教案及讲义建筑结构抗震第六讲河北联合大学建筑工程学院
教案及讲义 建筑结构抗震 第六讲 河北联合大学建筑工程学院
教案 6课程名称授课专业土木工程《建筑结构抗震》授课内容第三章结构地震反应分析与抗震验算3.4多自由度弹性体系的地震反应分析3.5多质点弹性体系的水平地震作用知识熟悉了解多质点弹性体系的水平地震作用计算方法；教目标学能力①熟练掌握振型分解反应谱法；②了解多自由度弹性体系的地震反应目目标标德育培养执著追求科学的精神，并不断提出多种解决问题的思路目标①多质点弹性体系水平地震作用计算方法重点②振型分解反应谱法教材①振型分解反应谱法难点分②多自由度弹性体系的地震反应分析析关键计算多质点弹性体系的水平地震作用教学设备传统板书教教法公式推导带领学生演算练习学方学法紧扣概念→强调计算→总结→思考法教学环节教学内容教师调控学生活动时间2'组织教学师生问好1、以复习前一章知识导入本次课内容。5'导入新课教师提问，学生思考，2、多质点弹性体系水平地震作用分析；1、复习振型分解反应谱法；教师边讲边启发边归纳边2、重点讲述振型分解反应谱法的思路和计新授强调。提出问题，让学生回82'算公式；答，之后给出正确答案。3、总结该节课的教学内容。课堂练习给出思考题、判断题分别让学生回答。3”1、归纳振型分解反应谱法的计算公式，课后小结3"学生总结→教师归纳2、强调“平方和开方”的组合方法。补充计算题作业做到作业本上作业5'通过课件教学，调动了学生学习的积极性，掌握了相关的教研室主任签字课堂评价基本知识，做到结合规范教学，达到了教学目标要求，教学效果较好
教案 6 课程名称 《建筑结构抗震》 授课专业 土木工程 授课内容 第三章 结构地震反应分析与抗震验算 3.4 多自由度弹性体系的地震反 应分析 3.5 多质点弹性体系的水平地震作用 教 学 目 标 知识 目标 熟悉了解多质点弹性体系的水平地震作用计算方法； 能力 目标 ① 熟练掌握振型分解反应谱法；② 了解多自由度弹性体系的地震反应 德育 目标 培养执著追求科学的精神，并不断提出多种解决问题的思路 教 材 分 析 重点 ①多质点弹性体系水平地震作用计算方法 ②振型分解反应谱法 难点 ①振型分解反应谱法 ②多自由度弹性体系的地震反应分析 关键 计算多质点弹性体系的水平地震作用 教学设备 传统板书 教 学 方 法 教法 公式推导 带领学生演算练习 学法 紧扣概念→强调计算→总结→思考 教学环节 教学内容 教师调控学生活动 时间 组织教学 师生问好 2` 导入新课 1、以复习前一章知识导入本次课内容。 2、多质点弹性体系水平地震作用分析； 教师提问，学生思考， 5’ 新授 1、复习振型分解反应谱法； 2、重点讲述振型分解反应谱法的思路和计 算公式； 3、总结该节课的教学内容。 教师边讲边启发边归纳边 强调。提出问题，让学生回 答，之后给出正确答案。 82’ 课堂练习 给出思考题、判断题 分别让学生回答。 3’ 课后小结 1、 归纳振型分解反应谱法的计算公式， 2、强调“平方和开方”的组合方法。 学生总结→教师归纳 3’ 作业 补充计算题 作业做到作业本上 5` 课堂评价 通过课件教学，调动了学生学习的积极性，掌握了相关的 基本知识，做到结合规范教学，达到了教学目标要求，教 学效果较好。 教研室主任签字
讲义63.4多自由度弹性体系的地震反应分析3.4.1多自由度弹性体系的运动方程mnXnfin-mXJ/mi1 X1fn+ *xg图3-13多自由度体系的变形在单向水平地面运动作用下，多自由度体系的变形如图3-13所示。设该体系各质点的相对水平位移为x(i=1,2,,n)，其中n为体系自由度数，则各质点所受的水平惯性力为fn =-m(x。+x)f12 =-m2(xg + X2)fin=-m,(xg+x,)将上列公式表达成向量和矩阵的形式为(F)=-[M((图)+(1x)(3-52)其中(F)-n,J12,, fn]T(3-53a)(国]-[国,x2,, ](3-53b)(]- [1,,](3-53c)
讲义 6 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析 3.4.1 多自由度弹性体系的运动方程 图 3-13 多自由度体系的变形 在单向水平地面运动作用下，多自由度体系的变形如图 3-13 所示。设该体系各质点的相 对水平位移为 x (i 1,2, , n) i = ，其中 n 为体系自由度数，则各质点所受的水平惯性力为 ( ) 1 1 1 f m x x I g = − + ( ) 2 2 2 f m x x I g = − + . ( ) In n g n f = −m x + x 将上列公式表达成向量和矩阵的形式为 ( 1 ) g F = − M x + x （3-52） 其中 T I I In F [ f , f , , f ] = 1 2 （3-53a） T n x x , x , , x = 1 2 （3-53b） T 1 = 1,1, ,1 （3-53c）
[m)m,[M]=(3-53d)m.式中[M]一体系质量矩阵；x，一质点i相对水平加速度。由结构力学的矩阵位移法，可列出该体系的刚度方程为[K x)= (F)(3-54)其中(]-[,, x, ](3-55)为体系的相对水平位移向量；[≤]为体系与(相应的刚度矩阵。将式（3-52）代入式（3-54）得多自由度体系无阻尼运动方程为[M[()]+ [Kx]= -[M[1](3-56)当考虑阻尼影响时，式（3-54）需改写为[K (x)= (F)+ (F.)(3-57)其中，(F)为体系阻尼力向量。设(F.}=-[ckg)(3-58)其中，[c]为体系阻尼矩阵，()为体系相对水平速度向量(3-59)(3]=[,x2,,x,]则将式（3-49）、（3-58）代入式（3-54），可得多自由度有阻尼体系运动方程为[M[x]+[c]+[k ]x]= -[M]x(3-60)3.4.2多自由度体系的自由振动1.自由振动方程研究自由振动时，不考虑阻尼的影响。此时体系不受外界作用，可令又。=0，则由式（3-56）得多自由度自由振动方程为[M (]+ [k J(x]= (0](3-61)根据方程（3-61）的特点，可设方程的解为
= mn m m M 2 1 （3-53d） 式中 M —体系质量矩阵； i x —质点 i 相对水平加速度。 由结构力学的矩阵位移法，可列出该体系的刚度方程为 Kx= F （3-54） 其中 T n x x , x , , x = 1 2 （3-55） 为体系的相对水平位移向量； K 为体系与 x 相应的刚度矩阵。 将式（3-52）代入式（3-54）得多自由度体系无阻尼运动方程为 g M x + K x = − M 1 x （3-56） 当考虑阻尼影响时，式（3-54）需改写为 Kx= F+ Fc （3-57） 其中， Fc 为体系阻尼力向量。设 Fc= −Cx （3-58） 其中， c 为体系阻尼矩阵， x 为体系相对水平速度向量 T n x x , x , , x = 1 2 （3-59） 则将式（3-49）、（3-58）代入式（3-54），可得多自由度有阻尼体系运动方程为 g M x + C x + K x = − M 1 x （3-60） 3.4.2 多自由度体系的自由振动 1. 自由振动方程 研究自由振动时，不考虑阻尼的影响。此时体系不受外界作用，可令 x g = 0 ，则由式 （3-56）得多自由度自由振动方程为 M x +Kx= 0 （3-61） 根据方程（3-61）的特点，可设方程的解为
(3-62)(x)= (0)sin(ot + p)其中(3-63)(0]=[01,92,*,0, ]式中，Φ,(i=1,2,",n)为常数，是每个质点自由振动的振幅。由式（3-62）对(x）关于时间t微分两次，得(3)= -02 (0 )sin( ot + p)(3-64)将式（3-62）、（3-64）代入式（3-61)，得([K]- [Mb()sin(ot + p) = (0)(3-65)因sin(のt+)±0，则要求([K]-0 [Mb()= (0)(3-66)式（3-66）实际是原来微分方程形式表达的多自由度体系自由振动方程的代数方程形式称之为动力特征方程。2．自振频率由线性代数理论知，对于线性代数方程[Av])= (B)(3-67)如果系数矩阵A的行列式A￥0，则方程有唯一解()=[A]' (B)(3-68)如果A=0，则方程有多解。多自由度体系的特征方程（3-66）是一线性代数方程，由上面的讨论知，如果[K]-[M]+0，则因方程右端向量(B)={0)，(）的解将为(0)]，此表明体系不振动（即静止），这与体系发生自由振动的前提不符。而要得到(）的非零解，即体系发生振动的解，则必有[K]-0”[M]=0(3-69)上式也称为多自由度体系的动力特征值方程。由于[K]、[M]均为常数矩阵，上式实际上是の”的n次代数方程，将有n个解。将解由小到大排列，设为の,の，,の
x= sin(t + ) （3-62） 其中 T n , , , = 1 2 （3-63） 式中， (i 1,2, , n) i = 为常数，是每个质点自由振动的振幅。 由式（3-62）对 x 关于时间 t 微分两次，得 sin( ) 2 x = − t + （3-64） 将式（3-62）、（3-64）代入式（3-61），得 ( ) sin( ) 0 2 K − M t + = （3-65） 因 sin(t +) 0 ，则要求 ( ) 0 2 K − M = （3-66） 式（3-66）实际是原来微分方程形式表达的多自由度体系自由振动方程的代数方程形式， 称之为动力特征方程。 2. 自振频率 由线性代数理论知，对于线性代数方程 Ay= B （3-67） 如果系数矩阵 A 的行列式 A 0 ，则方程有唯一解 y A B −1 = （3-68） 如果 A = 0 ，则方程有多解。 多自由度体系的特征方程（3-66）是一线性代数方程，由上面的讨论知，如果 0 2 K − M ，则因方程右端向量 B= 0， 的解将为 0 ，此表明体系不振动（即 静止），这与体系发生自由振动的前提不符。而要得到 的非零解，即体系发生振动的解， 则必有 0 2 K − M = （3-69） 上式也称为多自由度体系的动力特征值方程。由于 K、M 均为常数矩阵，上式实际上是 2 的 n 次代数方程，将有 n 个解。将解由小到大排列，设为 2 2 2 2 1 , , , n
由式（3-62）知，の,(i=1,2,,n)为体系的一个自由振动圆频率。一个n自由度体系，有n个自振圆频率，即有n种自由振动方式或状态。称の，为体系第i阶自振圆频率。例3-3计算仅有两个自由度体系的自由振动频率。设[K]-[k ke]0m,[M]-[k21k220m,解：由式（3-69）[k. ki2om,I[K]-0"[M]=k21k220m2=mm,(o2)?-(k.m, +k,m,)o2+(k,k22-k,k,)=0解上方程得oi_1(+k2)于1ki + k22k.,k22 - kjzk2l202-2mm2m,m,m,m23.振型多自由度体系以某一阶圆频率の，自由振动时，将有一特定的振幅（Φ）与之相应，它们之间应满足动力特征方程([k]-0. [Mb(@]= (0](3-70)设(@,]=[0i1,9i2,*,Φin-1,in =0m[9,/pmp,2/pm,*"im-/in,1][(@n-](3-71)=di与$）相应，用分块矩阵表达[4,]n- (B,).--(K]-, [M)=[(3-72)[(B,)- C, 则式（3-70）成为[4, ]n-1 (B,)n-1 [(6 ,-1 ]/=(0)(3-73)[(B,)CI1将式（3-73）展开得
由式（3-62）知， (i 1,2, , n) i = 为体系的一个自由振动圆频率。一个 n 自由度体系， 有 n 个自振圆频率，即有 n 种自由振动方式或状态。称 i 为体系第 i 阶自振圆频率。 例 3-3 计算仅有两个自由度体系的自由振动频率。设 = 21 22 11 12 k k k k K = 2 1 0 0 m m M 解：由式（3-69） − − = 2 2 1 21 22 2 11 12 0 0 |[ ] [ ]| m m k k k k K M ( ) ( ) ( ) 11 22 12 21 2 11 2 22 1 2 2 1 2 = m m − k m + k m + k k − k k = 0 解上方程得 1 2 11 22 12 21 2 2 22 1 11 2 22 1 11 2 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 m m k k k k m k m k m k m k − − = + + 3. 振型 多自由度体系以某一阶圆频率 i 自由振动时，将有一特定的振幅 { } i 与之相应，它们 之间应满足动力特征方程 ( ) 0 2 K −i M i = （3-70） 设 T 1 2 1 , , , , i = i i in− in T 1 2 1 [ / , / , , / ,1] =in i in i in in− in = − 1 i n 1 in （3-71） 与 { } i 相应，用分块矩阵表达 − = − − − i n i i n i n i B C A B K M T 1 2 1 1 { } [ ] { } ( ) （3-72） 则式（3-70）成为 0 { } 1 [ ] { } 1 T 1 1 1 = − − − − i n i n i i n i n in B C A B （3-73） 将式（3-73）展开得
[4, n (6, -1 + (B, n-I = (0)(3-74)(B,IT-()-+ +C, =0(3-75)由式（3-74）可解得(6,)1 =[4,](B,3n-1(3-76)将式（3-76）代入式（3-75），可用以复验(6）求解结果的正确性。令中i=a,@n0则(0. =a, (6.)(3-77)由此得体系以の，频率自由振动的解为()= a, (6 sin(0,t + 0)(3-78)由于向量（）各元素的值是确定的，则由上式知，多自由度体系自由振动时，各质点在任意时刻位移幅值的比值是一定的，不随时间而变化，即体系在自由振动过程中的形状保持不变。因此把反映体系自由振动形状的向量(8,)=α,()称为振型，而把(师)称为规则化的振型或也简称为振型。因(Φ，）与体系第i阶自振圆频率相应，故(）也称为第i阶振型。例3-4三层剪切型结构如图3-14所示，求该结构的自振圆频率和振型。mg=1000kg4mkg = 600kN/mm2=1500kg4mk2=1200kN/mmi = 2000kg5mi = 1800 kN/m图3-14三层剪切型结构
[ ] { } 1 0 1 1 + − = Ai n− i n− Bi n （3-74） { } 0 1 T 1 + = Bi n− i n− Ci （3-75） 由式（3-74）可解得 1 1 1 1 [ ] { } − − i n− = − Ai n− Bi n （3-76） 将式（3-76）代入式（3-75），可用以复验 i n−1 求解结果的正确性。 令 in = ai = − 1 i n 1 i 则 i= aii （3-77） 由此得体系以 i 频率自由振动的解为 x= a sin( t + ) i i i （3-78） 由于向量 { } i 各元素的值是确定的，则由上式知，多自由度体系自由振动时，各质点在 任意时刻位移幅值的比值是一定的，不随时间而变化，即体系在自由振动过程中的形状保持 不变。因此把反映体系自由振动形状的向量 i= aii 称为振型，而把 { } i 称为规则化的 振型或也简称为振型。因 { } i 与体系第 i 阶自振圆频率相应，故 { } i 也称为第 i 阶振型。 例 3-4 三层剪切型结构如图 3-14 所示，求该结构的自振圆频率和振型。 图 3-14 三层剪切型结构
解：该结构为3自由度体系，质量矩阵和刚度矩阵分别为[207001.50×10°kg[M]=1Lo031.20-1.21.8×10°N/m[K] =-0.60.6]0-0.6先由特征值方程求自振圆频率，令0B=600得-25-2B0[K]-0′[M]=-23-1.5B-00-11- B或B*-5.5B2+7.5B-2=0由上式可解得B, = 0.351B, =1.61B, = 3.54从而由の=V600B得0, =14.5 rad/s02=31.3rad/s03 = 46.1 rad/s由自振周期与自振频率的关系T=2元/の，可得结构的各阶自振周期分别为T, = 0.433 sT, =0.202 sT, =0.136 s为求第一阶振型，将の，=14.5rad/s代入[2579.50-1200([K]-o [M) =-12001484.66000-600389.8由式（3-76）得[2579.5-1200][0.301]d0-12001484.60.648[012]-600代入式（3-75）校核[0.301][0,-600]+389.8~0[0.648]
解：该结构为 3 自由度体系，质量矩阵和刚度矩阵分别为 10 kg 0 0 1 0 1.5 0 2 0 0 [ ] 3 M = 10 N / m 0 0.6 0.6 1.2 1.8 0.6 3 1.2 0 [ ] 6 − − − − K = 先由特征值方程求自振圆频率，令 600 B 2 = 得 0 0 -1 1 B 2 3 1.5B 1 5 2B - 2 0 |[ ] [ ]| 2 = − − − − − K − M = 或 B 5.5B 7.5B - 2 0 3 2 − + = 由上式可解得 B1 = 0.351 B2 =1.61 B3 = 3.54 从而由 = 600B 得 14.5 rad/s 1 = 31.3 rad/s 2 = 46.1 rad/s 3 = 由自振周期与自振频率的关系 T = 2 / ，可得结构的各阶自振周期分别为 T 0.433 s 1 = T 0.202 s 2 = T 0.136 s 3 = 为求第一阶振型，将 14.5 rad/s 1 = 代入 − − − − − = 0 600 389.8 1200 1484.6 600 2579.5 1200 0 ( ) 2 K 1 M 由式（3-76）得 = − − − = − − 0.648 0.301 600 0 1200 1484.6 2579.5 1200 1 12 11 代入式（3-75）校核 389.8 0 0.648 0.301 [0, 600] + −
则第一阶振型为[0.301](6)=↓0.648-同样可求得第二阶和第三阶振型为[0.676]2.47(@2)()-0.6012.571将各阶振型用图形表示，如图3-15所示。图中反映振型具有如下特征：对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点）。利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否。111-2.570.648/-0.601-2.47/0.301-0.67677图3-15例3-4结构各阶振型图4.振型的正交性将体系动力特征方程改写为[K@]= 0 [M@](3-79)上式对体系任意第i阶和第阶频率和振型均应成立，即[k(@,] = 0[M](3-80)[Ke, =o,[Mle,](3-81)对式（3-80）两边左乘，并对式（3-81）两边左乘(@，得(@, [o,]= o? (0,[Mo.](3-82)(o,][kJe,]= o, (0,][Me,](3-83)将式（3-83）两边转置，并注意到刚度矩阵和质量矩阵的对称性得(b, [ko.]=o (0, [Mo.](3-83)
则第一阶振型为 = 1 0.648 0.301 1 同样可求得第二阶和第三阶振型为 − − = 1 0.601 0.676 2 = − 1 2.57 2.47 3 将各阶振型用图形表示，如图 3-15 所示。图中反映振型具有如下特征：对于串联多质点 多自由度体系，其第几阶振型，在振型图上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点）。 利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否。 1 1 1 0.648 0.301 -0.601 -0.676 -2.57 -2.47 图 3-15 例 3-4 结构各阶振型图 4. 振型的正交性 将体系动力特征方程改写为 K M 2 = （3-79） 上式对体系任意第 i 阶和第 j 阶频率和振型均应成立，即 K i i M i 2 = （3-80） K j j M j 2 = （3-81） 对式（3-80）两边左乘 T j ，并对式（3-81）两边左乘 T i ，得 j Ki i j Mi T 2 T = （3-82） i K j j i M j T 2 T = （3-83） 将式（3-83）两边转置，并注意到刚度矩阵和质量矩阵的对称性得 j Ki j j Mi T 2 T = （3-83）
将式（3-82）与式（3-84）相减得(0? -0,)b, [Mo,)=0(3-85)如ij，则，の，，由上式可得(b, "[Mko.]=0(3-86)itj将式（3-86）代入式（3-82）得(0, "[kko,]=0itj(3-87)式（3-86）和式（3-87）分别表示振型关于质量矩阵[M|和刚度矩阵[k|正交。3.4.3地震反应分析的振型分解法1.运动方程的求解由振型的正交性知，(Φ),(Φ,),(Φ,)相互独立，根据线性代数理论，n维向量(x)总可以表示为n个独立向量的线性组合，则体系地震位移反应向量(x)可表示成Zq,b)(x) =)(3-88)j=l其中q,(j=1,2,",n)称为振型正则坐标，当(x)一定时，,具有唯一解。注意到(x)为时间的函数，则q，也将为时间的函数。将式（3-88）代入多自由度体系一般有阻尼运动方程（3-60）得Z([Mle,i, +[C],h,+[K]e,a,)=-[M](1)x(3-89)i=将上式两边左乘()得Z(0, [M)le, , + (0,[Cle,h, +(0,[K]e, a,)=-(0, [M](xg(3-90)注意到振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性式（3-86）、（3-87)，并设振型关于阻尼矩阵也正交，即(, "[Cle, ]= 0itj(3-91)则式（3-90）成为(o,][Mo, a, + (][Cg, a, + (][K](, Jg, = -(0,)[M](1)x(3-92)将式（3-80）两边左乘(0)
将式（3-82）与式（3-84）相减得 ( ) 0 2 2 T i − j j M i = （3-85） 如 i j ，则 i j ，由上式可得 0 T j M i = i j （3-86） 将式（3-86）代入式（3-82）得 0 T j K i = i j （3-87） 式（3-86）和式（3-87）分别表示振型关于质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 正交。 3.4.3 地震反应分析的振型分解法 1. 运动方程的求解 由振型的正交性知， { },{ }, ,{ } 1 2 n 相互独立，根据线性代数理论，n 维向量 {x} 总 可以表示为 n 个独立向量的线性组合，则体系地震位移反应向量 {x} 可表示成 j n j q j x = = 1 { } （3-88） 其中 q ( j 1,2, , n) j = 称为振型正则坐标，当 {x} 一定时， j q 具有唯一解。注意到 {x} 为时 间的函数，则 j q 也将为时间的函数。 将式（3-88）代入多自由度体系一般有阻尼运动方程（3-60）得 j j j j g n j j j ([M ] q [C] q [K] q ) [M ]{1}x 1 + + = − = （3-89） 将上式两边左乘 T i 得 i j j i j j i g n j i j j ( [M ] q [C] q [K] q ) [M ]{1}x T T T 1 T + + = − = （3-90） 注意到振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性式（3-86）、（3-87），并设振型关于阻尼矩 阵也正交，即 0 T i C j = i j （3-91） 则式（3-90）成为 i i i i i i i i i i g [M] q [C] q [K] q [M]{1}x T T T T + + = − （3-92） 将式（3-80）两边左乘 T i