2跳到晶面1的溶质 原子数分别为 M -21rvat No= no Pvt
第二节 扩散的原子模型 Diffusion Model 如图，设1面和2面的横截面积均为A，分别含溶质原子n1和n2， 原子跳动频率均为v，1、2之间晶面间距为a，而且由晶面1跳到 晶面2及由晶面2跳到晶面1的几率P相同，（如对简单立方P=1/6） 则在时间间隔dt内由晶面1跳到晶面2及由晶面2跳到晶面1的溶质 原子数分别为 N1-2 =n1 Pvdt N2-1 = n2 Pvdt 1 2
设n1>n2,则及2净增加的溶质原子摩尔数为 4Jd=(n1-n2)Pvdt所以 :J=(n1-n23)P 选用体积浓度C=溶质摩尔数/体积,所以,1面和2面上的溶质原子体 积浓度分别为:C1=n1a; 而从连续分布来看,2面上的溶质体积浓度又可表示为: C,=C1+ 代入前面式中,有: dc 2 所以:J=mn-n,)P,=-a2p1C dx 与菲克第一定律对比,可知:D=aP
设n1>n2，则及2净增加的溶质原子摩尔数为 Jdt=（n1－n2）Pvdt 所以：J=（n1－n2）Pv 选用体积浓度C=溶质摩尔数/体积，所以，1面和2面上的溶质原子体 积浓度分别为：C1=n1 /a； C2=n2 /a 而从连续分布来看，2面上的溶质体积浓度又可表示为： 代入前面式中，有： 所以： 与菲克第一定律对比，可知：D=a2Pv a dx dC C2 = C1 + 2 2 1 a dx dC n − n = dx dC J ( n n )Pv a Pv 2 = 1 − 2 = −
第三节扩散第二定律 Fick's second law 随时间变化的扩散方程 如图,某一时间间隔dt内流入和流出 微小体积的物质扩散流量分别为/和, 横截面积为A,由于 dx +J aJ/ 物质在微小体积内的积存速率=J1A-J2A adx ax 也可用体积浓度的变化率来表示,在微小体积Adx内的物质积存速率 为: a(CAdx) ac adx
第三节 扩散第二定律 Fick’s Second Law 一、随时间变化的扩散方程 如图，某一时间间隔dt内流入和流出 微小体积的物质扩散流量分别为J1和J2， 横截面积为A，由于： 物质在微小体积内的积存速率= 也可用体积浓度的变化率来表示，在微小体积Adx内的物质积存速率 为： dx J1 J2 2 1 dx J x J J + = Adx x J J A J A 1 − 2 = − Adx t C t (CAdx ) =
代入前式,约去Adx,有: ac a/ ac a aC 将扩散第一定律代入,有 aca-C 若D为常数,则: D at 这就是一维条件下的菲克第二定律 对于三维问题,有: oca ac (D)+(D)+(D) z 通常将扩散系数D看成常数
代入前式，约去Adx，有： 将扩散第一定律代入，有： 若D为常数，则： 这就是一维条件下的菲克第二定律。 对于三维问题，有： 通常将扩散系数D看成常数。 x J t C = − ) x C ( D t t C = 2 2 x C D t C = ) z C ( D z ) y C ( D y ) x C ( D t x C x y z + + =
◆扩散第二方程的解 主要介绍误差 函数解。主要适用于 无限长棒或半无限长 C=C 棒的扩散问题。 浓度 如图,其初始条件为 t=0:x>0,C=C, 原始状态 0,C=C, 边界条件为: =+∞C=C1; 距离x
扩散第二方程的解 主要介绍误差 函数解。主要适用于 无限长棒或半无限长 棒的扩散问题。 如图，其初始条件为： t=0：x>0，C=C1， xC 1 C 1 C 2 原始状态 0
由aC 02C at 用特殊函数方法解偏微分方程。假定 acac az acx 所以 at az at az2√D2t2tdz ac acaz dc 1 z dc 代入: D 2t dz dz t 解:C=A[e)d=+B x/2√Dt 则:C=A2DedB+B=A e p dB+ B 上述积分函数称为误差函数ef(B),其定义为 erf(B) Joe dB
由 用特殊函数方法解偏微分方程。假定 所以 代入： 解： 则： 上述积分函数称为误差函数erf（β），其定义为： 2 2 x C D t C = ) C( z ) Dt x C = C( = 2 t x z = dz dC t z D t t x z C t z z C t C 2 2 1 2 = − − = = dz t d C ) x z ( z C x C 1 2 2 2 2 2 2 2 = = dz t d C D dz dC t z 1 2 2 2 − = C A e dz B z ( z / D ) = + − 0 4 2 = + = + − − 0 2 0 2 2 2 x / Dt ' C A D e d B A e d B − = 0 2 2 erf ( ) e d
可以证明:erf(∞)=1;erf(-B)=-erf(B) 代入初始条件: t=0:x>0,C=C1,B=∞;x<0,C=C2,B= ∴erf(∞)=1;∴ e p dB 代入: C1=A“+BC t B 2 +c 解得: B 代入原式 C1+C,C1-C,2 2Dnpdβ ,+cCi-C e 2 2 2 2 式中可以看出,在x=0处,C=—裸持不变。 若考虑半无限长,一端为固定浓度C,棒的原始浓度为0,则该式变为 1-erft 举例:钢的渗碳
可以证明：erf（∞）=1；erf（－β）=－erf（β） 代入初始条件： t=0：x>0，C=C1，β=∞；x<0，C=C2，β=－∞ ∵erf(∞)=1；∴ 代入： 解得： 代入原式： 式中可以看出，在x=0处， 保持不变。 若考虑半无限长，一端为固定浓度C0，棒的原始浓度为0，则该式变为： 举例：钢的渗碳 − = 0 2 2 e d C A B ' = + 2 1 C A B ' = − + 2 2 2 2 ' C1 C2 A − = 2 C1 C2 B + = ) 2 ( 2 2 2 2 2 / 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 − + + = − + + = − x D t Dt x erf C C C C e d C C C C C 2 C1 C2 C + = )] 2 [1 ( 2 0 Dt x erf C C = −